Лекция №13
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.
План:

1. Определение перемещений в балках при изгибе. Общие понятия.

2. Диференциальные уравнения оси изогнутой балки.
1. Определение перемещений в балках при изгибе. Общие понятия.
При расчете балок на изгиб инженер интересуется не только напряже­ниями, возникающими от действия внешних сил, но и перемещениями от действия тех же сил. Одно из требований к элементам конструкций, чтобы перемещение не превосходило некоторого допусти­мого значения, обусловленного требованиями эксплуатации. Это условие называется условием жесткости либо конструктивной прочности.

Если балка при нагружении сильно прогибается, то при эксплуатации сооружения, имеющего гибкие балки, появятся затруднения и, кроме того, могут возникнуть колебания балки с большими амплитудами, а вместе с тем и значительные дополнительные напряжения.

Под жесткостью следует понимать способностьэлеменовконструкций и деталей машин сопротивляться внешним нагрузкам без видимых деформаций. Расчет на жесткость заключается в оценке упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов. Для выполнения такого расчета необходимо научиться вычислять перемещения сечений балки под действием любой  внешней нагрузки.

При расчете строительных и машиностроительных конструкций на жесткость(в большинстве случаев по прогибам, по углам поворота) должно соблюдаться условие



т.е. относительный прогибf/l, подсчитанный при действии нормативных нагрузок, не должен превышать установленный нормами предельный прогиб 1/n_o  для данного вида конструкции. Число n₀устанавливается нормами проектирования примерно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных сооружений, например, для железнодорожных мостов, величина n₀ принимается равной 1000. Отсюда видно, что прогибы при изгибе, как правило, малы по сравнению с пролетом балки.

---

Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота φ опорных сечений:



Допускаемый угол поворота φ_adm берется из соответствующих справочников. В среднем φ_adm составляет 0,001 рад.
2. Диференциальные уравнения оси изогнутой балки
Рассмотрим плоский чистый изгиб балки (рис.17.1, а).

Ось балки (рис.17.1,а) под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (в плоскости yOz), искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательные перемещения. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией.

1. 
   б)
   

Рис.17.1

 

В результате действия изгибающего момента m ось балки ОСизгибается и занимает некоторое положение ОС'. Произвольная точкаА оси балки, характе­ризуемая координатой z, перемещается в новое положение А'. Перемещение, изображаемое направленным отрезком  , назовем прогибом балки  для точкиА с координатой zи обозначим v. Наибольший прогиб СС' =v_max=f называется стрелой прогиба.

Проведем в точке А' касательную к изогнутой оси балки. Она образует с осью z угол  . Из рис.17.1,б видно, что этот угол в силу взаимной перпендикулярности сто­рон в точности равен углу поворота поперечного сечения. При изменении z, т.е. при переходе к другим точкам оси балки, прогибv и угол поворота θ поперечного сечения изменяется. Следовательно, они являются функциями Z:



Горизонтальное перемещение w произвольной точкиD поперечного се­чения на расстоянии y от оси балки равно:

---

Из треугольника А'В'В" следует, что первая производная от функции прогиба v(z):



равна тангенсу угла наклона касательной к изогнутой оси балки в точке А с координатой z. Из этого же треугольника получаем



Из рис.17.1,б находим  , где ρ - радиус кривизны дуги  . Следовательно, кривизна изогнутой оси в точке А равна:



Дифференцируя по z  получаем:



откуда



Формула для кривизны балки



для положительных значений M_x. В нашем примере на рис.17.1 изгибающий момент  . Поэтому эту формулу мы должны использовать в виде:                                       



Приравнивая, получаем точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:



Если прогибыv балки малы по сравнению с ее линейными размерами, то и углы поворота сечений θ - малые величины и, можно считать:







Тогда дифференциальное уравнение упрощается и принимает вид

---

Уравнение носит название приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси упругой балки. Оно получено для случая чи­стого изгиба, но может быть использовано и при поперечном, когда мо­мент   является функцией z.

Интегрируя, получаем:



Произвольные постоянные C₁, С₂  имеют простой геометрический смысл. Обозначим через   прогиб и угол поворота cечения соответственно в начале координат при z=0. Тогда при z=0 получаем:



Величины   называют начальными параметрами задачи по определению перемещений в балках.

Соотношения запишем в виде



Так как



то решение можно записать в виде:



В соответствии с дифференциальными зависимостями Журавского





Дифференцируя дважды по zи используя зависимости, находим





При постоянной жесткости   получаем

---

Уравнения представляют собой вторую форму дифферен­циальных уравнений изогнутой оси балки четвертого порядка.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид



где   - его частное решение. Постоянные   находятся из условий на опорах балки. Эти условия называют граничными или краевыми.

Рассмотрим типичные условия закрепления или опирания балок (рис.17.2). Изогнутая ось балки изображена тонкой линией.



а) б) в)

Рис.17.2

 

а) Край балки жестко защемлен (рис.17.2,а). При z= 0 на защемленном крае прогиб и угол поворота сечения равны нулю, т.е.



б) Край балки свободен от закрепления и нагрузки (рис.17.2,а). В этом случае при z=l равны нулю: момент и перерезывающая сила:





в) Край балки шарнирно закреплен либо свободно опёрт (рис.17.2,б). При z = 0 край балки шарнирно закреплен. Здесь прогибvи момент M_x равны нулю, т.е.



При z=l балка свободно лежит на опоре. Прогиб равен нулю, но изгибающий  момент в сечении балки отличен от нуля. Поэтому здесь только одно граничное условие v=0.

г) Незакрепленный край балки с действующими сосредоточенными силой и моментом (рис.24.2,в).

В этом случае при z=l имеем статические граничные условия:

---

Смотрите также файлы

• Желчнокаменная болезнь и ее осложнения.docx

• Сообщение На эл подстанции Чара произошло возгорание трансформатора, разлив гж в обвалование, площадь пожара 10 кв метров.docx

• Правовые основы физической культуры и спорта.docx

• 1. 3 Единая государственная система.docx

• Рабочая программа по английскому языку для 10 авг предмет курс класс на 2022 2023 учебный год.doc