Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

Вопросы к лекции 15:
1. Каковы общие требования к траекториям движения схвата манипуля- тора в составе РТК?
2. Назовите характерные точки и участки траектории движения схвата при обслуживании ТО.
3. Назовите подходы к описанию траекторий движения схвата ПР в со- ставе РТК.
4. Поясните порядок синтеза закона движения по обобщенной коорди- нате при описании траектории одним полиномом.
5. Каковы граничные условия при синтезе закона движения по обобщен- ной координате при описании траектории одним полиномом?

178 6. Поясните порядок синтеза законов движения по обобщенным коорди- натам при представлении траектории движения сплайн-функциями.
7. Каковы особенности траекторий типов 4-3-4, 3-5-3 и 5-2-4?
8. Каков порядок и какова целесообразность представления траектории сплайн-функцией типа 3-3-3-3-3?
9. Каковы особенности планирования траекторий в пространстве обоб- щенных координат для произвольного числа реперных точек?
Лекция 16. Моделирование робототехнических систем в терминах
сетей Петри
16.1. Основные понятия и терминология сетей Петри
Сети Петри представляют собой двудольный ориентированный граф, в котором имеются вершины двух типов: вершины одного типа называются позициями и обозначаются p i
(изображаются кружками), а вершины другого типа - переходами с обозначением t j
(изображаются чертой-барьером). Для условно-событийных систем позиции сети Петри интерпретируются как условия (предусловия, постусловия совершения события), а переходы соот- ветствуют событиям, происходящим в системе. Элементарная сеть Петри может быть представлена так (рис. 16.1):
Рисунок 16.1 – Элементарная сеть Петри
Дуги в сетях Петри - направленные. Причем каждая дуга связывает вер- шины только разных типов: если дуга выходит из позиции, то должна войти

179 в переход и наоборот. На рис.16.2 а приведен пример, соответствующий этому ограничению, а на рис. 16.2 б - недопустимые варианты соединений. а) б)
Рисунок 16.2 – Допустимые (а) и недопустимые (б) варианты соединений
Позиции, из которых выходят дуги, направленные к данному переходу, называются его входными позициями. Позиции, в которые входят дуги, ис- ходящие из данного перехода, называются его выходными позициями. Так, в элементарной сети на рис.16.1 позиция p
1
является для перехода t
1
входной, а позиция р
2
–выходной.
Динамика поведения моделируемой системы (и в этом принципиальное отличие сетей Петри от графовых моделей, которые по своей сути являются статическими) находит свое отражение в функционировании (работе) сети
Петри. Работу сети можно представить как совокупность срабатываний пере- ходов. Переход запускается, если выполнены все условия реализации соот- ветствующего события. Выполнение условия в сетях Петри отображается разметкой соответствующей позиции, а именно размещением в ней одного или нескольких маркеров (фишек) в соответствии с емкостью условия. В графическом представлении маркер обозначается точкой внутри соответ-

180 ствующей позиции. Так, если в позицию p
1
на рис. 16.1 поместить маркер, то это будет означать, что условие совершения события t
1
имеет место (выпол- нено), и событие может произойти (рис. 16.3 а). а) б)
Рисунок 16.3 – Срабатывание перехода в элементарной сети
Срабатывание перехода - неделимое действие, изменяющее разметку его входных и выходных позиций следующим образом: из каждой входной пози- ции маркер изымается, а в каждую выходную позицию - добавляется. Тем самым реализация события изменяет состояние непосредственно связанных с ним условий: предусловия возникновения события перестают существовать, а вместо них возникают постусловия совершения события. Для элементарной сети на рис.16.3 факт срабатывания разрешенного перехода t
1
отмечается из- менением маркировки: маркер, находившийся в позиции p
1
в результате сра- батывания перехода t
1 перемещается в позицию р
2
(рис. 16.3 б).
В общем виде, когда переход связан со своими позициями не ординар- ными, а кратными дугами, правило срабатывания перехода звучит так: при срабатывании перехода t
1
он изымает из каждой своей входной позиции столько маркеров, какова кратность дуги, связывающей этот переход с ука- занной позиции, и добавляет в каждую свою выходную позицию количество маркеров, равное кратности связывающих их дуг как показано на рис. 16.4.

181 а) б)
Рисунок 16.4 – Срабатывание перехода общего вида
Здесь переход t
1
имеет две входных и одну выходную позицию
(рис. 16.4 а), причем входная позиция p
1
содержит два маркера, а позиция p
2
– пять маркеров. Позицию p
1
связывает с переходом t
1
ординарная дуга, а по- зицию p
2
– дуга, кратность которой равна трем. Очевидно, что переход t
1
мо- жет сработать, так как количество маркеров в его входных позициях больше кратности дуг, связывающих эти позиции с переходом. При срабатывании перехода t
1
из позиции p
1
будет извлечен один маркер, а из позиции p
2
– три маркера. Выходная позиция p
3
связана с переходом t
1
дугой с кратностью 2, поэтому результатом срабатывания перехода будет помещение в позицию p
3
двух маркеров (рис. 16.4 б). Таким образом, в результате срабатывания пере- хода t
1
маркировка позиций сети изменится и будет следующей: в p
1
содер- жится один маркер, в p
2
– два маркера и в p
3
– два маркера. Необходимо от- метить, что переход t
1
при такой новой разметке не может сработать еще раз: количество маркеров в p
2
меньше, чем кратность дуги, связывающей эту по- зицию и переход. Переход будет запрещен до тех пор, пока в позицию p
2
не добавится хотя бы один маркер.
Достоинством сети Петри является ее открытость для расширений и мо- дификаций, усиливающих выразительные возможности сети как аппарата моделирования в конкретной прикладной области.
Управление производственной системой можно выразить функцией ее состояния. В терминах сети Петри это сводится к необходимости управлять

182 переходами сети в зависимости от маркировок ее позиции. Сеть Петри фор- мально представляется как набор вида:
N={P, Т, F, Н,

0
}, где
Р – конечное непустое множество позиций р

Р (состояний);
Т – конечное непустое множество переходов t

T (событий);
F – функция входных инциденций (матрица F: T

P);
Н – функция выходных инциденций (матрица H: T

P);

0
– начальная маркировка (разметка) сети.
Множества входных и выходных позиций перехода t

T обычно обозна- чают соответственно (
*
t) и (t
*
), а множества входных и выходных переходов для позиции р

Р обозначают соответственно (
*
р) и (p
*
).
При маркировке всем позициям сети Петри приписываются некоторые натуральные числа. Число маркеров в позиции равно значению функции маркировки

: P

{0, 1,2,...}. Если мощность множества Р равна n, то марки- ровку можно представить n-мерным вектором, значения координат которого равны числу маркеров в соответствующих позициях.
Переход от одной маркировки к другой осуществляется посредством срабатывания переходов. Переход t может сработать при маркировке

i
, если он является возбужденным, т. е.:

i
(p) - F(p, t)

0,

p

Р,
(16.1)
где F(p, t)–функция входных инциденций.
Это условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t чис- ло маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (16.1),мар- кировка

k заменяется маркировкой

k+1
по следующему правилу:

k+1
(p) =

k
(р) – F(p, t) + Н(p, t),

p

Р,
где H(p, t) –функция выходных инциденций.
То есть в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p, t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется

183
H(t, р) маркеров. Следовательно, маркировка

k+1
непосредственно достижи- ма из маркировки

k
, что обозначается как

k

k+1
.
Функционирование сети Петри осуществляется путем последовательной смены маркировок

в результате срабатывания возбужденных переходов.
Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой.
Возможные варианты функционирования сети описываются с помощью графа достижимости.
Графом достижимости называется граф, вершинами которого явля- ются возможные маркировки. Маркировки

k и

k+1
соединяются направлен- ной дугой, помеченной символом перехода t

T, если

k

k+1
. Построение графа достижимости рассмотрим на примере сети Петри, представленной на рис. 16.5.
Рисунок 16.5 – Представление графа сети Петри
Множество позиций, переходов и начальная маркировка данной сети за- даны как:

184
Р = {p
1
, р
2
, р з
, p
4
, p
5
};
T = {t
1
, t
2
, t
3
, t
4
};
µ
0
= (1, 1, 0, 0, 0).
Функции F(p, t) и H(p, t) задаются матрицами:
F=
; H=
Содержательная часть позиций Р
i и переходов t j
должна быть определена словесно или с помощью предварительно оговоренных символов.
Фрагмент графа достижимости для данного примера сети Петри может быть представлен следующим образом (табл. 16.1).
Таблица 16.1
Граф достижимости для примера по рисунку 16.5
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
t
1
0
0
1
2
0
t
2
1
0
0
0
1
t
3
1
1
0
0
0
t
4
0
0
0
1
0
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
t
1
1
1
0
0
0
t
2
0
0
1
0
0
t
3
0
0
0
1
0
t
4
0
0
0
0
1

185
16.2. Имитационные модели робототехнических систем на основе
сетей Петри
Рассмотрим иерархически связанные имитационные модели, использу- ющие аппарат сетей Петри: цикл загрузки технологического оборудования манипулятором ПР в робототехнических комплексах.
При построении моделей используются два принципа: модульности и структурного подобия.
Принцип модульности заключается в следующем: моделируемый объект делится на фрагменты (модули), для каждого из которых строится модель.
Модуль должен представлять собой достаточно автономный с технологиче- ской точки зрения объект. Заметим, что выделение модулей и построение их моделей представляет собой творческий процесс, который трудно или невоз- можно описать формальными правилами. Приведенные ниже модели и опи- сание процесса их построения иллюстрируют некоторые приемы выделения модулей и их описания на языке сетей Петри.
Принцип структурного подобия заключается в том, что каждому значи- мому структурному элементу объекта ставится в соответствие набор позиций сети, при этом текущая разметка данного набора позиций однозначно харак- теризует определенное состояние комплекса.
16.2.1. Моделирование однопозиционного РТК сетями Петри
Рассмотрим пример построения модели загрузки технологического обо- рудования в РТК посредством ПР.
Промышленный робот имеет позиционную систему управления и обес- печивает захват заготовки с приемно-передающего стола (ППС), ее транс- портирование и установку в патрон шпинделя токарного станка (ТО). ПР об-

186 ладает тремя степенями подвижности по координатам X, Y, Z. Схема загруз- ки станка представлена на рис. 16.6.
Рисунок 16.6 – Схема загрузки станка
Сгенерируем модель загрузки в виде сети Петри (рис. 16.7).
Цикл загрузки станка: при условии свободного состояния ППС на него выдается заготовка из входного накопителя и промышленный робот берет схватом манипулятора заготовку. После захвата заготовки приводы манипулятора отрабатывают прямой ход: транспортируют, позиционируют и поджимают заготовку к базе патрона. Зажатие патрона инициирует разжатие схвата и реверсный ход приводов манипулятора в исходную позицию.
Предполагается, что цикл разгрузки станка осуществляется автоматически при помощи установленного на станке ловителя.
При условии, что три привода манипулятора параллельно отрабатывают прямое и реверсное движение, схема может быть упрощена и преобразована в сеть следующего вида (рис. 16.8).

187
Рисунок 16.7 – Модель загрузки станка в виде сети Петри
Содержание позиций и переходов сети Петри:
P
0
– во входном накопителе присутствует заготовка;
P
1
– ППС свободен;
P
2
– на выходную позицию ППС подана заготовка;
P
3
– станок обработал деталь и ждет разгрузки;

188
P
4
– схват сжат, заготовка захвачена;
P
5
– привода X,Y,Z отрабатывают прямой ход;
Р
6
–
патрон станка сжат, заготовка зафиксирована;
P
7
– патрон станка разжат, деталь обработана и снята со станка;
P
8
– схват разжат и свободен;
P
9
– приводы X,Y,Z отрабатывает обратный ход;
Рисунок 16.8 – Сеть Петри при параллельной работе приводов манипулятора робота t
1
– захват заготовки; t
2
– закрепление заготовки в патроне станка; t
3
– разжатие схвата;

189 t
4
– включение приводов манипулятора на обратный ход (от ТО к ППС); t
5
– выдача заготовки на позицию захвата; t
6
–
включение приводов манипулятора на прямой ход (от ППС к ТО).
Построим граф достижимости системы.
При начальной маркировке сети

0
{1,1,0,1,1,0,0,0,0,1} (маркировка графически представлена на рис.16.8)
дерево достижимости сети Петри имеет следующий вид (табл. 16.2).
Таблица 16.2
Дерево (граф) достижимости сети Петри
Цикл работы модели системы включает пять маркировок. Маркировки

1
и

6
совпадают, что свидетельствует о цикличности моделируемого про- цесса. В данном случае начальная маркировка

0
является запускающей и в дальнейшем не повторяется.
16.2.2. Моделирование многопозиционного РТК в терминах сетей
Петри
В соответствии с технологическим процессом необходимо последова- тельно обработать деталь на двух типах технологического оборудования.