ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 12
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Векторная алгебра.
Определение
Отрезок,
который имеет направление.
A
– начало вектора, B – конец вектора.
Вектора обозначаются строчными латинскими буквами с черточкой или стерлочкой наверху.
B
A
a
Рис.1. Вектор
Определение
Векторы называются
равными,
если имеют одинаковую длину и общее направление, т.е. могут быть совмещены путем параллельного переноса к общему началу.
Рис.1. Равный вектор
1
a
2
a
1
A
1
B
2
A
2
B
Координаты вектора
Чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца отрезка вычесть координаты начала отрезка, т.е.
A
B
AB
-
=
B
A
a
Рис.3. Вектор
Пример
Даны точки A(1, 3, 5) и B(4, 2, 2). Найти вектор
– искомые координаты вектора.
Ответ:
AB
A
B
AB
-
=
(
)
5 2
3 2
1 4
-
-
-
=
-
,
,
A
B
(
)
3 1
3
;
;
AB
-
=
Определение
Векторы называются
коллинеарными
(параллельными),
если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.
b
и
a
a
b
c
A
B
C
D
E
F
Рис.4. Коллинеарные векторы
!????||!????
Критерий параллельности векторов на плоскости
Два плоских вектора a = (a
x
a
y
)
и b = (b
x
b
y
)
параллельны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат равен 0.
0
=
y
x
y
x
b
b
a
a
Определение
Векторы называются
сонаправленными, если они коллениарны и направлены в одну сторону.
b
и
a
b
a
a
b
A
B
C
D
Рис.5. Сонаправленные векторы
Определение
Векторы называются
противонаправленными
если они коллениарны и направлены в разные стороны.
b
и
a
b
a
¯
a
b
A
B
C
D
Рис.6. Противонаправленные векторы
Определение
Векторы называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости.
c
,
b
,
a
a
b
c
Рис.7. Компланарные векторы
Критерий копланарности векторов в пространстве
Три пространственных вектора a=(a
x
, a
y
), b=(b
x
,
b
y
), c=(c
x
, c
y
)
лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда определитель составленный из координат равен 0.
0
=
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
Определение
Это расстояние между началом и концом вектора.
или
a
a y
a x
X
Y
a
2 2
y
x
a
a
a
+
=
Рис.8. Модуль вектора
AB
Вычисление длины(модуля) вектора
Вектор и его проекция на оси x и y
образуют прямоугольный треугольник, в котором длина гипотенузы равна длине вектора. По теореме
Пифагора c
2
= a
2
+b
2
Формула для вычисления длины
В пространстве длина вектора вычисляется по формуле:
где a
x
, a
y
, a
z
– проекции вектора на оси x, y, z.
a y
a x
X
Y
a
2 2
y
x
a
a
a
+
=
Рис.9. Длина вектора
2 2
y
x
a
a
a
+
=
2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
+
+
=
Определение
Вектор, длина которого равна единице.
Определение
Это наименьший угол между и
,
на который надо повернуть один из векторов до совпадения с другим, если эти векторы отложены из одной точки.
a
b
j
a
b
j
Рис.10. Угол между двумя векторами
Пример
Дан вектор
. Найти его длину.
Решение:
Значения проекции вектора на оси: a
x
= 2, a
y
= -1 , a
z
= 1.
Длина вектора равна:
Ответ:
(
)
1
,
1
;
2
-
=
a
( )
6 1
1 2
2 2
2
=
+
-
+
=
a
6
=
a
Определение
Это косинусы углов, которые вектор образует с осями координат.
g b
a
,
,
2 2
2
cos
z
y
x
x
a
a
a
a
+
+
=
a
2 2
2
cos
z
y
x
y
a
a
a
a
+
+
=
b
2 2
2
cos
z
y
x
z
a
a
a
a
+
+
=
g
1
cos cos cos
2 2
2
=
+
+
g b
a
Направляющие косинусы углов
X
Z
Y
a
g b
a
Рис. 11. Углы, которые вектор составляет с осями координат
Пример
Найти направляющие косинусы вектора
Решение:
(
)
3
;
2
;
1
=
a
;
14 1
cos
2 2
2
=
+
+
=
z
y
x
x
a
a
a
a
a
;
14 2
cos
2 2
2
=
+
+
=
z
y
x
y
a
a
a
a
b
14 3
cos
2 2
2
=
+
+
=
z
y
x
z
a
a
a
a
g
Определение
Это разность координаты конца и начала вектора.
–
проекция вектора на ось
l
B
a
l
l
B
0
Рис.12. Проекция вектора на числовую ось
a
Пр
l
a
Свойства проекции вектора на ось
1)
проекция вектора на ось l
равна модулю вектора, умноженного на косинус угла между вектором и осью:
2)
проекция суммы равна сумме проекций:
3)
число можно вынести за знак проекции:
4)
проекция разности равна разности проекций:
a
j cos
a
a
Пр
l
=
( )
b
Пр
a
Пр
b
a
Пр
l
l
l
+
=
+
( )
a
Пр
k
a
k
Пр
l
l
×
=
×
( )
b
Пр
a
Пр
b
a
Пр
l
l
l
-
=
-
Линейные операции над векторами
1.
Сложение:
Чтобы найти сумму двух векторов надо сложить их координаты по формуле:
Существует два способа сложения векторов:
(
)
z
z
y
x
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
=
+
;
;
a
b
b
a
+
Рис. 13. Правило треугольника
a
b
b
a
+
Рис. 14. Правило параллелограмма
Пример
Даны два вектора и
Найти их сумму.
Ответ: (3,1,-2)
(
)
1
,
1
;
2
-
=
a
(
)
3
;
2
;
1
-
=
b
( )
( )
(
) (
)
2
,
1
,
3 3
1
,
2 1
,
1 2
-
=
-
+
+
-
+
=
+ b
a
Линейные операции над векторами
2.
Разность:
Вектор называется противоположным к вектору . Если противоположный вектор прибавить к исходному то получится
нуль-вектор – вектор, имеющий нулевую длину.
Формула для нахождения разности векторов:
( )
b
-
b
(
)
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
-
-
-
=
-
;
;
a
b
a
-
b
Рис.15. Разность между векторами (а,б)
a
( )
b
a
-
+
b
-
)
а
)
б
Пример
Даны два вектора и
Найти их разность.
Ответ: (1,-3,4)
(
)
1
,
1
;
2
-
=
a
(
)
3
;
2
;
1
-
=
b
( )
( )
(
) (
)
4
,
3
,
1 3
1
,
2 1
,
1 2
-
=
-
-
-
-
-
=
- b
a
Линейные операции над векторами
3.
Умножение вектора на число:
Координаты вектора изменяются в раз, и если отрицательная, то вектор меняет свое направление на противоположное.
(
)
(
)
z
y
x
z
y
x
a
a
a
a
a
a
a
a
×
×
×
=
×
=
l l
l l
,
,
,
,
,
l l
Определение
Есть число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
или j
cos
×
×
=
×
b
a
b
a
( )
b
a,
b
a
×
Скалярное произведение векторов
Формула для нахождения скалярного произведения векторов:
Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
=
×
( )
2 2
2 2
2 2
,
cos
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
×
+
+
+
+
=
Пример
Даны векторы и
Найти скалярное произведение.
Решение:
Ответ:
(
)
1
,
3
,
2
-
a
(
)
3
,
1
,
1
-
b
( ) ( )
2 3
1 1
3 1
2
-
=
×
+
×
-
+
-
×
=
×b
a
2
-
=
×b
a
Пример
Даны три вектора
Найти
1)
выполним действие в скобках:
2)
находим скалярное произведение векторов:
Ответ:
(
) (
)
(
)
1
,
2
,
3
,
3
,
1
,
1
,
1
,
3
,
2
c
b
a
-
-
( )
c
b
a
+
×
(
) (
)
4
,
3
,
2 1
3
,
2 1
,
3 1
=
+
+
+
-
=
+ c
b
( )
( )
1 4
1 3
3 2
2
-
=
×
+
×
-
+
×
=
+
×
c
b
a
( )
1
-
=
+
×
c
b
a
Пример
Даны векторы и
Найти угол между ними.
1.
Скалярное произведение:
2.
Длина вектора
:
3.
Длина вектора
:
4.
Угол между двумя векторами:
Ответ:
(
)
1
,
1
,
2
-
a
(
)
3
,
2
,
1
-
b
( )
( )
3 3
1 2
1 1
2
-
=
-
×
+
×
-
+
×
=
×b
a
a
( )
6 1
1 2
2 2
2
=
+
-
+
=
a
b
( )
14 3
2 1
2 2
2
=
-
+
+
=
b
( )
14 6
3
,
cos
×
-
=
b
a
( )
14 6
3
arccos
,
^
×
-
=
b
a
Пример
Даны векторы и
Найти проекцию
Решение:
1.
Скалярное произведение векторов:
2.
Длина вектора :
3.
Проекция:
(
)
3
;
2
;
2
a
(
)
0
;
1
;
2
-
b
a
Пр
b
( )
2 0
3 1
2 2
2
=
×
+
×
+
-
×
=
×b
a
b
( )
5 0
1 2
2 2
2
=
+
+
-
=
b
5 2
=
a
Пр
b
Пример
Даны векторы и
Найти проекцию
1.
Найдем вектор
2.
Прибавим вектор .
3.
Длина вектора
4.
Проекция
(
)
3
;
2
;
1
a
(
)
0
;
1
;
2
-
b
b
a
Пр
+
2
a
×
2
(
) (
)
6
;
4
;
2 3
2
;
2 2
;
1 2
2
=
×
×
×
=
× a
b
(
) (
)
6
;
5
;
0 0
6
;
1 4
;
2 2
2
=
+
=
-
=
+
×
b
a
61 6
5 0
2 2
2 2
=
+
+
=
+ b
a
(
)
61 5
61 6
0 5
1 0
2 2
2 2
=
×
+
×
+
×
-
=
+
+
×
=
+
b
a
b
a
a
Пр
b
a
Определение
Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю,
то векторы называются
перпендикулярными.
a
b
Рис.16. Перпендикулярные векторы
Углы между векторами
1.
Если скалярное произведение векторов больше нуля, то угол между векторами тупой.
2.
Если скалярное произведение векторов меньше нуля, то угол между векторами острый.
Определение
Векторным произведением двух векторов и
называют третий вектор , удовлетворяющий условиям:
1.
направление вектора находится по правилу "буравчика" (см. рис.10);
2.
вектор перпендикулярен двем исходным векторам и
;
3.
длин векторного произведения можно найти по формуле:
a
b
c
c
c
a b
[ ]
( )
b
a
b
a
b
a
,
sin
×
×
=
´
[ ]
b
a
´
Векторное произведение векторов
a
b
[ ]
b
a
c
´
=
Рис.10. Векторное произведение. Правило «буравчика»
Критерий параллельности векторов
Вектора параллельны тогда и только тогда, когда координаты векторов пропорциональны
Поскольку векторное произведение ненулевых векторов обращается в нуль вместе с синусом угла между ними, то равенство также является критерием параллельности векторов.
Формула для нахождения векторного произведения векторов:
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
=
=
b
a
´
0
,
0
¹
¹ b
a
( )
b
a^
sin
0
=
´b
a
a
b
Рис.10. Параллельные вектора
[ ]
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
´
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
x
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
,
,
Пример
Даны два вектор и
Найти векторное произведение
1.
2.
Считаем определители второго порядка (-9-1, -(6-(-1)), 2-3) = (-10, -7,
-1)
Ответ:
(
)
1
,
3
,
2
-
a
(
)
3
,
1
,
1
-
b
[ ]
b
a
´
[ ]
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
-
-
-
=
´
1 1
3 2
,
3 1
1 2
,
3 1
1 3
b
a
[ ]
(
)
1
,
7
,
10
-
-
-
=
´b
a
Геометрический смысл векторного произведения
Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: h –
высота параллелограмма,
–
длина основания.
Формула для вычисления векторного произведения:
a
b
b
a
j
h
Рис.11. Геометрический смысл векторного произведения
h
a
S
×
=
a
j sin
×
×
=
b
a
S
Определение
Это число, равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух
(
)
c
b
a
×
´ ]
[
(
)
c
b
a ,
,
Геометрический смысл векторного произведения
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Смешанное произведение вычисляется по формуле:
(
)
y
x
y
x
z
z
x
z
x
y
z
y
z
y
x
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
c
b
a
+
-
=
×
´ ]
[
b
h
c
L
j
a
b
a
d
´
=
Рис. 12. Геометрический смысл векторного произведения