Файл: Системы линейных уравнений.pdf

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений
Примером систем линейных уравнений может служить система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Здесь a
ij
– коэффициенты при неизвестных, b
i
– свободные члены при системы уравнений, i – номер уравнения, j – номер неизвестного.
Каждая неизвестная обозначается одной буквой x с индексом,
обозначающим ее номер.
Все уравнения или имеют решения, или не имеют.
ï
î
ï
í
ì
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
3 3
33 2
32 1
31 2
3 23 2
22 1
21 1
3 13 2
12 1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a

Классификация систем линейных уравнений
Системы линейных уравнений:
1.
Совместные системы:
a)
Определенные системы;
b)
Неопределенные системы;
2.
Несовместные системы

Определение
Это системы, имеющие решение.

Определение
Это системы, имеющие единственное решение.

Определение
Это системы, имеющие более, чем одно решение.

Определение
Это системы, неимеющие решения.

Классификация систем линейных
уравнений
1.
Несовместная система – она не имеет решений.
2.
Совместная, определенная система – она имеет единственное решение (1, -1, 2)
3.
Совместная, неопределенная система – решением этой системы будет бесконечное множество пар (x, y).
î
í
ì
=
+
=
+
;
2
,
1
y
x
y
x
î
í
ì
=
+
+
-
=
-
-
;
3 5
2 5
,
4 2
5 3
z
y
x
z
y
x
î
í
ì
=
+
=
+
;
2 2
2
,
1
y
x
y
x

Метод подстановки
1)
из одного из уравнений находим выражение одного из неизвестных, например x
1
через известные величины и другое неизвестное через x
2
;
2)
найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное x
2
;
3)
решаем полученное уравнение и находим значение x
2
;
4)
найденное значение x
2
подставляем в выражение неизвестного x
1
, найденное в начале решения, получаем значение x
1

Пример
Решить систему уравнений:
1.
Из первого уравнения находим выражение x
1
через известные слагаемые и неизвестные:
2.
Подставляем это выражение во второе уравнение:
3.
Решением полученное уравнение:
4.
Найденное значение x
2
= -2 подставим в выражение:
î
í
ì
=
+
=
-
13 6
5 46 3
8 2
1 2
1
x
x
x
x
8 3
46
:
2 1
2
x
x
x
+
=
13 6
8 3
46 5
2 2
=
+
+
x
x
(
)
2
,
126 63
,
230 104 48 15
,
104 48 15 230
,
104 48 3
46 5
2 2
2 2
2 2
2 2
-
=
-
=
-
=
+
=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
5 8
6 46 8
3 46 2
1
=
-
=
+
=
x
x

Правило Крамера
Позволяет решать системы уравнений.
Если определитель данной системы уравнений не равен нулю, то эта система имеет единственное решение, вычисляемое по формуле:
A
A
x
A
A
x
A
A
x
3 3
2 2
1 1
,
,
=
=
=

Правило Крамера
Рассмотрим на примере систем с тремя неизвестными :
Здесь :
ï
î
ï
í
ì
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
=
×
+
×
+
×
3 3
33 2
32 1
31 2
3 23 2
22 1
21 1
3 13 2
12 1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
33 23 13 32 22 12 31 21 11 1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
–
определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных в
системе уравнений.
33 32 3
23 22 2
13 12 1
2
a
a
b
a
a
b
a
a
b
A
=
3 32 31 2
22 21 1
12 11 3
b
a
a
b
a
a
b
a
a
A
=
–
определитель первого неизвестного,
составленный из коэффициентов при неизвестных,
только первый столбец – это столбец, составленных из свободных членовв системе уравнений.
– это определитель третьего неизвестного,
составленный из коэффициентов при неизвестных,
где третий столбец составлен из свободных членов системы уравнений.

Пример
Решить систему уравнений методом Крамера:
Ищем определитель второго порядка
Ищем определитель первого неизвестного
Ищем определитель второго неизвестного
Первое неизвестное x
1
равно 315 / 63 = 5, второе неизвестное x
2
равно -126 / 63 = 2.
Проверить, правильные ли получились ответы , можно с помощью подстановки неизвестных в исходную систему. Если в результате подстановки получаются тождества, то система решена верно.
Проверка:
Система решена верно.
î
í
ì
=
+
=
-
13 6
5 46 3
8 2
1 2
1
x
x
x
x
63 15 48 6
5 3
8
=
+
=
-
=
A
( )
315 13 3
6 46 6
13 3
46 1
=
×
-
-
×
=
-
=
A
126 5
46 13 8
13 5
46 8
1
-
=
×
-
×
=
=
A
( )
( )
î
í
ì
=
-
×
+
×
-
=
-
×
-
×
13 2
6 5
5 46 2
3 5
8

Пример
Решить систему уравнений методом Крамера:
Определитель системы:
Определитель первого неизвестного:
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
=
+
+
=
+
+
10 4
3 5
0 3
5 2
2 3
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5 4
3 5
1 3
1 2
2 3
=
=
A
5 4
3 10 1
3 0
2 2
5 1
=
=
A

Пример (продолжение)
Определитель второго неизвестного:
Определитель третьего неизвестного:
Подставив найденные значения в формулы Крамера найдем:
Ответ: (1, -1, 2)
5 4
10 5
1 0
1 2
5 3
2
-
=
=
A
10 10 3
5 0
3 1
5 2
3 3
=
=
A
1 5
5 1
1
=
=
=
A
A
x
1 5
5 2
2
-
=
-
=
=
A
A
x
2 5
10 3
3
=
=
=
A
A
x

Геометрический смысл системы линейных уравнений
Систему линейных уравнений из двух неизвестных можно переписать в следующем виде:
Первый столбец – это составляющие по осям вектора , второй столбец – составляющие по осям вектора , третий столбец – составляющие по оси вектора .
Система примет вид:
Отсюда видно, что – это линейная комбинация векторов и .
Если вектора не параллельны, т.е. , из рисунка следует, что решение существует и оно единственно. Это решение можно найти методом
Крамера.
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
×
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
×
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
2 1
2 22 12 1
21 11
b
b
x
a
a
x
a
a
1
a
2
a
b
b
x
a
x
a
=
×
+
×
2 2
1 1
b
1
a
2
a
0
¹
A
Y
X
l
a
2
a
2 2
a
x
l
l
a
x
b
Рис.1. Линейная комбинация векторов