Файл: Блок 2 Кинематика Лекция Кинематика материальной точки. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.11.2023
Просмотров: 44
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Блок 2 Кинематика Лекция 1. Кинематика материальной точки. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Краткие сведения по истории развития кинематики.
2. Кинематика точки. Введение в кинематику.
3. Способы задания движения точки.
4. Вектор скорости точки.
5. Вектор ускорения точки.
6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки.
7. Определение ускорения в полярных координатах.
8. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки.
9. Некоторые частные случаи движения точки. Кинематика точки. Введение в кинематику. Кинематикой от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения. Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени. Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела. Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве стечением времени. Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Тело отсчета - тело (или группа тел, принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1). Рис. Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны.
1. Краткие сведения по истории развития кинематики.
2. Кинематика точки. Введение в кинематику.
3. Способы задания движения точки.
4. Вектор скорости точки.
5. Вектор ускорения точки.
6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки.
7. Определение ускорения в полярных координатах.
8. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки.
9. Некоторые частные случаи движения точки. Кинематика точки. Введение в кинематику. Кинематикой от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения. Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени. Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела. Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве стечением времени. Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Тело отсчета - тело (или группа тел, принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1). Рис. Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны.
Движение тел совершается в пространстве стечением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство. Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимую переменную (аргумент. Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д) рассматриваются как изменяющиеся стечением времени, те. как функции времени t. В теоретической механике при измерении пространства за основную единицу длины принимают метр (м, аза основную единицу времени — секунду с. Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и независимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, принимаемая в качестве аргумента.
При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент времени. Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным моментом называется время, с которого начинают отсчет времени. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как- то задано (описано. Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела, установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение. Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.
Радиус-вектор точки М - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета Ос точкой М рис. 2). Координатах точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости ив пространстве определяют соответственно одним (х, двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами - координатами рис. 2.1). Рис.
При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент времени. Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным моментом называется время, с которого начинают отсчет времени. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как- то задано (описано. Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела, установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение. Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.
Радиус-вектор точки М - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета Ос точкой М рис. 2). Координатах точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости ив пространстве определяют соответственно одним (х, двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами - координатами рис. 2.1). Рис.
Рис Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно. Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к выбранной системе координат.
В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка. Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией На практике форму траектории задают с помощью математических формул (ух — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободнопадающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен s> 0. Перемещение тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка Ми конечное точка М) положение тела (см. рис. 2):
, где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени. Проекция перемещения на ось Ох ∆r
x
х = х-х
0
, где x
0
и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Модуль перемещения не может быть больше пути
≤
s. Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется. Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка. Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией На практике форму траектории задают с помощью математических формул (ух — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободнопадающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен s> 0. Перемещение тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка Ми конечное точка М) положение тела (см. рис. 2):
, где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени. Проекция перемещения на ось Ох ∆r
x
х = х-х
0
, где x
0
и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Модуль перемещения не может быть больше пути
≤
s. Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется. Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
Способы задания движения точки Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный изначала координат О в точку М (рис. 3). Рис. При движении точки М вектор будет стечением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором
(вектором-функцией), зависящим от аргумента t: Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора , те. годографэтого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис, которые при движении точки будут стечением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, те. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, те. знать зависимости
x=f
1
(t), y=f
2
(t), z=f
3
(t). Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t. Нетрудно установить зависимость между векторными координатным способами задания движения. Разложим вектор на составляющие по осям координат где r
x
, r
y
, r
z
- проекции вектора на оси
– единичные векторы направленные по осям, орты осей. Так как начало вектора находится вначале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный изначала координат О в точку М (рис. 3). Рис. При движении точки М вектор будет стечением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором
(вектором-функцией), зависящим от аргумента t: Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора , те. годографэтого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис, которые при движении точки будут стечением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, те. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, те. знать зависимости
x=f
1
(t), y=f
2
(t), z=f
3
(t). Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t. Нетрудно установить зависимость между векторными координатным способами задания движения. Разложим вектор на составляющие по осям координат где r
x
, r
y
, r
z
- проекции вектора на оси
– единичные векторы направленные по осям, орты осей. Так как начало вектора находится вначале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому
Если движение точки задано в полярных координатах
r=r(t),
φ
=
φ
(t), где r — полярный радиус,
φ
— угол между полярной осью и полярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим
r = r(
φ
). Пример 1. Движение точки задано уравнениями Рис. Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения
sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как
sin
2
2t+cos
2
2t=1, получим
. Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис. Начальное положение точки M
0
(при t=0) определяется координатами x
0
=0, y
0
=3 см. Через 1 сек. точка будет в положении M
1 с координатами
x
1
=2sin2=2
∙
0,91=1,82 см, y
1
=2cos2=3
∙
(-0,42)= -1,25 см. Примечание. Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.
3. Естественный способ задания движения точки. Рис. Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета
Oxyz рис) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О,
r=r(t),
φ
=
φ
(t), где r — полярный радиус,
φ
— угол между полярной осью и полярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим
r = r(
φ
). Пример 1. Движение точки задано уравнениями Рис. Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения
sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как
sin
2
2t+cos
2
2t=1, получим
. Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис. Начальное положение точки M
0
(при t=0) определяется координатами x
0
=0, y
0
=3 см. Через 1 сек. точка будет в положении M
1 с координатами
x
1
=2sin2=2
∙
0,91=1,82 см, y
1
=2cos2=3
∙
(-0,42)= -1,25 см. Примечание. Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.
3. Естественный способ задания движения точки. Рис. Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета
Oxyz рис) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О,
которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M
1
, М. . следовательно, расстояние s будет стечением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость
s=f(t). Уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории. Функция
s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории. Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути
σ
. При своем движении точка проходит некоторый путь
σ
, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь совпадает с расстоянием s лишь тогда,когда функция = f(t) монотонно изменяется со временем, те. при движении точки водном направлении. Допустим, что точка М переходит из М в М. Положению точки в М
1
соответствует время t
1
, а положению точки в М - время t
2
. Разложим промежуток времени t
2
- t
1
на весьма малые промежутки времени
∆
t
1
(i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение водном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим
∆
s
i
. Пройденной точкой путь
σ
будет положительной величиной Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле так как где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt. Следовательно, Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).
1
, М. . следовательно, расстояние s будет стечением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость
s=f(t). Уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории. Функция
s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории. Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути
σ
. При своем движении точка проходит некоторый путь
σ
, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь совпадает с расстоянием s лишь тогда,когда функция = f(t) монотонно изменяется со временем, те. при движении точки водном направлении. Допустим, что точка М переходит из М в М. Положению точки в М
1
соответствует время t
1
, а положению точки в М - время t
2
. Разложим промежуток времени t
2
- t
1
на весьма малые промежутки времени
∆
t
1
(i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение водном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим
∆
s
i
. Пройденной точкой путь
σ
будет положительной величиной Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле так как где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt. Следовательно, Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).
Рис. Вначале движения, при t=0 s=OM
0
=s
0
=3 см. Положение точки называется начальным положением При t=1 с, s=OM
1
=5 см. Конечно, засек. точка прошла расстояние M
0
M
1
=2см.Так что s – это не путь пройденный точкой, а расстояние от начала отсчёта до точки. Вектор скорости точки Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий. Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной. Единица измерения скорости – мс. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 мс. Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса- вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным. Для равномерно-прямолинейного движения
∆r=v∆t, (1) где v– постоянный вектор. Вектор называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет. Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем Направление вектора v указано на рис. 6.1. Рис. При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент t
1
приходит в положение M
1 определяемое вектором (рис. Тогда перемещение точки за промежуток времени
∆t=t
1
-t определяется вектором который будем называть вектором
0
=s
0
=3 см. Положение точки называется начальным положением При t=1 с, s=OM
1
=5 см. Конечно, засек. точка прошла расстояние M
0
M
1
=2см.Так что s – это не путь пройденный точкой, а расстояние от начала отсчёта до точки. Вектор скорости точки Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий. Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной. Единица измерения скорости – мс. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 мс. Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса- вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным. Для равномерно-прямолинейного движения
∆r=v∆t, (1) где v– постоянный вектор. Вектор называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет. Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем Направление вектора v указано на рис. 6.1. Рис. При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент t
1
приходит в положение M
1 определяемое вектором (рис. Тогда перемещение точки за промежуток времени
∆t=t
1
-t определяется вектором который будем называть вектором
перемещения точки. Из треугольника ОММ
1
видно, что
; следовательно, Рис. 7. Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени
∆t: Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v ср при стремлении промежутка времени
∆t к нулю Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки повремени. Так как предельным направлением секущей ММ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение скорости точки при координатном способе задания движения Вектор скорости точки
, учитывая, что r x
=x, r y
=y, r z
=z, найдем Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки повремени. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (те. углы
α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки повремени. Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна. Определение скорости точки при естественном способе задания движения Величину скорости можно определить как предел (
∆r – длина хорды ММ
1
видно, что
; следовательно, Рис. 7. Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени
∆t: Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v ср при стремлении промежутка времени
∆t к нулю Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки повремени. Так как предельным направлением секущей ММ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение скорости точки при координатном способе задания движения Вектор скорости точки
, учитывая, что r x
=x, r y
=y, r z
=z, найдем Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки повремени. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (те. углы
α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки повремени. Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна. Определение скорости точки при естественном способе задания движения Величину скорости можно определить как предел (
∆r – длина хорды ММ
где
∆s – длина дуги ММ. Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt. Следовательно, скорость точки есть первая производная повремени от закона движения Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении Вектор ускорения точки Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении Ми имеет скорость v, а в момент t
1
приходит в положение M
1
и имеет скорость v
1
(рис. 8). Рис. Тогда за промежуток времени
∆t=t
1
-t скорость точки получает приращение
. Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v
1
, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор
. Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени
∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени Вектор среднего ускорения имеет тоже направление, что и вектор
, те. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени
∆t к нулю Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки повремени. Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, таки по направлению это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.
∆s – длина дуги ММ. Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt. Следовательно, скорость точки есть первая производная повремени от закона движения Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении Вектор ускорения точки Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении Ми имеет скорость v, а в момент t
1
приходит в положение M
1
и имеет скорость v
1
(рис. 8). Рис. Тогда за промежуток времени
∆t=t
1
-t скорость точки получает приращение
. Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v
1
, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор
. Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени
∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени Вектор среднего ускорения имеет тоже направление, что и вектор
, те. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени
∆t к нулю Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки повремени. Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, таки по направлению это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.
Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (риса) векторы и сонаправлены (
) и проекция ускорения на направление движения положительна. При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны (
) и проекция ускорения на направление движения отрицательна. Рис. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор
, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке Ми прямую, параллельную касательной в соседней точке M
1
(рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, те. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Определение ускорения при координатном способе задания движения Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем Или те. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки повремени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул где
α
1
,
β
1
,
γ
1
- углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями. Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t, Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории Это уравнение параболы. Вначале движения, при t=0, точка находилась на самом верху, в положении M
0
(x
0
=0, y
0
=3 см.
) и проекция ускорения на направление движения положительна. При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны (
) и проекция ускорения на направление движения отрицательна. Рис. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор
, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке Ми прямую, параллельную касательной в соседней точке M
1
(рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, те. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Определение ускорения при координатном способе задания движения Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем Или те. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки повремени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул где
α
1
,
β
1
,
γ
1
- углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями. Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t, Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории Это уравнение параболы. Вначале движения, при t=0, точка находилась на самом верху, в положении M
0
(x
0
=0, y
0
=3 см.
А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами x
1
=1 см y
1
=2 см. Проекции скорости на оси v x
= =2см
∙с
-1
, v y
= =-8t см
∙с
-1
При t =0,5 c, v x
=2см
∙с
-1
, v y
=-4 см
∙с
-1
И модуль скорости Составляющие скорости по осями векторе показаны в масштабе на рис.
10. Рис. Проекции ускорения a x
= =0, a y
= =-8 см
∙с
-2
. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрицательна, то вектор ускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени. Определение ускорения в полярных координатах Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах r=r(t);
φ=φ(t). Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам х со, у. Найдем проекции a r
и a
φ
ускорения точки на радиальное (r) и трансверсальное (
φ) направления дважды дифференцируя выражения для декартовых координат (рис. Рис. 10.1 Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси M
τnb, имеющие начало в точке Ми движущиеся вместе с нею рис. Эти оси, называемые осями естественного трехгранника, направлены следующим образом ось M
τ - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории
1
=1 см y
1
=2 см. Проекции скорости на оси v x
= =2см
∙с
-1
, v y
= =-8t см
∙с
-1
При t =0,5 c, v x
=2см
∙с
-1
, v y
=-4 см
∙с
-1
И модуль скорости Составляющие скорости по осями векторе показаны в масштабе на рис.
10. Рис. Проекции ускорения a x
= =0, a y
= =-8 см
∙с
-2
. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрицательна, то вектор ускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени. Определение ускорения в полярных координатах Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах r=r(t);
φ=φ(t). Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам х со, у. Найдем проекции a r
и a
φ
ускорения точки на радиальное (r) и трансверсальное (
φ) направления дважды дифференцируя выражения для декартовых координат (рис. Рис. 10.1 Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси M
τnb, имеющие начало в точке Ми движущиеся вместе с нею рис. Эти оси, называемые осями естественного трехгранника, направлены следующим образом ось M
τ - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории
ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала сними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости(в плоскости самой кривой, если кривая плоская, называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью. Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой Ми образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью. Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке Ми любую точку кривой М, когда последняя стремится в пределе к совпадению сточкой М. При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются. Рис. Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, те. в плоскости M
τn; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю (a=0). Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении Ми имеет скорость v, a в момент t
1
=t+
∆t приходит в положение Ми имеет скорость Тогда по определению Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси M
τ и Mn, проведенные в точке М (рис. Тогда на основании теоремы о проекции суммы или разности) векторов на ось получим Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М оси
, параллельные M
τ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора и касательной M
τ через ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках Ми М называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности
∆φ к длине дуги
MM
1
=
∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны
ρ в точке М. Таким образом,
τn; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю (a=0). Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении Ми имеет скорость v, a в момент t
1
=t+
∆t приходит в положение Ми имеет скорость Тогда по определению Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси M
τ и Mn, проведенные в точке М (рис. Тогда на основании теоремы о проекции суммы или разности) векторов на ось получим Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М оси
, параллельные M
τ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора и касательной M
τ через ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках Ми М называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности
∆φ к длине дуги
MM
1
=
∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны
ρ в точке М. Таким образом,
Обращаясь теперь к чертежу (рис, находим, что проекции векторов и на оси M
τ, Mn, будут равны где v и v
1
- численные величины скорости точки в моменты t и Следовательно, Заметим что при
∆t→0 точка М неограниченно приближается к Ми одновременно Тогда, учитывая, что в пределе
, получим для a
τ
выражение Правую часть выражения a n
преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на
∆φ∆s. Тогда будем иметь так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при
∆t→0 равны Окончательно получаем Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной отчисленной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой проекция ускорения на бинормаль равна нулю
(a b
=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинематики точки. Рис. Отложим вдоль касательной M
τ и главной нормали Mn векторы и , численно равные a
τ
ирис. Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна, а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси M
τ в зависимости от знака проекции см. риса и б.
τ, Mn, будут равны где v и v
1
- численные величины скорости точки в моменты t и Следовательно, Заметим что при
∆t→0 точка М неограниченно приближается к Ми одновременно Тогда, учитывая, что в пределе
, получим для a
τ
выражение Правую часть выражения a n
преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на
∆φ∆s. Тогда будем иметь так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при
∆t→0 равны Окончательно получаем Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной отчисленной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой проекция ускорения на бинормаль равна нулю
(a b
=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинематики точки. Рис. Отложим вдоль касательной M
τ и главной нормали Mn векторы и , численно равные a
τ
ирис. Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна, а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси M
τ в зависимости от знака проекции см. риса и б.
Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих и
. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю Относительность движения. Сложение скоростей Как отмечалось выше, для описания движения тела необходимо выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В качестве тела отсчета может выступать любое тело. В разных системах отсчета будут различны вид траектории, значения скорости, перемещения и других величин. В этом и заключается относительность движения. Например, человек идет по палубе парохода со скоростью относительно парохода. Пароход движется поступательно со скоростью относительно берега. Найдем скорость человека относительно берега. Свяжем неподвижную систему отсчета (Оху) с Землей, а подвижную (О'х'у')
— с пароходом. Рис. Из рис видно, что перемещение
(1) где
— перемещение человека относительно парохода,
— перемещение парохода относительно берега,
— перемещение человека относительно берега. Таким образом, если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. В этом состоит установленный экспериментально принцип независимости движений Разделив уравнение (1) на промежуток времени, за который произошли перемещения человека и парохода, получим закон сложения скоростей Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (абсолютная скорость) равна геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета (относительная скорость) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной (переносная скорость. Некоторые частные случаи движения точки.
. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю Относительность движения. Сложение скоростей Как отмечалось выше, для описания движения тела необходимо выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В качестве тела отсчета может выступать любое тело. В разных системах отсчета будут различны вид траектории, значения скорости, перемещения и других величин. В этом и заключается относительность движения. Например, человек идет по палубе парохода со скоростью относительно парохода. Пароход движется поступательно со скоростью относительно берега. Найдем скорость человека относительно берега. Свяжем неподвижную систему отсчета (Оху) с Землей, а подвижную (О'х'у')
— с пароходом. Рис. Из рис видно, что перемещение
(1) где
— перемещение человека относительно парохода,
— перемещение парохода относительно берега,
— перемещение человека относительно берега. Таким образом, если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. В этом состоит установленный экспериментально принцип независимости движений Разделив уравнение (1) на промежуток времени, за который произошли перемещения человека и парохода, получим закон сложения скоростей Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (абсолютная скорость) равна геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета (относительная скорость) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной (переносная скорость. Некоторые частные случаи движения точки.
Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Равномерное прямолинейное движение Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, те. это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью
— уравнение скорости,
— уравнение ускорения. Пусть в момент времени t
0
=0 координата телах, в момент t - х (рис. 14). Рис. Тогда за промежуток времени Δt=t-t
0
=t координатах тела изменилась на величину х = х - х. Следовательно, проекция скорости тела
, и x=x
0
+v x
t- кинематическое уравнение равномерного движения (уравнение зависимости координаты от времени. Проекция перемещения ∆r x
=х-х
0
∆r x
=v x
t - уравнение перемещения. При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь
. Следовательно,
— уравнение пути. Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически. Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел 1, 2, 3 (рис. 15). Рис. Тела 1, 2 движутся в положительном направлении оси Ох, причем
; тело 3 движется в направлении, противоположном оси Ох их начальные координаты соответственно
,
. Графики скорости представлены на рис. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s модулю перемещения, пройденному телом 1 за время t
1
. На рис даны графики перемещения
, на рис - графики пути s=f(t).
— уравнение скорости,
— уравнение ускорения. Пусть в момент времени t
0
=0 координата телах, в момент t - х (рис. 14). Рис. Тогда за промежуток времени Δt=t-t
0
=t координатах тела изменилась на величину х = х - х. Следовательно, проекция скорости тела
, и x=x
0
+v x
t- кинематическое уравнение равномерного движения (уравнение зависимости координаты от времени. Проекция перемещения ∆r x
=х-х
0
∆r x
=v x
t - уравнение перемещения. При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь
. Следовательно,
— уравнение пути. Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически. Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел 1, 2, 3 (рис. 15). Рис. Тела 1, 2 движутся в положительном направлении оси Ох, причем
; тело 3 движется в направлении, противоположном оси Ох их начальные координаты соответственно
,
. Графики скорости представлены на рис. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s модулю перемещения, пройденному телом 1 за время t
1
. На рис даны графики перемещения
, на рис - графики пути s=f(t).
Рис. Рис. Рис. Наклон графика
, коси времени зависит от модуля скорости Графики движения (зависимости координаты от времени) изображены на рис. Рис. С помощью графика движения можно определить
1) координаты тела в любой момент времени
2) путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени
3) время, за которое пройден какой-то путь
4) кратчайшее расстояние между телами в любой момент времени
5) момент и место встречи тел и др. Равноускоренное прямолинейное движение Равноускоренное прямолинейное движение - это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, те. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. с — уравнение ускорения. По определению ускорения Пусть в момент времени t
0
скорость тела равна , в момент времени t - . Тогда за промежуток времени ∆t=t-t
0
=t скорость изменилась на Следовательно, ускорение
— уравнение скорости. Или в проекциях Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис. Рис. Графики ускорения представлены на риса графики скорости
- на рис. Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис. Для малого промежутка времени ∆t изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени ∆t будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки
, коси времени зависит от модуля скорости Графики движения (зависимости координаты от времени) изображены на рис. Рис. С помощью графика движения можно определить
1) координаты тела в любой момент времени
2) путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени
3) время, за которое пройден какой-то путь
4) кратчайшее расстояние между телами в любой момент времени
5) момент и место встречи тел и др. Равноускоренное прямолинейное движение Равноускоренное прямолинейное движение - это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, те. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. с — уравнение ускорения. По определению ускорения Пусть в момент времени t
0
скорость тела равна , в момент времени t - . Тогда за промежуток времени ∆t=t-t
0
=t скорость изменилась на Следовательно, ускорение
— уравнение скорости. Или в проекциях Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис. Рис. Графики ускорения представлены на риса графики скорости
- на рис. Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис. Для малого промежутка времени ∆t изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени ∆t будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки
времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени ∆t=t-t
0
=t в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции. Рис Рис Рис Следовательно,
(2) Подставив значение в (2), получим
— уравнение перемещения в проекциях
— уравнение перемещения в векторном виде. Учитывая, что х=х
0
+∆r х, имеем
— кинематическое уравнение равноускоренного движения. Его векторный вид Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим Сравнивая выражение (2) с формулой
, найдем
- проекция средней скорости при равноускоренном движении. Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис. Рис. Равномерное криволинейное движение Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной v=const. Тогда и все ускорение точки равно одному только нормальному
0
=t в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции. Рис Рис Рис Следовательно,
(2) Подставив значение в (2), получим
— уравнение перемещения в проекциях
— уравнение перемещения в векторном виде. Учитывая, что х=х
0
+∆r х, имеем
— кинематическое уравнение равноускоренного движения. Его векторный вид Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим Сравнивая выражение (2) с формулой
, найдем
- проекция средней скорости при равноускоренном движении. Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис. Рис. Равномерное криволинейное движение Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной v=const. Тогда и все ускорение точки равно одному только нормальному
Вектор ускорения направлен при этом все время по нормали к траектории точки. Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Найдем закон равномерного криволинейного движения. Из формулы имеем ds=vdt. Пусть в начальный момент (t=0) точка находится от начала отсчета на расстоянии s
0
. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде s=s
0
+vt. Если s
0
=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени s=vt, v=s/t. Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной a
τ
=const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s
0
, а v=v
0
, где v
0
- начальная скорость точки. Согласно формуле имеем dv=a
τ
dt. Так как a
τ
=const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим v=v
0
+a
τ
t. Формулу представим в виде Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным. Свободное падение тел. Ускорение свободного падения Свободное падение - это движение тела под действием только силы тяжести. На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме.
0
. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде s=s
0
+vt. Если s
0
=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени s=vt, v=s/t. Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной a
τ
=const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s
0
, а v=v
0
, где v
0
- начальная скорость точки. Согласно формуле имеем dv=a
τ
dt. Так как a
τ
=const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим v=v
0
+a
τ
t. Формулу представим в виде Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным. Свободное падение тел. Ускорение свободного падения Свободное падение - это движение тела под действием только силы тяжести. На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме.
Ускорение , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободнопадающего тела за единицу времени. Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.
Галилео Галилей установил (закон Галилея все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, те. ускорение свободного падения не зависит от массы тела. В земных условиях g зависит от географической широты местности. Наибольшее значение оно имеет на полюсе g=9,81 мс, наименьшее — на экваторе g=9,75 мс. Причины этого
1) суточное вращение Земли вокруг своей оси
2) отклонение формы Земли от сферической
3) неоднородное распределение плотности земных пород. Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты R — радиус планеты. Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, тона поверхности планеты радиусом R Для небольших высот (g<
Галилео Галилей установил (закон Галилея все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, те. ускорение свободного падения не зависит от массы тела. В земных условиях g зависит от географической широты местности. Наибольшее значение оно имеет на полюсе g=9,81 мс, наименьшее — на экваторе g=9,75 мс. Причины этого
1) суточное вращение Земли вокруг своей оси
2) отклонение формы Земли от сферической
3) неоднородное распределение плотности земных пород. Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты R — радиус планеты. Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, тона поверхности планеты радиусом R Для небольших высот (g<
1 2 3 4 5 6
Решение. Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали В точке А Тогда и
Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, тов каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз – t
2
. Время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит, При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно, Дальность полета Высота подъема тела Пример 20. Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-
2)
2
. Каковы начальная скорость v
0
и ускорение точки a? Найти мгновенную скорость точки v t=5
вначале пятой секунды движения.
Решение.
1) Т.к. v=x’, то v
0
=(4
∙(t-2)
2
)’=(4
∙(t
2
-4t+4))’=(4t
2
-16t+16)’=8t-16 при t=0 v
0
=-16 мс.
2) Т.к. a= , то a=(8t-16)’=8 мс.
3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с. v
t=5
=8t-16=8
∙4-16=32 мс. Ответ Начальная скорость точки v
0
=-16 мс, ускорение a=8 мс, скорость точки вначале пятой секунды движения v t=5
=32 мс. Лекция 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Степени свободы твердого тела.
2. Поступательное и вращательное движения твердого тела.
3. Поступательное движение.
4. Движение тела по окружности.
5. Вращательное движение твердого тела вокруг оси.
6. Угловая скорость и угловое ускорение.
7. Равномерное и равнопеременное вращения.
8. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
9. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Степени свободы твердого тела Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы.
2
. Время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит, При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно, Дальность полета Высота подъема тела Пример 20. Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-
2)
2
. Каковы начальная скорость v
0
и ускорение точки a? Найти мгновенную скорость точки v t=5
вначале пятой секунды движения.
Решение.
1) Т.к. v=x’, то v
0
=(4
∙(t-2)
2
)’=(4
∙(t
2
-4t+4))’=(4t
2
-16t+16)’=8t-16 при t=0 v
0
=-16 мс.
2) Т.к. a= , то a=(8t-16)’=8 мс.
3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с. v
t=5
=8t-16=8
∙4-16=32 мс. Ответ Начальная скорость точки v
0
=-16 мс, ускорение a=8 мс, скорость точки вначале пятой секунды движения v t=5
=32 мс. Лекция 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Степени свободы твердого тела.
2. Поступательное и вращательное движения твердого тела.
3. Поступательное движение.
4. Движение тела по окружности.
5. Вращательное движение твердого тела вокруг оси.
6. Угловая скорость и угловое ускорение.
7. Равномерное и равнопеременное вращения.
8. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
9. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Степени свободы твердого тела Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы.
Рис. Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (риса, тов данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.1,б), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота
φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в), то число степеней свободы становится равным трем – к x и
φ добавляется угол поворота рамки Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы например декартовы координаты x, y и z. Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r,
????
, z) и сферической (r,
????
,
????
) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три. Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат Ото координаты x и y определяют положение точки на плоскости, акоордината z тождественно равна нулю. Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами широтой и долготой. Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета. Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис. Положение каждой точки определяется тремя параметрами, нона них наложена связь. Рис. Уравнение l
2
=(x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
+(z
2
-z
1
)
2
является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров. Поэтому эти две точки имеют (2
∙3-
1=5) пять степеней свободы. Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно (3
∙3-3=6) шести. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы
φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в), то число степеней свободы становится равным трем – к x и
φ добавляется угол поворота рамки Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы например декартовы координаты x, y и z. Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r,
????
, z) и сферической (r,
????
,
????
) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три. Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат Ото координаты x и y определяют положение точки на плоскости, акоордината z тождественно равна нулю. Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами широтой и долготой. Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета. Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис. Положение каждой точки определяется тремя параметрами, нона них наложена связь. Рис. Уравнение l
2
=(x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
+(z
2
-z
1
)
2
является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров. Поэтому эти две точки имеют (2
∙3-
1=5) пять степеней свободы. Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно (3
∙3-3=6) шести. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы
отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно вышесказанному, число степеней свободы должно быть равно шести. Поступательное движение. В кинематике, как ив статистике, будем рассматривать все тела как абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тела расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным. Кинематика твердого тела, также как и динамика твердого тела, является одним из наиболее трудных разделов курса теоретической механики. Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части
1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом
2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела. Существует пять видов движения твердого тела
1) поступательное движение
2) вращение вокруг неподвижной оси
3) плоское движение
4) вращение вокруг неподвижной точки
5) свободное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует путать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.
2. Спарник АВ (рис) при вращении кривошипов O
1
A и O
2
B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению. Точки спарника движутся при этом по окружностям. Рис. Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы вовремя движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания
1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом
2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела. Существует пять видов движения твердого тела
1) поступательное движение
2) вращение вокруг неподвижной оси
3) плоское движение
4) вращение вокруг неподвижной точки
5) свободное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует путать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.
2. Спарник АВ (рис) при вращении кривошипов O
1
A и O
2
B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению. Точки спарника движутся при этом по окружностям. Рис. Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы вовремя движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания
относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках (рис) относительно Земли. Рис. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz. Возьмем в теле две произвольные точки Аи В, положения которых в момент времени t определяются радиусами- векторами ирис. Рис. Проведем вектор , соединяющий эти точки. Тогда При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ вовсе время движения тела остается постоянным (AB=const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор
. Следовательно, траектории точек Аи В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми. Для нахождения скоростей точек Аи В продифференцируем обе части равенства повремени. Получим Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Производные же от векторов и повремени дают скорости точек Аи В. В результате находим, что те. что скорости точек Аи В тела в любой момент времени одинаковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные повремени Следовательно, ускорения точек Аи В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
. Следовательно, траектории точек Аи В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми. Для нахождения скоростей точек Аи В продифференцируем обе части равенства повремени. Получим Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Производные же от векторов и повремени дают скорости точек Аи В. В результате находим, что те. что скорости точек Аи В тела в любой момент времени одинаковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные повремени Следовательно, ускорения точек Аи В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
Так как точки Аи В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана. Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной. При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела. Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины скорость тела или ускорение тела для этих движений теряют смысл. Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные, остаются вовсе время движения неподвижными (рис. Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения. Величина, обратная периоду, — частота вращения. Проходящая через неподвижные точки Аи В прямая АВ называется осью вращения. Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 6). Рис.
Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом
φ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол
φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если походу часовой стрелки. Измерять угол
φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла
φ от времени t, те. φ=f(t). Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Если за промежуток времени
∆t=t
1
-t тело совершает поворот на угол
∆φ=φ
1
-
φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
∆t→0 найдем, что или
ω= . Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота повремени. Знак
ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки,
ω>0, а когда походу часовой стрелки, то
ω<0. Размерность угловой скорости Т (те. время в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, с (с, так как радиан - величина безразмерная. Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, анормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения Вектор направлен по радиусу траектории точки коси вращения. Угловое ускорение характеризует изменение стечением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени
∆t=t
1
-t угловая скорость тела изменяется на величину
∆ω=ω
1
-
ω, то числовое значение среднего углового
φ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол
φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если походу часовой стрелки. Измерять угол
φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла
φ от времени t, те. φ=f(t). Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Если за промежуток времени
∆t=t
1
-t тело совершает поворот на угол
∆φ=φ
1
-
φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
∆t→0 найдем, что или
ω= . Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота повремени. Знак
ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки,
ω>0, а когда походу часовой стрелки, то
ω<0. Размерность угловой скорости Т (те. время в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, с (с, так как радиан - величина безразмерная. Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, анормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения Вектор направлен по радиусу траектории точки коси вращения. Угловое ускорение характеризует изменение стечением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени
∆t=t
1
-t угловая скорость тела изменяется на величину
∆ω=ω
1
-
ω, то числовое значение среднего углового
ускорения тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
∆t→0 найдем, Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела повремени. Размерность углового ускорения 1/T
2
(время в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с
2
или, что тоже, с
(с. Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины
ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные. Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора
ε, направленного вдоль оси вращения. При этом Направление
ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно ириса, противоположно
ω при замедленном вращении (рис.6,б). Равномерное и равнопеременное вращения Если угловая скорость тела остается вовсе время движения постоянной
(
ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем d
φ
=
ω
dt. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол
φ=φ
0
, и беря интегралы слева от
φ
0
до
φ, а справа от 0 дополучим окончательно
φ=φ
0
+ωt. Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда
φ
0
=0
φ=ωt и ω=φ/t. В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и
ω с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2
πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что
ω=π∙n/30≈0,1n. Если угловое ускорение тела вовсе время движения остается постоянным
(
ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол
φ=φ
0
, а угловая скорость
ω=ω
0
(
ω
0
- начальная угловая скорость. Из формулы имеем d
ω=ε∙dt. Интегрируя левую часть в пределах от
ω
0
до
ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω
0
+
εt, d
φ/dt=ω
0
+
εt или dφ=ω
0
dt+
εtdt. Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения Если величины
ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
. В пределе при
∆t→0 найдем, Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела повремени. Размерность углового ускорения 1/T
2
(время в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с
2
или, что тоже, с
(с. Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины
ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные. Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора
ε, направленного вдоль оси вращения. При этом Направление
ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно ириса, противоположно
ω при замедленном вращении (рис.6,б). Равномерное и равнопеременное вращения Если угловая скорость тела остается вовсе время движения постоянной
(
ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем d
φ
=
ω
dt. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол
φ=φ
0
, и беря интегралы слева от
φ
0
до
φ, а справа от 0 дополучим окончательно
φ=φ
0
+ωt. Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда
φ
0
=0
φ=ωt и ω=φ/t. В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и
ω с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2
πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что
ω=π∙n/30≈0,1n. Если угловое ускорение тела вовсе время движения остается постоянным
(
ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол
φ=φ
0
, а угловая скорость
ω=ω
0
(
ω
0
- начальная угловая скорость. Из формулы имеем d
ω=ε∙dt. Интегрируя левую часть в пределах от
ω
0
до
ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω
0
+
εt, d
φ/dt=ω
0
+
εt или dφ=ω
0
dt+
εtdt. Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения Если величины
ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.
1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Рис. 7. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол d
φ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hd
φ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, те Скорость в отличие от угловой скорости тела называют линейной скоростью точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела
имеет в данный момент времени одно и тоже значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Рис. 7. Рис. 8. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами В нашем случае
ρ=h. Подставляя значение v в выражения a
τ
и a n
, получим или окончательно
1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Рис. 7. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол d
φ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hd
φ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, те Скорость в отличие от угловой скорости тела называют линейной скоростью точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела
имеет в данный момент времени одно и тоже значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Рис. 7. Рис. 8. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами В нашем случае
ρ=h. Подставляя значение v в выражения a
τ
и a n
, получим или окончательно
Касательная составляющая ускорения a
τ
направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела ив обратную сторону при, замедленном нормальная составляющая a n
всегда направлена по радиусу МС коси вращения (рис. Полное ускорение точки М будет Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом
μ, который вычисляется по формуле Подставляя сюда значения a
τ
и a n
, получаем Так как
ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и тоже значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол
μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.
3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r
∙
sin
α
и по формуле Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,
- формула Эйлера, те. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что
φ=0,5sin2t. Длинам. (рис. 15). Рис Решение Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение Например, при t=1 с,
φ=0,5sin2=0,45 рад ω=cos2=-0,42 c
-1
(вращение почасовой стрелке
ε=-2sin2=-1,82 c
-2
(угловое ускорение направлено также почасовой стрелке. Вращение в этом положении ускоренное. Скорость точки M: v
M
=l
ω=1∙0,42=0,42 мс (определяется модуль скорости. Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения. Нормальное ускорение a n
=l
ω
2
=1
∙0,42 2
=0,176 мс, касательное ускорение a
τ
=l
ε=1∙1,82=1,82 мс. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение. Величина полного ускорения точки
τ
направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела ив обратную сторону при, замедленном нормальная составляющая a n
всегда направлена по радиусу МС коси вращения (рис. Полное ускорение точки М будет Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом
μ, который вычисляется по формуле Подставляя сюда значения a
τ
и a n
, получаем Так как
ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и тоже значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол
μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.
3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r
∙
sin
α
и по формуле Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,
- формула Эйлера, те. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что
φ=0,5sin2t. Длинам. (рис. 15). Рис Решение Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение Например, при t=1 с,
φ=0,5sin2=0,45 рад ω=cos2=-0,42 c
-1
(вращение почасовой стрелке
ε=-2sin2=-1,82 c
-2
(угловое ускорение направлено также почасовой стрелке. Вращение в этом положении ускоренное. Скорость точки M: v
M
=l
ω=1∙0,42=0,42 мс (определяется модуль скорости. Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения. Нормальное ускорение a n
=l
ω
2
=1
∙0,42 2
=0,176 мс, касательное ускорение a
τ
=l
ε=1∙1,82=1,82 мс. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение. Величина полного ускорения точки
Вращение тела вокруг неподвижной точки Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям. Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.
1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой. Положение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными являются углы Эйлера
Ψ (пси, ????(тета), φ (фи. Положение тела определяется следующим образом. Назначаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. Начало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая система, оси x
1
, y
1
, z
1
, связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться как положение этих осей относительно неподвижных. Рис Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол
Ψ вокруг оси z. При этом оси x
1
и отойдут от осей x ив горизонтальной плоскости и ось x
1
займёт положение OK рис. Затем тело вращаем вокруг нового положения оси x
1
(прямой OK) на угол
θ. Ось z
1
отойдёт от осина этот угол
θ, а ось y
1
приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения осина угол
φ. Ось x
1
отойдёт от положения OK в наклонной плоскости, перпендикулярной оси z
1
. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано. Пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x
1
Oy
1
, прямая OK, называется линией узлов. Угол
Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом нутации, угол
φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов. При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам
Ψ=Ψ(t); θ=θ(t); φ=φ(t) которые называются уравнениями вращения. Рис. 9.5. Рис. 9.5. Рис. 9.5.
1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой. Положение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными являются углы Эйлера
Ψ (пси, ????(тета), φ (фи. Положение тела определяется следующим образом. Назначаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. Начало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая система, оси x
1
, y
1
, z
1
, связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться как положение этих осей относительно неподвижных. Рис Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол
Ψ вокруг оси z. При этом оси x
1
и отойдут от осей x ив горизонтальной плоскости и ось x
1
займёт положение OK рис. Затем тело вращаем вокруг нового положения оси x
1
(прямой OK) на угол
θ. Ось z
1
отойдёт от осина этот угол
θ, а ось y
1
приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения осина угол
φ. Ось x
1
отойдёт от положения OK в наклонной плоскости, перпендикулярной оси z
1
. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано. Пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x
1
Oy
1
, прямая OK, называется линией узлов. Угол
Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом нутации, угол
φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов. При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам
Ψ=Ψ(t); θ=θ(t); φ=φ(t) которые называются уравнениями вращения. Рис. 9.5. Рис. 9.5. Рис. 9.5.
На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис. Ось волчка z
1
описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом
Ψ (говорят волчок совершает прецессию. Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации
θ. А вращение волчка вокруг своей оси z
1
, определяемое углом
φ – собственное вращение. Рис 2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.
Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис. Рис Покажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками. Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение A
1
и B
1
. Соединим точки A и A
1
, B и B
1
дугами большого радиуса AA
1
и BB
1
. Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения P
1
. Соединим эту точку
P
1
с точками A, B, A
1
, B
1
. Получим два сферических треугольника
∆ABP
1
и
∆A
1
B
1
P
1
, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A
1
B
1
, аи как дуги равноудалённые от перпендикуляров. Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P
1
, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP
1
1
описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом
Ψ (говорят волчок совершает прецессию. Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации
θ. А вращение волчка вокруг своей оси z
1
, определяемое углом
φ – собственное вращение. Рис 2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.
Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис. Рис Покажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками. Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение A
1
и B
1
. Соединим точки A и A
1
, B и B
1
дугами большого радиуса AA
1
и BB
1
. Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения P
1
. Соединим эту точку
P
1
с точками A, B, A
1
, B
1
. Получим два сферических треугольника
∆ABP
1
и
∆A
1
B
1
P
1
, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A
1
B
1
, аи как дуги равноудалённые от перпендикуляров. Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P
1
, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP
1
Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку O
1 2 3 4 5 6
. Это утверждение – есть теорема
Даламбера-Эйлера. Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-то другим, наверное более сложным путём. Но, если время
∆t такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг нес угловой скоростью
. Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения,а угловую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.
3) Скорость точек тела. По теореме Даламбера-Эйлера за малое время
∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP
1
с некоторой угловой скоростью
(рис. Рис Тогда скорость точки M:
В пределе, при
∆t→0, угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости
, направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки - к истинному значению Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=h
∙ω (рис. Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось P из неподвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени. Рис. 9.8. Рис. 9.7. Рис. 9.9.
Пример 2. Водило OA=a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью
ω
0
, заставляет диск радиуса R кататься по горизонтальной плоскости рис. Рис Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке O, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O. Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси. Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её скорость v
A
=a
ω
0
(рис. Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой скорости
(h – расстояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: v
B
=2h
∙ω. Так как h=R∙cosα и
,
, то и v
B
=2a
ω
0
4) Ускорение точек тела. Сначала определим угловое ускорение тела
. При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка, расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис. Рис. 21
ω
0
, заставляет диск радиуса R кататься по горизонтальной плоскости рис. Рис Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке O, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O. Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси. Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её скорость v
A
=a
ω
0
(рис. Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой скорости
(h – расстояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: v
B
=2h
∙ω. Так как h=R∙cosα и
,
, то и v
B
=2a
ω
0
4) Ускорение точек тела. Сначала определим угловое ускорение тела
. При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка, расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис. Рис. 21
Если рассматривать вектор как радиус-вектор этой точки, то Итак. Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости Этот результат называется теоремой Резаля. Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела есть сумма двух векторов. Первый вектор
. Модуль его a
1
=
εr∙sinα
1
=
ε∙h
1
, где h
1
– расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендикулярно и . Но таким же способом определяется касательное ускорение. Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором . И обозначается этот вектор ускорения так Второй вектор
Модуль его a
2
=
ωv∙cosα
2
, но
α
2
=90
°, т.к. векторы и перпендикулярны друг другу. Рис. 22 Значит a
2
=
ωv=ωh
2
ω=h
2
ω
2
, где h
2
– расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора . Направлен вектор перпендикулярно и , те. также как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений Этот результат называется теоремой Ривальса.
. Модуль его a
1
=
εr∙sinα
1
=
ε∙h
1
, где h
1
– расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендикулярно и . Но таким же способом определяется касательное ускорение. Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором . И обозначается этот вектор ускорения так Второй вектор
Модуль его a
2
=
ωv∙cosα
2
, но
α
2
=90
°, т.к. векторы и перпендикулярны друг другу. Рис. 22 Значит a
2
=
ωv=ωh
2
ω=h
2
ω
2
, где h
2
– расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора . Направлен вектор перпендикулярно и , те. также как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений Этот результат называется теоремой Ривальса.
Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и неравен, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси. Пример 3. Продолжим исследование движения диска (пример 2). Модуль угловой скорости
Значит вектор вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса r=
ω∙cosα с угловой скоростью ω
0
. Поэтому угловое ускорение диска Откладывается вектор из неподвижной точкиО. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х рис. 23). Рис
Найдём ускорение точки В. Ускорение
. Направлен вектор перпендикулярно
OB и расположен в плоскости zO
1
y. Ускорение Вектор направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси x, y, z: Значит Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Значит вектор вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса r=
ω∙cosα с угловой скоростью ω
0
. Поэтому угловое ускорение диска Откладывается вектор из неподвижной точкиО. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х рис. 23). Рис
Найдём ускорение точки В. Ускорение
. Направлен вектор перпендикулярно
OB и расположен в плоскости zO
1
y. Ускорение Вектор направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси x, y, z: Значит Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
Дано
ω=20 рад/с , N=10 об. Найти
ε-? Решение При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения
φ=φ
о
+
ω
о t+
εt
2
/2 и
ω= о. По условию о, тогда эти уравнения примут вид
φ=εt
2
/2 и
ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно
ε=ω
2
/4
πN=3,2 рад/с. Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с
2
(рис. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. Дано R= 0,1 м,
ε=3,14 рад/с
2
Найти:
ω-? v -? a
τ
-? a -?
0
a
n
a
a
t Рис Решение 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость
ω = о. По условию о, тогда
ω = εt, те. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды
ω=3,14 рад/с.
2) Так как v=
ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 мс.
3) Тангенциальное ускорение a
τ
=
????R не зависит от времени t. В нашем случае a
τ
=0,314 мс 4) Нормальное ускорение a
n
=
ω
2
R=
ε
2
t
2
R, те. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени при t=1 c мс 5) Полное ускорение растет со временем по закону При t=1 c a=1,03 мс 6) Имеем
, где
α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, те. при t=0, a =a
τ
- полное ускорение направлено по касательной. При t=
∞ a
= a
n
(так как a
τ
=const и
a
n пропорционально времени, те. при t=
∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sin
α=a
τ
/a
n
=0,314/1,03=0,305, те. о. Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением
ε= 3 рад/с
2
. Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения Сколько оборотов N оно при этом совершит?
Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений
ω=20 рад/с , N=10 об. Найти
ε-? Решение При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения
φ=φ
о
+
ω
о t+
εt
2
/2 и
ω= о. По условию о, тогда эти уравнения примут вид
φ=εt
2
/2 и
ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно
ε=ω
2
/4
πN=3,2 рад/с. Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с
2
(рис. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. Дано R= 0,1 м,
ε=3,14 рад/с
2
Найти:
ω-? v -? a
τ
-? a -?
0
a
n
a
a
t Рис Решение 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость
ω = о. По условию о, тогда
ω = εt, те. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды
ω=3,14 рад/с.
2) Так как v=
ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 мс.
3) Тангенциальное ускорение a
τ
=
????R не зависит от времени t. В нашем случае a
τ
=0,314 мс 4) Нормальное ускорение a
n
=
ω
2
R=
ε
2
t
2
R, те. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени при t=1 c мс 5) Полное ускорение растет со временем по закону При t=1 c a=1,03 мс 6) Имеем
, где
α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, те. при t=0, a =a
τ
- полное ускорение направлено по касательной. При t=
∞ a
= a
n
(так как a
τ
=const и
a
n пропорционально времени, те. при t=
∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sin
α=a
τ
/a
n
=0,314/1,03=0,305, те. о. Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением
ε= 3 рад/с
2
. Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения Сколько оборотов N оно при этом совершит?
Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений
В начальный момент тело покоилось, значит,
ω
0
=0. Тогда Следовательно,
ω=εt=3∙3=9 рад/с. Количество оборотов Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n
0
=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора С каким угловым ускорением
ε он двигался Решение.
Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n
0
=900 об/мин = 15 об/с, получим Время движения равно Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением a
τ
=5 см/с
2
. Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения
ω=ω
0
+
εt. Так как ω
0
=0, то
ω=εt. Нормальное ускорение a n
=
ω
2
R=(
εt)
2
R. Тангенциальное ускорение a
τ
=
εR. По условию задачи a
n
=2a
τ
, тогда (
εt)
2
R=2
εR, следовательно, εt
2
=2 и Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct
3
, где С = 0,1 см/с
3
. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 мс. Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения. Отсюда,
ω
0
=0. Тогда Следовательно,
ω=εt=3∙3=9 рад/с. Количество оборотов Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n
0
=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора С каким угловым ускорением
ε он двигался Решение.
Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n
0
=900 об/мин = 15 об/с, получим Время движения равно Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением a
τ
=5 см/с
2
. Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения
ω=ω
0
+
εt. Так как ω
0
=0, то
ω=εt. Нормальное ускорение a n
=
ω
2
R=(
εt)
2
R. Тангенциальное ускорение a
τ
=
εR. По условию задачи a
n
=2a
τ
, тогда (
εt)
2
R=2
εR, следовательно, εt
2
=2 и Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct
3
, где С = 0,1 см/с
3
. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 мс. Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения. Отсюда,
Тогда тангенциальное ускорение a
τ
=6
∙Ct=6∙0,1∙10
-2
∙10=0,06 м/с
2
Нормальное ускорение Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 мс, тангенциальное ускорение a
τ
= 1 мс. Для момента времени t = 2 с определить а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения в) линейную и угловую скорости г) нормальное, полное и угловое ускорения. Рис Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид
(м. Это позволяет найти длину пути м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s
1
=2
πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции
,
φ=2 (рад) = 114,7 0
. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол
φ. Линейная скорость точки v=v
0
+a
τ
t=3+1
∙2=5 мс. Угловая скорость
ω=vR=5∙4=20 рад/с. Нормальное ускорение Полное ускорение
Модуль полного ускорения Угловое ускорение Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 мс. Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот
τ
=6
∙Ct=6∙0,1∙10
-2
∙10=0,06 м/с
2
Нормальное ускорение Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 мс, тангенциальное ускорение a
τ
= 1 мс. Для момента времени t = 2 с определить а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения в) линейную и угловую скорости г) нормальное, полное и угловое ускорения. Рис Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид
(м. Это позволяет найти длину пути м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s
1
=2
πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции
,
φ=2 (рад) = 114,7 0
. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол
φ. Линейная скорость точки v=v
0
+a
τ
t=3+1
∙2=5 мс. Угловая скорость
ω=vR=5∙4=20 рад/с. Нормальное ускорение Полное ускорение
Модуль полного ускорения Угловое ускорение Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 мс. Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот
Рис Решение. Зная скорость автомобиля v=36 км/ч =10 мс, найдем его нормальное ускорение Полное ускорение автомобиля Угловое ускорение Угловая скорость Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол
φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол
α, дополняющий искомый угол до
180 Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v
1
точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v
2
,
точки, лежащей на расстоянии r =5 м ближе коси колеса. Дано v
2
=2,5v
1
, r=R-5 Рис Решение.
1) Уточек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей т.к.
ω
1
=
ω
2
, приравниваем правые части уравнений
φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол
α, дополняющий искомый угол до
180 Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v
1
точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v
2
,
точки, лежащей на расстоянии r =5 м ближе коси колеса. Дано v
2
=2,5v
1
, r=R-5 Рис Решение.
1) Уточек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей т.к.
ω
1
=
ω
2
, приравниваем правые части уравнений
Решим уравнение относительно R: Ответ Радиус вращающегося колеса равен 8,33 см. Пример 13. На рис показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения. Рис Решение. Вектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта. На рис ирис он направлен вверх, на рис ирис- вниз. При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и
4). Приуменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис ирис. Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно. Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графиками, изображенным на рис. Рис Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - почасовой стрелке и против. С направлением вращения связан вектор угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения почасовой стрелке. Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение
ε=dω/dt производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным почасовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.
t
1
2
увеличивается
уменьшается
уменьшается
увеличивается
1
2
3
4
4). Приуменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис ирис. Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно. Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графиками, изображенным на рис. Рис Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - почасовой стрелке и против. С направлением вращения связан вектор угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения почасовой стрелке. Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение
ε=dω/dt производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным почасовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.
t
1
2
увеличивается
уменьшается
уменьшается
увеличивается
1
2
3
4
Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение (вспомните геометрический смысл производной) отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась почасовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением (оба вектора - и угловая скорость, и угловое ускорение направлены в одну сторону. Пример 15. Скорость точки, движущейся по кривой, уменьшается по модулю. На каком рисунке, показанных на рис правильно показан вектор полного ускорения Рис Решение. При движении по криволинейной траектории скорость изменяется по величине и направлению. Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна (как на рис) Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории (как на рис. 30.3) Вектор полного ускорения правильно изображен на рис. Пример 16. Угловая скорость точки, движущейся по окружности, изменяется по графику, изображенному на рис. Как изменяется со временем угол между векторами ускорения и скорости Рис
v
v
v
v
1
2
3
4
a
a
a
a
t
v
v
v
v
1
2
3
4
a
a
a
a
t
Решение. Согласно графику угловая скорость линейно возрастает. Угловое ускорение по определению равно производной угловой скорости повремени. Производная линейной функции постоянна, поэтому угловое ускорение не изменяется. Запишем выражения, связывающие составляющие ускорения с угловыми величинами Следовательно, тангенциальное ускорение не изменяется по величине в процессе движения, анормальное ускорение возрастает. Построим векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорений. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Направление вектора ускорения рассматривалось ранее. Рис угол
α между векторами Из рис видно, что скорости и ускорения возрастает. Пример
17. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v
0
. Найти скорость и ускорение точки как функцию времени. Решение. Установим уравнения, связывающие аи а. По условию задачи модули нормального и тангенциального ускорений совпадают
|a
n
|=|a
τ
|. Нормальное ускорение всегда положительно. При замедленном движении приращение скорости отрицательно. С учетом этих замечаний система уравнений принимает вида а,
(1) Подставляя (2) ив, приходим к уравнению с разделяющимися переменными Разделяя переменные v и t, получаем Интегрируем в пределах от t = 0, v = v
0
дои в результате имеем
a
a
n
a
v
α между векторами Из рис видно, что скорости и ускорения возрастает. Пример
17. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v
0
. Найти скорость и ускорение точки как функцию времени. Решение. Установим уравнения, связывающие аи а. По условию задачи модули нормального и тангенциального ускорений совпадают
|a
n
|=|a
τ
|. Нормальное ускорение всегда положительно. При замедленном движении приращение скорости отрицательно. С учетом этих замечаний система уравнений принимает вида а,
(1) Подставляя (2) ив, приходим к уравнению с разделяющимися переменными Разделяя переменные v и t, получаем Интегрируем в пределах от t = 0, v = v
0
дои в результате имеем
a
a
n
a
v
Из этого соотношения находим искомую зависимость скорости от времени Подставляем v(t) в формулу (2) Учитывая, что a n
=-a
τ
и
, получаем зависимость полного ускорения от времени Пример 18. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением
φ=αt
3
. Найти полное ускорение точки как функцию времени. Решение. Решим задачу двумя способами.
1 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия.
2 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия.
=-a
τ
и
, получаем зависимость полного ускорения от времени Пример 18. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением
φ=αt
3
. Найти полное ускорение точки как функцию времени. Решение. Решим задачу двумя способами.
1 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия.
2 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия.
Задачи для самостоятельного решения
- Маховое колесо, спустя 1 минуту после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
- Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки
- Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 рад/с
2
. 1) Через сколько времени вал остановится Сколько оборотов он сделает до остановки
- Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с
2
. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет 1) равно тангенциальному, 2) вдвое больше тангенциального
- Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равно 79,2 см/с.
- Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением x=Ct
3
, где С см/с
3
. Найти нормальное и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки равна
0,3 мс.
- Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол ос направлением линейной скорости этой точки.
- Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением v=At+Bt
2
, где А см/с
2
и В см/с
3
. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t=0,1,2,3,4 и 5 с после начала движения.
- Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением
φ=А+Вt+Ct
2
+Dt
3
, где В рад/с, С рад/с
2
и D=1 рад/с
3
. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 346 мс- Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол ос вектором ее линейной скорости.
- Чтобы брызги от велосипедных колес не попадали на велосипедиста, над колесами велосипеда устанавливаются щитки. Изобразите схематически на рисунке наименьшие размеры щитков, при которых брызги не могут попасть в велосипедиста.
- Маховое колесо, спустя 1 минуту после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
- Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки
- Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 рад/с
2
. 1) Через сколько времени вал остановится Сколько оборотов он сделает до остановки
- Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с
2
. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет 1) равно тангенциальному, 2) вдвое больше тангенциального
- Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равно 79,2 см/с.
- Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением x=Ct
3
, где С см/с
3
. Найти нормальное и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки равна
0,3 мс.
- Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол ос направлением линейной скорости этой точки.
- Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением v=At+Bt
2
, где А см/с
2
и В см/с
3
. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t=0,1,2,3,4 и 5 с после начала движения.
- Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением
φ=А+Вt+Ct
2
+Dt
3
, где В рад/с, С рад/с
2
и D=1 рад/с
3
. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 346 мс- Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол ос вектором ее линейной скорости.
- Чтобы брызги от велосипедных колес не попадали на велосипедиста, над колесами велосипеда устанавливаются щитки. Изобразите схематически на рисунке наименьшие размеры щитков, при которых брызги не могут попасть в велосипедиста.
- Когда резец токарного станка снимает за каждую минуту стружку длиннее
- вначале обтачивания или в конце, когда радиус детали уменьшился Угловую скорость считать постоянной.
- Почему верхние спицы катящегося колеса иногда сливаются для глаз, в то время как нижние видны раздельно
- К валу, радиус которого 5 м, прикреплена нить. Через 5 с после начала равномерного вращения вала на него намоталось 10 м нити. Чему равна угловая скорость вращения Лекция
1 2 3 4 5 6
3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Плоскопараллельное движение твердого тела.
2. Уравнения плоскопараллельного движения.
3. Разложение движения на поступательное и вращательное.
4. Определение скоростей точек плоской фигуры.
5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.
7. Решение задач на определение скорости.
8. План скоростей.
9. Определение ускорений точек плоской фигуры.
10. Решение задач на ускорения.
11. Мгновенный центр ускорений. Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Рис Рис Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости О, параллельной плоскости П (рис. При плоскопараллельном движении все точки тела,
лежащие на прямой ММ, перпендикулярной течению S, те. плоскости П, движутся тождественно. Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, те. в плоскости Оху. Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого- нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x
A
и точки Аи угол
, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом. При движении фигуры величины x
A
и и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, те. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при
=const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся также, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и
, те. когда полюс А неподвижен это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся также, как полюс Аи из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса
, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Определение скоростей точек плоской фигуры Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса Аи из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений. В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором
(рис, где
- радиус- вектор полюса А,
- вектор, определяющий положение точки М относительно осей
, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А. Тогда
A
и точки Аи угол
, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом. При движении фигуры величины x
A
и и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, те. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при
=const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся также, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и
, те. когда полюс А неподвижен это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся также, как полюс Аи из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса
, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Определение скоростей точек плоской фигуры Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса Аи из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений. В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором
(рис, где
- радиус- вектор полюса А,
- вектор, определяющий положение точки М относительно осей
, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А. Тогда
В полученном равенстве величина есть скорость полюса А величина же равна скорости
, которую точка М получает прите. относительно осей
, или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что Скорость
, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А
, где
ω - угловая скорость фигуры. Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. Рис Рис Теорема о проекциях скоростей двух точек тела Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела. Рис Один из таких методов дает теорема проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки Аи В плоской фигуры (или тела. Принимая точку Аза полюс (рис, получаем
. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ, находим
, которую точка М получает прите. относительно осей
, или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что Скорость
, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А
, где
ω - угловая скорость фигуры. Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. Рис Рис Теорема о проекциях скоростей двух точек тела Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела. Рис Один из таких методов дает теорема проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки Аи В плоской фигуры (или тела. Принимая точку Аза полюс (рис, получаем
. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ, находим
и теорема доказана.
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует ипритом единственная. Пусть в момент времени t точки Аи В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис. Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как
. В самом деле, если допустить, что
, то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как
) и ВР (так как
), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Рис Если теперь в момент времени
t
взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет
, так как
. Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС. Полученные результаты приводят к следующим выводам.
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек Аи В плоской фигуры или траектории этих точек мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Аи В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям.
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует ипритом единственная. Пусть в момент времени t точки Аи В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис. Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как
. В самом деле, если допустить, что
, то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как
) и ВР (так как
), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Рис Если теперь в момент времени
t
взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет
, так как
. Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС. Полученные результаты приводят к следующим выводам.
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек Аи В плоской фигуры или траектории этих точек мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Аи В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям.
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек Аи В перпендикуляры к и
, построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению определим направление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.
3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей. а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис, имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу. б) Если скорости точек Аи В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна
(риса, то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что те аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, те. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным. Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю. Рис Рис в) Если скорости точек Аи В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна то мгновенный центр скоростей Р
определяется построением, показанным на рис. б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случаев отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к
(рис.35,б), можно найти как Решение задач на определение скорости. Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик поданным задачи и следует начинать решение. Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость. Пример 8. Тело, имеющее форму катушки, катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что
(см. Радиусы цилиндров R
= 4 см и r = 2 см (рис. Рис Определим скорости точек А,В и С. Мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью. Скорость полюса С Угловая скорость катушки Скорости точек Аи В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей Рис. 9.23.
(рис.35,б), можно найти как Решение задач на определение скорости. Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик поданным задачи и следует начинать решение. Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость. Пример 8. Тело, имеющее форму катушки, катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что
(см. Радиусы цилиндров R
= 4 см и r = 2 см (рис. Рис Определим скорости точек А,В и С. Мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью. Скорость полюса С Угловая скорость катушки Скорости точек Аи В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей Рис. 9.23.
Пример 9. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле скорость
. Длина стержня AB=l. Определим скорость конца Аи угловую скорость стержня. Рис Нетрудно определить направление вектора скорости точки А, скользящей по вертикальной прямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляров к ирис. Угловая скорость Скорость точки А А скорость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно и равна План скоростей. Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис. Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. На рисунке
). Рис Свойства плана скоростей. а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела. Рис. 9.24. Рис. 9.26.
. Длина стержня AB=l. Определим скорость конца Аи угловую скорость стержня. Рис Нетрудно определить направление вектора скорости точки А, скользящей по вертикальной прямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляров к ирис. Угловая скорость Скорость точки А А скорость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно и равна План скоростей. Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис. Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. На рисунке
). Рис Свойства плана скоростей. а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела. Рис. 9.24. Рис. 9.26.
Действительно,
. Нона плане скоростей
. Значит причём перпендикулярна АВ, поэтому и
. Точно также и б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела. Так как
, то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела. Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительное на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом. Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость звена ОА. Рис Чтобы построить план скоростей должна быть известна скорость какой- нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В нашем примере можно определить скорость точки Аи направление её вектора . Рис Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе
Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим
. Нона плане скоростей
. Значит причём перпендикулярна АВ, поэтому и
. Точно также и б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела. Так как
, то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела. Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительное на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом. Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость звена ОА. Рис Чтобы построить план скоростей должна быть известна скорость какой- нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В нашем примере можно определить скорость точки Аи направление её вектора . Рис Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе
Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим
прямую перпендикулярно АВ до пересечения с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В
. По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости
(если с соединить сточкой О. Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает сточкой О. Далее. Должно быть и
. Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок о определит вектор скорости Определение ускорений точек плоской фигуры Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (также, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где
. Тогда В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение которое точкам получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно, Значение как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как
, где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис. Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла , а затем - угла между векторами
И Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить в виде
. При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное вектор всегда направлен от точки М к полюсу А рис. Численно же Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда
.
. По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости
(если с соединить сточкой О. Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает сточкой О. Далее. Должно быть и
. Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок о определит вектор скорости Определение ускорений точек плоской фигуры Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (также, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где
. Тогда В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение которое точкам получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно, Значение как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как
, где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис. Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла , а затем - угла между векторами
И Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить в виде
. При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное вектор всегда направлен от точки М к полюсу А рис. Численно же Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда
.
Рис Рис Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траектория известна, то можно заменить суммой Решение задач на определение ускорения Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны 1) векторы скорости и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей. Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения поданным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры
1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.
2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.
3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.
6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений. При решении задач можно применять теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, напрямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны. Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, таки по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические
1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.
2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.
3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.
6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений. При решении задач можно применять теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, напрямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны. Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, таки по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические
размеры тела неизвестны, неизвестны и – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускорения этого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, неизвестны скорости точек этого тела. Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры
1) Способ основан на дифференцировании дважды повремени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.
2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже.
3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела. Пример 11. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость и ускорение (рис. 43). Найдем ускорение точки А. Рис Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея ввиду, что
, а точка С движется по прямой, получим Если С – полюс, то
, где Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси хи у Тогда Ускорение мгновенного центра скоростей
, где Итак как
, ускорение и Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей неравно нулю. Пример 12. Вернёмся к примеру 9 (рис. 44). Рис. 9.30.
1) Способ основан на дифференцировании дважды повремени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.
2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже.
3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела. Пример 11. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость и ускорение (рис. 43). Найдем ускорение точки А. Рис Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея ввиду, что
, а точка С движется по прямой, получим Если С – полюс, то
, где Величину ускорения найдём с помощью проекций на оси хи у Тогда Ускорение мгновенного центра скоростей
, где Итак как
, ускорение и Таким образом, ускорение мгновенного центра скоростей неравно нулю. Пример 12. Вернёмся к примеру 9 (рис. 44). Рис. 9.30.
Рис
Найдём ускорение точки А, полагая те. Имеем
, (1) Где
, но направление вектора неизвестно, неизвестно и угловое ускорение . Предположим, что вектор направлен перпендикулярно АВ, влево. Ускорение
, конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси хи у, получим и Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А Положительное значение указывает на то, что направление вектора выбрано правильно. Из первого уравнения можно найти ускорение и угловое ускорение
(направления и также угаданы верно. Мгновенный центр ускорений. При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение какой-нибудь точки А фигуры и величины и , следующим путем
1) находим значение угла , из формулы
;
2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис при этом прямая АЕ должна быть отклонена отв сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренными против вращения, если оно является замедленным, те. в сторону направления углового ускорения ;
3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный
Найдём ускорение точки А, полагая те. Имеем
, (1) Где
, но направление вектора неизвестно, неизвестно и угловое ускорение . Предположим, что вектор направлен перпендикулярно АВ, влево. Ускорение
, конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси хи у, получим и Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А Положительное значение указывает на то, что направление вектора выбрано правильно. Из первого уравнения можно найти ускорение и угловое ускорение
(направления и также угаданы верно. Мгновенный центр ускорений. При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение какой-нибудь точки А фигуры и величины и , следующим путем
1) находим значение угла , из формулы
;
2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис при этом прямая АЕ должна быть отклонена отв сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренными против вращения, если оно является замедленным, те. в сторону направления углового ускорения ;
3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный
Рис Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, известно что
, где численно
. Подставляя сюда значение AQ находим, что
. Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол , следовательно, вектор параллелен
, но направлен в противоположную сторону. Поэтому и Если точку Q выбрать за полюс, то так как
, ускорение любой точки М тела, будет При этом численно Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом те. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис. Следует иметь ввиду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис, причем скорость его центра С постоянна (
), то мгновенный центр скоростей находится в точке Р (
), но при этом, как было показано
; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений. Рис Рис
, где численно
. Подставляя сюда значение AQ находим, что
. Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол , следовательно, вектор параллелен
, но направлен в противоположную сторону. Поэтому и Если точку Q выбрать за полюс, то так как
, ускорение любой точки М тела, будет При этом численно Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом те. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис. Следует иметь ввиду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис, причем скорость его центра С постоянна (
), то мгновенный центр скоростей находится в точке Р (
), но при этом, как было показано
; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений. Рис Рис
Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и Центры скоростей и ускорений совпадают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси. Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач. Лекция 4. Сложное движение точки и тела В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Сложное движение точки.
2. Относительное, переносное и абсолютное движения.
3. Теорема сложения скоростей.
4. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса.
5. Сложное движение твердого тела.
6. Цилиндрические зубчатые передачи.
7. Сложение поступательного и вращательного движений.
8. Винтовое движение. Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движения. До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом, называют составным или сложным Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета, и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Рис Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, которую называем основной или условно неподвижной
1. Сложное движение точки.
2. Относительное, переносное и абсолютное движения.
3. Теорема сложения скоростей.
4. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса.
5. Сложное движение твердого тела.
6. Цилиндрические зубчатые передачи.
7. Сложение поступательного и вращательного движений.
8. Винтовое движение. Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движения. До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом, называют составным или сложным Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета, и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Рис Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, которую называем основной или условно неподвижной
рис. Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе сними. Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям
Oxyz называется относительной скоростью (обозначается
), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать рассматривать их как неподвижные.
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе O
1
x
1
y
1
z
1
, является для точки М переносным движением Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом, Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается
). В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара. При исследовании сложного движения точки полезно применять Правило остановки. Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение. Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютными неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение. В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит оттого в какой момент будет остановлено относительное движение, оттого, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе сними. Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям
Oxyz называется относительной скоростью (обозначается
), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать рассматривать их как неподвижные.
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе O
1
x
1
y
1
z
1
, является для точки М переносным движением Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом, Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается
). В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара. При исследовании сложного движения точки полезно применять Правило остановки. Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение. Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютными неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение. В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит оттого в какой момент будет остановлено относительное движение, оттого, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все
точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точкам сложения скоростей. Пусть некоторая точка М совершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая сама движется произвольным образом по отношению к неподвижной системе отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, (рис. Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями Относительное движение – в движущихся осях уравнениями
Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы O
1
x
1
y
1
z
1
, с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной системы движутся по-разному. Положение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором , проведенным изначала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов подвижных осей О, Oy, Oz. Рис Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку Ос мгновенной угловой скоростью
. Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора и направления единичных векторов изменяются. Если векторы заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено. Рис. 10.3.
1
x
1
y
1
z
1
, (рис. Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями Относительное движение – в движущихся осях уравнениями
Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы O
1
x
1
y
1
z
1
, с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной системы движутся по-разному. Положение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором , проведенным изначала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов подвижных осей О, Oy, Oz. Рис Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку Ос мгновенной угловой скоростью
. Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора и направления единичных векторов изменяются. Если векторы заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено. Рис. 10.3.
Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором
, где координаты x, y, z точки М изменяются стечением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус- вектор задан в функции времени, то относительное движение точки М, те. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, может быть определено радиусом-вектором . Из рис видно, что
(1) Если относительные координаты x,y,z точки Ми векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, те. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным. Скорость составного движения точки Мили абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора точки M повремени Поэтому, дифференцируя равенство (1) повремени, получим Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы последующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координата ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов
, те. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета Каждая из групп слагаемых, обозначенных через и , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей и Скорость
, как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы остаются постоянными, те. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость представляет собой относительную скорость точки М. Скорость вычисляется так, как будто бы точка Мне двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство
(4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точки М. Итак,
. (5) Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.
, где координаты x, y, z точки М изменяются стечением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус- вектор задан в функции времени, то относительное движение точки М, те. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
, может быть определено радиусом-вектором . Из рис видно, что
(1) Если относительные координаты x,y,z точки Ми векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, те. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным. Скорость составного движения точки Мили абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора точки M повремени Поэтому, дифференцируя равенство (1) повремени, получим Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы последующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координата ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов
, те. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета Каждая из групп слагаемых, обозначенных через и , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей и Скорость
, как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы остаются постоянными, те. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость представляет собой относительную скорость точки М. Скорость вычисляется так, как будто бы точка Мне двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство
(4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точки М. Итак,
. (5) Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.
Пример 1. Колечко М движется по вращающемуся стержню (рис) так, что OM=s=3t
2
(см) и
(рад. Рис Ранее было установлено, что траектория относительного движения – прямая линия, совпадающая со стержнем, и движение это определяется уравнением s=s(t). Траектория переносного движения точки М в момент времени t
– окружность радиуса OM=s. Поэтому относительная скорость
. И направлена пока- сательной к траектории вдоль стержня (рис. Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси,
. Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню. Абсолютная скорость колечка
. Величина ее, т.к. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. Ускорение составного движения точки Мили абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М повремени Поэтому, дифференцируя равенство повремени, получим Разделим слагаемые правой части этого равенства натри группы. К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, ноне содержащие производные от векторов
: Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов
, ноне содержащие производных от относительных координат x,y,z: Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ник первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y,
z,
. Обозначим эту группу слагаемых через :
2
(см) и
(рад. Рис Ранее было установлено, что траектория относительного движения – прямая линия, совпадающая со стержнем, и движение это определяется уравнением s=s(t). Траектория переносного движения точки М в момент времени t
– окружность радиуса OM=s. Поэтому относительная скорость
. И направлена пока- сательной к траектории вдоль стержня (рис. Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси,
. Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню. Абсолютная скорость колечка
. Величина ее, т.к. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. Ускорение составного движения точки Мили абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М повремени Поэтому, дифференцируя равенство повремени, получим Разделим слагаемые правой части этого равенства натри группы. К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, ноне содержащие производные от векторов
: Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов
, ноне содержащие производных от относительных координат x,y,z: Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ник первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y,
z,
. Обозначим эту группу слагаемых через :
Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется так, как если бы относительные координаты x,y,z изменялись стечением времени, а векторы оставались неизменными, те. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому ускорение представляет собой относительное ускорение точки М. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится а покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки. Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется в предположении, что сама точка М покоится по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz (x
=const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
. Поэтому ускорение представляет собой переносное ускорение точки М. Третья группа слагаемых определяет ускорение , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению , так как содержит в своем выражении производные не к переносному ускорению
, так как содержит в своем выражении производные Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что Подставляя эти значения производных в равенства, получим или Здесь вектор есть относительная скорость точки М, поэтому Ускорение называют ускорением Кориолиса
=const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета O
1
x
1
y
1
z
1
. Поэтому ускорение представляет собой переносное ускорение точки М. Третья группа слагаемых определяет ускорение , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению , так как содержит в своем выражении производные не к переносному ускорению
, так как содержит в своем выражении производные Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что Подставляя эти значения производных в равенства, получим или Здесь вектор есть относительная скорость точки М, поэтому Ускорение называют ускорением Кориолиса
1 2 3 4 5 6
. Ввиду того, что ускорение
Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением. С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений. Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса. Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет где - угол между вектором и вектором
. Чтобы определить направление поворотного ускорения , нужно мысленно перенести вектор в
Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением. С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений. Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса. Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет где - угол между вектором и вектором
. Чтобы определить направление поворотного ускорения , нужно мысленно перенести вектор в
точку Ми руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор нужно направлять перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами и , итак, чтобы, смотря с конца вектора , наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от к происходящим против движения часовой стрелки. Для определения направления можно также пользоваться следующим правилом НЕ. Жуковского чтобы получить направление поворотного ускорения
, достаточно составляющую относительной скорости точки М, перпендикулярную к вектору , повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ) на прямой угол вокруг точки М в направлении переносного вращения (рис. Рис Если переносное движение подвижной системы отсчета есть поступательное движение, то
=0 и поэтому поворотное ускорение
a
точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю ив том случае, когда в данный момент времени обращается в нуль. Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращаться в нуль, если а) вектор относительной скорости точки параллелен вектору угловой скорости переносного вращения, те. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения б) точка не имеет движения относительно подвижной системы отсчета или относительная скорость точки в данный момент времени равна нулю (
). Пример 2. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 5). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость , а скорость вращения тела – угловая скорость переносного движения . Ускорение Кориолиса
, направлено перпендикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора векторного произведения. Так, как показано на рис. 5.
, достаточно составляющую относительной скорости точки М, перпендикулярную к вектору , повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ) на прямой угол вокруг точки М в направлении переносного вращения (рис. Рис Если переносное движение подвижной системы отсчета есть поступательное движение, то
=0 и поэтому поворотное ускорение
a
точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю ив том случае, когда в данный момент времени обращается в нуль. Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращаться в нуль, если а) вектор относительной скорости точки параллелен вектору угловой скорости переносного вращения, те. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения б) точка не имеет движения относительно подвижной системы отсчета или относительная скорость точки в данный момент времени равна нулю (
). Пример 2. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 5). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость , а скорость вращения тела – угловая скорость переносного движения . Ускорение Кориолиса
, направлено перпендикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора векторного произведения. Так, как показано на рис. 5.