Файл: Блок 2 Кинематика Лекция Кинематика материальной точки. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.11.2023
Просмотров: 45
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Рис Нетрудно сформулировать более удобное правило определения направления вектора : нужно спроектировать вектор относительной скорости на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора укажет направление кориолисова ускорения. (Это правило было предложено НЕ. Жуковским. Пример 3. (Вернемся к примеру 1). Найдем абсолютное ускорение колечка М
. (6) Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом
OM=s:
, где Значит
(рис. Рис Относительное ускорение Ускорение Кориолиса Вектор направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского. Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси x
1
и y
1
проектируя равенство (6) на оси, получим Тогда Рис. 10.7
. (6) Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом
OM=s:
, где Значит
(рис. Рис Относительное ускорение Ускорение Кориолиса Вектор направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского. Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси x
1
и y
1
проектируя равенство (6) на оси, получим Тогда Рис. 10.7
Сложное движение твердого тела. Также как при сложном движении точки нередко и движение тела можно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, состоящее из двух поступательных движений или поступательного движения и вращения вокруг оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек принадлежащих телу, совершающему сложное движение, можно проводить методами, изложенными выше и никаких особых трудностей не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает некоторые особенности, которые следует рассмотреть специально.
1. Сложение вращений тела вокруг двух осей На рис. 7 изображено тело, которое совершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижной оси. Естественно, первое вращение следует назвать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозначить Рис Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. Ели тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с Овсе время будет неподвижной. Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображается векторами и , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответствующим осям. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис. Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной
. Но относительное движение точки (используя правило остановки, есть вращение с угловой скоростью вокруг оси , определяется радиусом-вектором . Поэтому, Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси с угловой скоростью и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость r. Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично
, где - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р. Рис. 11.1.
1. Сложение вращений тела вокруг двух осей На рис. 7 изображено тело, которое совершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижной оси. Естественно, первое вращение следует назвать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозначить Рис Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. Ели тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с Овсе время будет неподвижной. Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображается векторами и , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответствующим осям. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис. Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной
. Но относительное движение точки (используя правило остановки, есть вращение с угловой скоростью вокруг оси , определяется радиусом-вектором . Поэтому, Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси с угловой скоростью и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость r. Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично
, где - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р. Рис. 11.1.
По формуле сложения скоростей получим или Отсюда То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах ирис. Частные случаи
1. Оси вращения и
параллельны, направления вращений одинаковы рис. 8). Рис Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит расстояние между осями на части обратно пропорциональные и :
. (аналогично равнодействующей параллельных сил. В этом частном случае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на оси Р.
2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны рис Рис В этом случае
(при
). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что
(опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил.
3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны
1. Оси вращения и
параллельны, направления вращений одинаковы рис. 8). Рис Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит расстояние между осями на части обратно пропорциональные и :
. (аналогично равнодействующей параллельных сил. В этом частном случае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на оси Р.
2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны рис Рис В этом случае
(при
). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что
(опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил.
3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны
Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил. Пример 4. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью (рис. Рис Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось
– ось переносного вращения . Соответственно угловые скорости векторы их направлены по осями. Абсолютная угловая скорость
, а величина ее, так как
, Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относительной скоростей
, где и
, или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору и оси Р. Пример 5. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси Ос угловой скоростью
. Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость , этого колеса. Радиусы колес R
1
, R
2
, R
3 рис. Рис
– ось переносного вращения . Соответственно угловые скорости векторы их направлены по осями. Абсолютная угловая скорость
, а величина ее, так как
, Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относительной скоростей
, где и
, или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору и оси Р. Пример 5. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси Ос угловой скоростью
. Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость , этого колеса. Радиусы колес R
1
, R
2
, R
3 рис. Рис
Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно оси O
1
. Ось О будет переносной осью, ось O
1
– относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила
, направленная почасовой стрелке, как . Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью
(риса колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью , против часовой стрелки. Так как
, то
. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому и направлена также как , против часовой стрелки. В частности, если R
3
=R
1
, то и
. Колесо 3 будет двигаться поступательно. Рис Исследование движения других подобных конструкций (планетарных и дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом. Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, нов противоположную сторону. Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную
, где
. Покажем (рис) единичные векторы и орты осей и
), а векторы угловых скоростей запишем так
Тогда и угловое ускорение, при
, Здесь Поэтому или и
, где – угловое ускорение переносного вращения – угловое ускорение относительного вращения
– добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скорости при переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осями, как скорость конца вектора . Модуль добавочного углового ускорения
, где - угол между осями. Рис. 11.7
1
. Ось О будет переносной осью, ось O
1
– относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила
, направленная почасовой стрелке, как . Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью
(риса колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью , против часовой стрелки. Так как
, то
. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому и направлена также как , против часовой стрелки. В частности, если R
3
=R
1
, то и
. Колесо 3 будет двигаться поступательно. Рис Исследование движения других подобных конструкций (планетарных и дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом. Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, нов противоположную сторону. Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную
, где
. Покажем (рис) единичные векторы и орты осей и
), а векторы угловых скоростей запишем так
Тогда и угловое ускорение, при
, Здесь Поэтому или и
, где – угловое ускорение переносного вращения – угловое ускорение относительного вращения
– добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скорости при переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осями, как скорость конца вектора . Модуль добавочного углового ускорения
, где - угол между осями. Рис. 11.7
Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение будет равно нулю, так как Рис
2. Общий случай движения тела Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом Си вращения вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С А второе движение – уравнениями вращения вокруг точки С с помощью углов Эйлера Скорости и ускорения точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются такими же методами, как при сложном движении точки см. раздел выше.
3. Цилиндрические зубчатые передачи. Рассмотрим основные виды этих передач.
1. Рядовой назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в последовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, колесо на рис) является ведущим, а остальные ведомыми. Рис
2. Общий случай движения тела Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом Си вращения вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С А второе движение – уравнениями вращения вокруг точки С с помощью углов Эйлера Скорости и ускорения точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются такими же методами, как при сложном движении точки см. раздел выше.
3. Цилиндрические зубчатые передачи. Рассмотрим основные виды этих передач.
1. Рядовой назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в последовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, колесо на рис) является ведущим, а остальные ведомыми. Рис
В случае внешнего (риса) или внутреннего (рис.14,б) зацепления двух колес имеем
, так как скорость точки сцепления Ау обоих колес одинакова. Учитывая, что число z зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения колес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнем в разные, получаем При внешнем зацеплении трех колес (рис, в) найдем, что Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой передаче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиусов промежуточных (паразитных) шестерен. Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении шестерен где k - число внешних зацеплений (в случае, изображенном на риса имеется одно внешнее зацепление на рис, в - два внешних зацепления, на рис.14,б внешних зацеплений нет. Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина
, дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого
=
2. Планетарной называется передача (рис, в которой шестерня 1 неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеплении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни. Рис
3. Дифференциальной называется передача, изображенная на рис. 62, если в ней шестерня 1 не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, сообщив мысленно всей неподвижной плоскости Ах вращение с угловой скоростью -
, равной по модулю и противоположной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или метод Виллиса). Тогда кривошип в этом сложном движении будет неподвижен, а любая шестерня радиуса будет иметь угловую скорость
, где - абсолютная угловая скорость этой шестерни по отношению к осям Ах рис. При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между можно будет определить, приравнивая скорости точек сцепления.
, так как скорость точки сцепления Ау обоих колес одинакова. Учитывая, что число z зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения колес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнем в разные, получаем При внешнем зацеплении трех колес (рис, в) найдем, что Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой передаче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиусов промежуточных (паразитных) шестерен. Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении шестерен где k - число внешних зацеплений (в случае, изображенном на риса имеется одно внешнее зацепление на рис, в - два внешних зацепления, на рис.14,б внешних зацеплений нет. Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина
, дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого
=
2. Планетарной называется передача (рис, в которой шестерня 1 неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеплении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни. Рис
3. Дифференциальной называется передача, изображенная на рис. 62, если в ней шестерня 1 не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, сообщив мысленно всей неподвижной плоскости Ах вращение с угловой скоростью -
, равной по модулю и противоположной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или метод Виллиса). Тогда кривошип в этом сложном движении будет неподвижен, а любая шестерня радиуса будет иметь угловую скорость
, где - абсолютная угловая скорость этой шестерни по отношению к осям Ах рис. При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между можно будет определить, приравнивая скорости точек сцепления.
Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей.
4. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение. Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси Аа (рис, то такое движение тела называется винтовым. Ось
Аа называют осью винта. Когда векторы v и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым если в разные стороны, - левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины v и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае и
, откуда h=2
πv/ω. Рис При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии
r
, слагается из поступательной скорости
v
и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно, Направлена скорость по касательной квинтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом
4. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение. Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси Аа (рис, то такое движение тела называется винтовым. Ось
Аа называют осью винта. Когда векторы v и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым если в разные стороны, - левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины v и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае и
, откуда h=2
πv/ω. Рис При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии
r
, слагается из поступательной скорости
v
и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно, Направлена скорость по касательной квинтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом