Граница области G составлена из точек y_i=f_i(x) и x_i=f_i(y).

Введем понятие интегральной суммы:

1. Разобьем обл. G на n произвольных частей (G_i, i=1,n). G_i – частичная область. Полученные частичные области не имеют общих точек. S_i, i=1,n – площадь частичной области.

В каждой частичной области выберем точку с координатами (α_I,β_I). Вычислим значение ф-и в этой точке (f(α_I,β_I)) и составим такую сумму:

n

(1) =f(α_I,β_I)S_i

i=1

(1) – интегральная сумма ф-и f(x,y) в обл G.

d_I – диаметр области G_i

 - диаметр разбиения: =maxd_I

Определение 

Если интегральная сумма (1) при 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется  от ф-и f(x,y) по области G и обозначается:

I=f(x,y)dxdy

G

f(x,y) – подынтегральная функция.

Если  , то говорят, что ф-я f(x,y) интегрируема по области G, G называют областью интегрирования; х,у – переменными интегрирования; dxdy– элементом площади.

Замечание. Условие огранич ф-ии z=f(x,y) явл необходим,но не достаточным.

Достат условие формулировки с исп-ем сумм Дарбу (кот полностью переносится аналогично в ф-лу).

Теорема1. Ф-ия f(x,y) непрерывная в замкнутой огран обл G,интегрир в обл G.

Теорема2. Ф-ия f(x,y) огран в замкнутой огран обл G и непрер в ней всюду,кроме точек …….. на конечном числе кривых явл графиками ф-ии y=f(x) и x=g(y),где f и g непрер и интегрир в этой обл.

Геометрический смысл 

Пусть в пространстве дано тело Р, ограниченное:

1.Сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f(x,y)

2.Снизу – областью G

3.Сбоку – цилиндрической поверхностью.

Направляющей этой цилиндрической поверхности является область G, а образующими – прямые, || оси z.

Такое тело называется криволинейным цилиндром

Интегр сумма σ-это сумма объемов цилиндриков,в которой можно принять приближенно за тело Р,это приближенное равенство тем точнее,чем меньше область разбиения G на части,т е при переходе к пределу при 0 мы получаем равенство

n

VP = limf(α,β)S_i.

0 i=1

Т.о. геометрический смысл :

 от непрерывной, неотрицательной, ограниченной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Следствие: Если f(x,y) 1 для всех (x,y)€G,то I=f(x,y)dxdy =lim при λ→0 ∑f(α,β)* S_i= limS_i = S_G.

0 i=1

Свойства .

1.kf(x,y)d'xd'y = kf(x,y)d'xd'y

2. (f(x,y) + g(x,y))d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + _Gg(x,y)d'xd'y.

3. f(x,y)d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + f(x,y)d'xd'y.

Теорема о среднем:

Если ф-я f(x,y) непрерывна в области G, то в этой области  точка с координатами (α_I,β_I), такая, что

f(α_I,β_I)*S = f(x,y)d'xd'y, где S – площадь области G.

34. Сведение двойного интеграла к повторному(2случая).

1сл. Теорема о переходе от к повторному для прямоугольной области.

Рассмотрим  по некоторому прямоугольнику D' со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема: Пусть для ф-и f(x,y) в прямоугольной области D'={(x,y)|axb; cyd'} 

f(x,y)d'xd'y.(1)

D'

Пусть, кроме того, для каждого х из отрезка [а;b]  определенный интеграл

---

d'

I(x)=f(x,y)d'y.(2)

c b b d'

Тогда  интеграл I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y, называемый

a a c

повторным, и справедливо равенство:

b d'

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y.(3)

D' a c

Замечание: Если в теореме х и у поменять ролями, то будет доказано существование повторного интеграла

d' d' b

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c a

и справедлива формула

d' b

f(x,y)d'xd'y = d'yf(x,y)d'x. (8)

D' c a

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному.

Пример.

2сл. Теорема о переходе от  к повторному для криволинейной обл-ти.

Теорема. Пусть ф-я z=f(x,y) определена в области G={(x,y)|axb; y₁(x)yy₂(x)}, где у₁(х) и у₂(х) – непрерывные ф-и, у₁(х)у₂(х) для axb.

Пусть, кроме того,  двойной интеграл

f(x,y)d'xd'y и для каждого х из отрезка [a,b] существует

G

определенный интеграл

у₂(х)

f(x,y)d'y = I(x).

у₁(х)

Тогда  повторный интеграл:

b b у₂(х)

I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y

a a у₁(х)

и справедливо равенство

a у₂(х)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y (1)

G b у₁(х)

Замечание1.

Если в теореме х и у поменять ролями, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла:

d' d' x₂(y)

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c x₁(y)

и равенства:

d' x₂(y)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y

G c x₁(y)

35. Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2,….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму

а1+а2+а….+аn= ∑a_n при 1→∞ (1)

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1,а2,…аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Sn= ∑a_n при 1→∞ Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных.

Числовой ряд (1) назыв. Сходящ,если посл-ть частичных сумм сходится к некоторому числу S,т.е. S= ∑a_n при 1→∞

Т.к. число членов ряда бесконечно,то частичные суммы ряда S_n образуют бесконечную посл-ть частичных сумм.

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.

36. Свойства сходящихся числовых рядов.

Св. сход. Рядов

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..= ∑a_n при 1→∞ сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд ∑ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰ Если ряды ∑a_n при 1→∞ и Sn= ∑ b_n при 1→∞ сходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд ∑(а_n+- b_n) также сходится , при чём его сумма S=S’+-S”

2⁰ и 3⁰ следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n->0

37. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к 0.

---

а_n=S_n-S_n-1 и, поскольку ряд сход., S_n->S и S_n-1->S при n->, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замечание. Условие явл. Необх,но не достаточн. ,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=∑1/n при n=1 и ∞

lim _(n->oo)1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim S_2n=S

lim S_n=S

S_2n- S_n

lim (S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию,сл-но гармонич. Ряд расходится.

38. 38. Ряды с неотрицательными членами. Признак сходимости.

Пусть E(1,oo)a_n и любой а_nнеравен0

Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д. , чтобы послед. Частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной.

Доказ. Необходимость: пусть ряд E(1,oo)a_n сходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {S_n} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена

Достаточность: пусть {S_n} – ограниченная последовательность ,т.к. любой а_n0, то 0<

=S₁<=S₂<=…..<=S_n, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится, и ряд также сходится

39. Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами E(1,oo)an=a1+a2+...+an (1)и E(1,oo)bn=b1+b2+...+bn(2) (2)выполняется неравенство ab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

40. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд E(1,oo)a_n (1) с положительными членами и существует

предел lim(n->oo) ((a_n+1)/(a_n))=p. Тогда:

а) при p<1 ряд сходится; б) при p>1 ряд расходится; в) при р=1 - ?

Интегральный признак Коши. 

Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= Ef(n) (2) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x , положительной, непрерывной и убывающей на +oo полуинтервале [1, +oo). Тогда, если ∞ ∫(1,n+1) f(x)d'x (3)(несобств) сходится, то сходится и ряд (2).Если же (3)расходится , то и ряд (2) также расходится.

[Т] признак Коши.

Пусть дан ряд сумма ∞∑n=1 а_n для любого n Q≥0 то сущ P= lim при n→∞ √a_n (корень в степени n),тогда если: а) р<1,то ряд сходится; б) р>1,ряд расходится; в) р=1, - ?.

39. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)^(ⁿ⁺¹⁾a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim(n->oo) a_n = 0, то ряд сходится.

39. Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= E(1,oo)a_n (1), где числа а₁…могут быть как положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=Eа_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1),при этом ряд (1) назыв абсолютно сходящимся.

---

Замечание. Данное условие явл достаточным,но не необходимым.

Ряд (1) назыв словно сход,если он сходится,а ряд (2) расходится.

Замечание2. Абсолютно сход и условно сход ряды обладают разными св-ами.

39. Степенные ряды.

Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nx^ⁿ+…=E(o,oo)a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Мн-во тех Х,прикоторых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Замечание. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀не равном 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию яl хl<lх₀l.

2. Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию lхl<lх₁l.

Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд E(0,oo) аn х^n (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при lxl<R и расходится при l хl>R.

Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Интервал сходимости равен +∞,если ряд сходится на всей числовой прямой.

Если R=0,то ряд сходится.Только при х=0,т.е. любоц степенной ряд имеет свой радиус сходимости.На концах интервалов ряд может сходиться,а может расходиться.

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim(n->oo)lаn+1/anlне равно0 ,то радиус сходимости степенного ряда E(0-00)аnх^n(1) равен R= lim(n->oo)lan/an+1l.

39. Св-ва степенных рядов.

Теорема:Если ф-ция f(x) на интеграле (-R;R) разлагаема в степеннои ряд f(x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…(6),то она дифференцируема на этом интервале и её производная f ' (x) может быть наидена почленным дифференцированием ряда (6), т.е. f ‘ (x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…) ’ =a1+2a2x+3a3x^2+…+nanx^(n-1)+…Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка ф-ции f(x) .При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости что и ряд (6)

Теорема:Если ф-ция f(x) на интервале ( -R;R) разлогается в степеннои ряд (6), то она интегрируема в интервале ( -R;R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (6) т.е. если х1,х2Є( -R;R), то

Х1∫х2 f(x)dx=x1∫x2(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…)dx=x1∫x2a0dx+x1∫x2 a1xdx+…x1∫x2 anx^ndx+…

39. Разложение ф-ии в степенные ряды.Ряды Тейлора и Маклорена.

Определение:Пусть ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда s, т.е. f(x)=n=0∑∞ anx ⁿ (*), интервал сходимости которого(-R;R). Тогда говорят, что на интервале (-R;R) степенная ф-ция f(x)разлагается в степенной, ряд или в ряд по степеням x.

Замечание В ряде случаев рассматривают степенные ряды более общего вида g(x) n=0∑∞ a_n*(x-c) ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)² +a₃(x-c)³ +…

При этом говорят что ф-ция g(x) разлагается в степенной ряд по степеням x-c. Второй случай заменим y = x -c –сводится к первому.

Теорема : Если ф-ция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд (*), то это разложение единственно, а коэффициенты определ. по форм. a₀=f(0), a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!, n≥1

---

Получим что f(x)=f(0)+f ’ (0)+f ”(0)*x²/2+…+ f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!+…(**)

Формула (**) называется рядом Маклорена.

F(x)=f( c)+f ‘ (c)*(x-1)/1!+f “ (c)*(x-2)² / 2!+…+ f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+..-ряд Теилора

39. Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.

Определение 1. Уравнение вида Р (х, у, у'} = О (1)

где х — независимая переменная', у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y', то оно принимает вид

У' =f(х, у} . (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относитель-но производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

dy/dx=f(x,y) или в виде /f(х, у) dх- dу = 0, являющемся част-ным случаем более общего уравнения

-

Р (х, у)dх + Q (х, у) dу =О, (3)

где Р (х, у] и Q (х, у] — известные функции. Уравнение в симмет-ричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равно-правны- Т. E каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Примеры диф Ур вида 2 и 3

Решением диф Ур первоо порядка наз функция y=Ф(х), х э (а,в), которая при подстановке в Ур обращ его в верное тождество. Пример

График реш диф Ур на интегральной кривой.

Коши. Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение У' =f(х, у} (2) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о суще-ствовании и единственности решения дифференциального уравне-ния (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15.1. (теорема Коши)**. Если функция f (х, y) и ее частная производная f'у (х, у) определены и непрерывны в некото-рой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя тoчка (X0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки су-ществует единственное решение уравнения у' =f(х, у), удовлетво-ряющее условиям:

у = у0 при х = .x0.(4)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее не-известно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутрен-нюю точку (х0; y0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=Ф(у) принимает за-данное значение у0„ в заданной точке х0, называют начальными усло-виями решения и записывают обычно так:

у\x=xо = Уо. (5)

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего началь-ным условиям (5), — одна из важнейших задач теории дифферен-циальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С гео-метрической точки зрения решить задачу Коши — значит из мно-жества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0;у0) плоскости Оху.

Точки плоскости, через кот либо прох более одной инт кривой, либо не прох ни одной, наз особыми точками данного Ур.

---

Смотрите также файлы

• ОТЗЫВЫ ОБУЧАВШИХСЯ НА ФОТОКУРСАХ.doc

• Voprosy_k_ekzamenu_fiz_2014-15.doc

• языкознание.doc

• Письм перевод_ЗАНЯТИЕ 1_0 (1).doc

• 93_lekcionnyh_voprosa_po_kursu_politologiya.doc