Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

168
Установим граничные условия, которым должны отвечать сплайн – функции:
Первый участок:
1)
H
i i
1
q
)
0
(
q

;
2)
0
)
0
(
q i
1


;
3)
0
)
0
(
q i
1



;
4)
У
i i
1
q
)
1
(
q

;
Второй участок:
5)
У
i i
2
q
)
0
(
q

;
6)
)
1
(
q
)
0
(
q i
1
i
2



;
7)
)
1
(
q
)
0
(
q i
1
i
2





;
8)
П
i i
2
q
)
1
(
q

;
Третий участок:
9)
П
i i
3
q
)
0
(
q

;
10)
)
1
(
q
)
0
(
q i
2
i
3



;
11)
)
1
(
q
)
0
(
q i
2
i
3





;
12)
К
i i
3
q
)
1
(
q

;
13)
0
)
1
(
q i
3


;
14)
0
)
1
(
q i
3



Учитывая, что используются три полинома (по одному на каждом участке) и в каждом полиноме есть один свободный коэффициент, то сумма степеней полиномов должна быть равна
14 – 3 = 11 (здесь 14 – число граничных условий).
Известны различные комбинации степеней полинома на участках.
Наибольшее распространение получили:
4-3-4 – траектории,
3-5-3 – траектории и
5-2-4 – или 4-2-5 – траектории.
Здесь цифры обозначают степени полинома на соответствующих участ- ках.
Чаще других используется 4-3-4 – траектория, так как из всех упомяну- тых она имеет полиномы более низких степеней.
Запишем аналитическое выражение для 4-3-4 – траектории:

169 c
c c
c c
;
b b
b b
;
a a
a a
a
)
(
q i
0 3
i
1 2
3
i
2 3
3
i
3 4
3
i
4
i
0 2
i
1 2
2
i
2 3
2
i
3
i
0 1
i
1 2
1
i
2 3
1
i
3 4
1
i
4
i
























Используя условия 1, 2, 3 и 5, 9, найдем: q
c
;
q b
;
0
a
;
0
a
;
q a
П
i i
0
У
i i
0
i
2
i
1
H
i i
0





Остальные девять коэффициентов определяются из решения системы девяти уравнений. Причем таких систем должно быть n, а определению под- лежит 14×n коэффициентов, при этом коэффициенты полиномов, как и раньше, являются функциями обобщенных координат опорных точек и вре- мени их прохождения.
Продифференцируем сплайн-фукнции при условии, что
0
)
t
(
q
)
0
(
q
3
i i




и
0
)
t
(
q
)
0
(
q
3
i i






: c
c
2
c
3
c
4
;
b b
2
b
3
;
a
3
a
4
)
(
q i
1 3
i
2 2
3
i
3 3
3
i
4
i
1 2
i
2 2
2
i
3 2
1
i
3 3
1
i
4
i
















c
2
c
6
c
12
;
b
2
b
6
;
a
6
a
12
)
(
q i
2 3
i
3 2
3
i
4
i
2 2
i
3 1
i
3 2
1
i
4
i













Запишем по оставшимся девяти граничным условиям систему девяти уравнений:
1) Условие 4 (τ
1
= 1):
;
q q
a a
У
i
H
i i
3
i
4



2) Условие 6 (τ
1
= 1; τ
2
= 0):
;
b a
3
a
4
i
1
i
3
i
4


3) Условие 7 (τ
1
= 1; τ
2
= 0):
;
b
2
a
6
a
12
i
2
i
3
i
4


4) Условие 8 (τ
2
= 1):
;
q q
b b
b
П
i
У
i i
1
i
2
i
3




5) Условие 10 (τ
2
= 1; τ
3
= 0):
;
c b
b
2
b
3
i
1
i
1
i
2
i
3



6) Условие 11 (τ
2
= 1; τ
3
= 0):
;
c
2
b
2
b
6
i
1
i
2
i
3



170 7) Условие 12 (τ
3
= 1):
;
q q
c c
c c
K
i
П
i i
1
i
2
i
3
i
4





8) Условие 13 (τ
3
= 1):
;
0
c c
2
c
3
c
4
i
1
i
2
i
3
i
4




9) Условие 14 (τ
3
= 1):
;
0
c
2
c
6
c
12
i
2
i
3
i
4



Решая эту систему девяти уравнений, определяются девять неизвестных коэффициентов для n обобщенных координат.
Для еще большего уменьшения вероятности блуждания схвата исполь- зуют сплайн-функции типа 3-3-3-3-3. В этом случае, кроме ранее рассмот- ренных трех участков, на участке A
У
А
П
вводятся две дополнительные опор- ные точки и вместо этого одного участка возникает три (рис. 15.5).
Рисунок 15.5 – Траектория типа 3-3-3-3-3
В данном случае дополнительные участки вводятся именно с целью по- нижения степени составляющих сплайн-функции и уменьшения благодаря этому блуждания схвата. Конкретные значения обобщенных координат в этих точках не регламентируется, что позволяет уменьшить число граничных условий (назначаются лишь моменты времени t
2
и t
3
прохождения их схва- том, т.е. моменты перехода с одной функции на другую). В данном случае также будем пользоваться понятием относительного (нормированного) вре- мени.

171
Запишем необходимые при указанных условиях граничные условия
(сшивка полиномов должна обеспечить на границах участков непрерывность скоростей и ускорений, а также выполнение ранее принятых условий про- хождения схвата через точки A
Н
, А
У
, A
П
, А
К
).
Индекс i на время будем опускать.
Участок 1 1)
H
1
q
)
0
(
q

;
2)
0
)
0
(
q
1


;
3)
0
)
0
(
q
1



;
4)
У
1
q
)
1
(
q

;
Участок 2 5)
У
2
q
)
0
(
q

;
6)
)
1
(
q
)
0
(
q
1 2



;
7)
)
1
(
q
)
0
(
q
1 2





;
Участок 3 8)
)
1
(
q
)
0
(
q
2 3

;
9)
)
1
(
q
)
0
(
q
2 3



;
10)
)
1
(
q
)
0
(
q
2 3





;
Участок 4 11)
)
1
(
q
)
0
(
q
3 4

;
12)
)
1
(
q
)
0
(
q
3 4



;
13)
)
1
(
q
)
0
(
q
3 4





;
14)
П
4
q
)
1
(
q

;
Участок 5 15)
П
5
q
)
0
(
q

;
16)
)
1
(
q
)
0
(
q
4 5



;
17)
)
1
(
q
)
0
(
q
4 5





;
18)
К
5
q
)
1
(
q

;
19)
0
)
1
(
q
5


;
20)
0
)
1
(
q
5



Таким образом, получено двадцать граничных условий, что равно числу коэффициентов пяти полиномов третей степени.
Запишем сплайн-функцию для 3-3-3-3-3 – траектории по i-ой степени подвижности: n).
,
1,
(i
;
e e
e e
;
d d
d d
;
c c
c c
;
b b
b b
;
a a
a a
q i
0
i
1 2
5
i
2 3
5
i
3
i
0
i
1 4
i
2 3
4
i
3
i
0
i
1 2
3
i
2 3
3
i
3
i
0
i
1 2
2
i
2 3
2
i
3
i
0
i
1 2
1
i
2 3
1
i
3
i


































172
Из условий 1, 2, 3, 5 и 15 определим q
e
;
q b
;
0
a
;
0
a
;
q a
П
i
0
У
i i
0
i
2
i
1
H
i i
0





Остальные коэффициенты определяются из системы пятнадцати уравне- ний.
15.4. Общие случаи планирования траекторий сплайн-функциями в
пространстве обобщенных координат
В тех случаях, когда точки А
У
и А
П
удалены друг от друга на значи- тельные расстояния, может потребоваться большее число участков, чем три или пять. Увеличение числа участков может быть оправдано и в случае, если желательно обеспечить максимальную точность реализации траектории.
Возможны два варианта общих случаев (число участков примем равным
М):
Первый – когда координаты дополнительных точек не регламентируют- ся как при рассмотрении 3-3-3-3-3 – траектории.
Второй (наиболее общий случай) – заданы координаты всех промежу- точных точек.
Первый случай во многом аналогичен проектированию 3-3-3-3-3 – тра- ектории.
Учитывая, что 1-й и (М-1)-й участки должны иметь по четыре ограниче- ния, М-й – шесть ограничений, а все промежуточные по три ограничения, можно определить выражение для расчета суммы P
М
степеней полиномов, удовлетворяющих сформулированным условиям:
P
М
= 4 + 4 + 6 + 3(М – 3) – М = 5 + 2М (М > 3)
Примеры:
М = 3; P
М
= 11 (4-3-4; 3-5-3; 5-2-3); М = 4;
P
М
= 13;
М = 5; P
М
= 15 (3-3-3-3-3);
М = 6;
P
М
= 17;

173
М = 10; P
М
= 25 (3-3-2-3-2-2-2-3-2-3).
Второй случай, как отмечалось, является наиболее общим случаем. Он возникает, когда траектория движения схвата является функцией времени и задана на всем протяжении в декартовых координатах манипулятора (рис.
15.6).
Рисунок 15.6 – Общий случай задания траектории в пространстве инер- циальных координат
В результате решения обратной задачи кинематики находятся соответ- ствующие заданным точкам значения обобщенных координат по каждой сте- пени подвижности (рис. 15.7):
К
i
М
i
1
М
i l
i
2
i
1
i
H
i q
q
,
q
,
,
q
,
,
q
,
q
,
q




Рисунок 15.7 – Общий случай задания траектории в пространстве обоб- щенных координат

174
Запишем ограничения для рассматриваемого общего случая с использо- ванием понятия относительного времени:
Участок 1 1)
H
i i
1
q
)
0
(
q

;
2)
0
)
0
(
q i
1


;
3)
0
)
0
(
q i
1



;
4)
1
i i
1
q
)
1
(
q

Участок m
1)
1
m i
mi q
)
0
(
q


;
2)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
1
m
(
mi




;
3)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
1
m
(
mi






;
4) m
i mi q
)
1
(
q

Участок 2 1)
1
i i
2
q
)
0
(
q

;
2)
)
1
(
q
)
0
(
q i
1
i
2



;
3)
)
1
(
q
)
0
(
q i
1
i
2





;
4)
2
i i
2
q
)
1
(
q

Участок (М-1)
1)
2
m i
i
)
1 1
(
q
)
0
(
q



;
2)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
2
m
(
i
)
1
m
(





;
3)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
2
m
(
i
)
1
m
(







;
4)
1
m i
i
)
1
m
(
q
)
1
(
q



Участок 3 1)
2
i i
3
q
)
0
(
q

;
2)
)
1
(
q
)
0
(
q i
2
i
3



;
3)
)
1
(
q
)
0
(
q i
2
i
3





;
4)
3
i i
3
q
)
1
(
q

…………………..
Участок М
1)
1
М
i
Мi q
)
0
(
q


;
2)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
1
М
(
Мi




;
3)
)
1
(
q
)
0
(
q i
)
1
М
(
Мi






;
4)
К
i
Мi q
)
1
(
q

;
5)
0
)
1
(
q
Мi


;
6)
0
)
1
(
q
Мi



Определим необходимую сумму степеней аппроксимирующих полино- мов, учитывая, что на участке M имеется шесть условий, а на остальных по четыре.
P
m
= 6 + 4(М – 1) – М = 2 + 3М
(М > 3)

175
Примеры:
М = 3; P
М
= 11 совпало с предыдущим, т. к. участков вносящих разницу в этом случае нет;
М = 4; P
М
= 14 (4-3-3-4);
М = 5; P
М
= 17 (4-3-3-3-4) два дополнительных условия по положению;
М = 10; P
М
= 32.
Общим недостатком такого представления зависимостей q i
(t) является необходимость предварительного решения системы большого числа уравне- ний для определения коэффициентов полиномов. Трудности усугубляются еще и тем, что при изменении числа участков появляется новая система уравнений, которую нужно решить заново.
Таким образом, для успешного использования изложенных методов представления обобщенных координат необходимо иметь готовые таблицы зависимостей для расчета коэффициентов.
В настоящее время таких таблиц нет. И для случая деления траектории на произвольное число участков их получение связано со значительными трудностями.
Ограничения на обобщенные траектории.
Законы движения q i
(t), полученные в ходе планирования обобщенной траектории, реализуются приводами в соответствующих подвижных сочле- нениях манипулятора робота. Полученные из теоретических соображений за- коны q i
(t) должны быть проверены на возможность исполнения их соответ- ствующим приводом. Существуют ограничения на перемещения, на скорости и ускорения.
Ограничения на обобщенные перемещения связаны с ограниченным диапазоном перемещения одного звена относительно другого (рис. 15.8): max i
i min i
q
)
t
(
q q



176
Рисунок 15.8 – Ограничения на перемещения подвижных звеньев манипулятора
Для удовлетворения ограничений по перемещению следует определить экстремумы функций q i
(t), что нетрудно выполнить после нахождения кор- ней уравнения
)
t
(
q i

Ограничения на обобщенные скорости
)
t
(
q i

диктуются скоростными возможностями привода и его ограничениями на величину кинетической энергии. Для определения экстремальных значений
)
t
(
q i

следует найти кор- ни уравнения
)
t
(
q i


Ограничения на обобщенные ускорения определяются максимально возможными моментами сил и усилиями, развиваемыми приводами.
Траектория движения схвата и его ориентации при конкретном рассмот- рении может быть задана различным образом. В частности, она может быть задана как и ранее некоторым числом опорных точек при условии движения между ними с постоянными скоростями и по прямой линии.
Приведем пример производственной сцены (рис. 15.9), в которой может возникнуть необходимость в прямолинейных движениях схвата. Понятно, что движение между опорными точками может в общем случае осуществ- ляться и по криволинейным траекториям.

177
Рисунок 15.9 – Производственная сцена