Файл: Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Вычислительные методы в инженерных расчетах".pdf

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ университет»
Институт геологии и нефтедобычи кафедра Кибернетических систем
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Вычислительные методы в инженерных расчетах"
Составитель О. В. Баюк,
кандидат технических наук, доцент
Тюмень, 2022

2
Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисци- плине "Вычислительные методы в инженерных расчетах" / О.В. Баюк. - Тю- менский индустриальный университет. – Тюмень: Издательский центр БИК
ТИУ, 2022. – 65 с.
Учебно-методическое пособие рассмотрены и рекомендованы к изданию на за- седании кафедры Кибернетических систем «02» _июня___ 2022 года, протокол
№_11_
Аннотация
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с требованиями учебного плана и программой дисциплины «Вычислительные методы в инже- нерных задачах», содержит общие сведения об особенностях математического моделирования и теоретические основы вычислительных методов как его ин- струментария. Рассмотрены методы обработки данных: интерполяция, аппрок- симация, решение алгебраических дифференциальных уравнений и их систем, вычисление интегралов, решение линейных и нелинейных уравнений и их си- стем.
В пособии представлены блок-схемы различных методов, которые позво- ляют более качественно составить программы на различных языках програм- мирования для Visual Basic, Delphi, Visual C++ и прочее. Приведены примеры решений в MathCad.

3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..................................................................................................................... 5 1 Лабораторная работа № 1. Практическое вычисление функций ..................... 7 1.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 7 1.2 Контрольный пример .......................................................................................... 8 1.3 Варианты заданий ............................................................................................... 9 1.4 Контрольные вопросы ...................................................................................................... 11 2 Лабораторная работа № 2. Методы решения нелинейных уравнений ............. 12 2.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 12 2.2 Контрольный пример .......................................................................................... 12 2.3 Варианты зданий ................................................................................................. 24 2.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 25 3 Лабораторная работа № 3. Методы решения систем линейных уравнений .... 26 3.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 26 3.2 Контрольный пример .......................................................................................... 26 3.3 Варианты зданий ................................................................................................. 32 3.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 34 4 Лабораторная работа № 4. Методы решения систем нелинейных уравнений 35 4.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 35 4.2 Контрольный пример .......................................................................................... 35 4.3 Варианты зданий ................................................................................................. 39 4.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 39 5 Лабораторная работа № 5. Приближенное вычисление интегралов ................ 40 5.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 40 5.2 Контрольный пример .......................................................................................... 40 5.3 Варианты зданий ................................................................................................. 45 5.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 46 6 Лабораторная работа № 6. Решение задач интерполяции и аппроксимации функций, заданных табличными данными ............................................................. 47 6.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 47 6.2 Контрольный пример .......................................................................................... 47 6.3 Варианты зданий ................................................................................................. 57 6.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 58 7 Лабораторная работа № 7. Методы решения дифференциальных уравнений 60 7.1 Порядок выполнения .......................................................................................... 60 7.2 Контрольный пример .......................................................................................... 60 7.3 Варианты зданий ................................................................................................. 66 7.4 Контрольные вопросы ........................................................................................ 68
Список литературы ................................................................................................... 70

4
ВВЕДЕНИЕ
Использование математических решений в различных областях знаний в настоящее время не является чем-то новым, неожиданным. Широкое внедрение математических методов в самые разнообразные сферы деятельности сегодня уже никого не удивляет. Дисциплина " Вычислительные методы в инженерных рас- четах " давно сформировалась, как прикладная наука и включена в подготовку специалистов почти по всем техническим направлениям.
Учебно-методическое пособие задумывались и писались на основе соб- ственного педагогического опыта как пособие для выполнения лабораторных ра- бот и как самостоятельная работа студентов. Поэтому в него вошли не все, что есть в науке вычислений, а лишь то, что нужно для изучения курса, и в такой форме, которая нужна студентам с учетом их потребностей, обусловленных реша- емыми задачами в своей профессии. Основная задача учебно-методического по- собия знакомство студентов технических специальностей с вычислительными ме- тодами, как инструментом решения задач, встречающихся в их профессиональной деятельности, в частности при использовании методов математического модели- рования.
Инженеру, исследователю, программисту и проектировщику, в повседнев- ной работе приходится решать различные технологические вопросы и задачи. При существующих темпах промышленного строительства, масштабах производства и экономических затратах правильно принятые решения или допущенная ошибка имеют существенное значение. Поэтому необходим полный объективный всесто- ронний анализ информации. Нужен новый стиль инженерной работы, основанный на использовании вычислительной техники, математики и кибернетики.
В пособии рассматриваются особо популярные, простые в изучении и при- менении методы математической обработки данных, которые легко программи- руются на АЯП и имеют большую область применения. Для быстрой и качествен- ной обработки экспериментальных данных смогут помочь современные про- граммные средства, в частности Microsoft Excel, входящий в пакет Microsoft
Office, компиляторы Visual Basic, Visual C++, Delphi и математические пакеты
MathCad или MathLab.
В учебно-методическом пособии рассматриваются семь основных тем по дисциплине «Вычислительные методы в инженерных расчетах». Полученные навыки работы, обработки и анализа данных могут быть использованы при вы- полнении заданий и курсовых и при выполнении выпускной работы.
Материал излагается по темам, в доступной и простой форме. Каждая те- ма сопровождается примерами, которые позволят понять содержание и изучае- мые методы обработки данных. В методическом указании блок-схемы различ- ных методов, что значительно упростит процесс программирования у студен- тов.

5 1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
Цель работы: Исследование источников возникновения и распростране- ния погрешностей исходных данных, ограничения и округления и пути их уменьшения.
1.1 Порядок выполнения

Изучить теоретический материал «Элементы теории погрешностей».

Составить блок – схему и написать программу для вычисления значе- ний функции, заданной в виде ряда.

Отладить программу с помощью тестового примера.

Выполнить расчеты:
В первом задании:
– Вычислить точное значение функции
– Вычислить значение функции с помощью бесконечного ряда с точно- стью e=0,001
– Сравнить результаты.
Для второго задания
– Вычислить точное значение функции для указанных значений аргумента.
– Вычислить значения функции с помощью бесконечного ряда для ука- занных значений аргумента с точностью e=0,001; e=0,0001.
– Округлить вычисленные значения с учетом количества верных цифр.
– Вывести результаты вычислений в виде таблицы.
Таблица 1.1 – Результаты вычислений
Значение
Х e=0,001 e=0,0001 вычисленное значение Y точное значение Y вычисленное значение Y точное зна- чение Y

Проанализировать полученные результаты:

Сравнить вычисленные и точные значения с учетом изменения точно- сти и изменения аргумента.

Установить источники возникновения и распространения ошибок (по- грешностей) вычислений.

Внести соответственно необходимые изменения в программу и вновь выполнить расчет.

Оформить отчет по лабораторной работе.
1.2 Контрольный пример
Вычислить сумму бесконечного ряда
)
1 2
(
)
1
(
7 5
3
)
(
arg
)
1 2
(
)
1
(
7 5
3











n
x
x
x
x
x
x
tg
n
n

6 и исследовать пример для аргумента и изменяющегося -1< x< 1 с шагом 0,2
Согласно формуле рекурсии
rec
n
n
K
A
A



1
, (1.1) где A - член бесконечного ряда; n – номер бесконечного ряда; K
rec
– коэффи- циент рекурсии.
Зная предыдущий член ряда и коэффициент рекурсии можно найти последу- ющий. Основываясь на данной концепции, найдем сумму бесконечного ряда.
Вычисление коэффициента рекурсии
С помощью формулы (1.1) найдем K
rec
n
n
rec
A
A
K
1


(1.2) из условия видно, что
)
1 2
(
)
1
(
)
1 2
(
)
1
)
1
((







n
x
A
n
n
n
(1.3)
)
1
)
1
(
2
(
)
1
(
)
1
)
1
(
2
(
)
1
)
1
((
1










n
x
A
n
n
n
(1.4) следовательно
1 2
1 2




n
x
K
n
rec
(1.5)
Блок – схема алгоритма решения данной задачи представлена на рисунке 1.1.
Результаты вычислений размещены в таблице 1.2
Таблица 1.2 – Результаты вычислений
Значение
Х e=0,001 e=0,0001 вычислен- ное значе- ние Y точное зна- чение Y вычислен- ное значе- ние Y точное зна- чение Y
0.2 0.186 0.197 0.186 0.197 0.4 0.346 0.380 0.346 0.380 0.6 0.479 0.54 0.479 0.54 0.8 0.586 0.674 0.586 0.674 1
0.666 0.785 0.666 0.785
Сделайте вывод по результатам решения.

7
Рисунок 1.1 – Алгоритм вычисления для контрольного примера
Начало
X, E
)
(
arg
x
tg
t
S

A=-1
S=0
n=1
A
S
S
n
n
x
A
A







1 2
1 2
)
1
(
E
A

нет да
S
t
, S
n
n=n+1
t
S
S
S
S
t
S
S






Конец
S
S

,


8 1.3 Варианты заданий
Вариант 1 4
1 3
1 2
1 1
69
,
0





Вариант 2
)!
1 2
(
)
1
(
!
5
!
3
sin
1 2
1 5
3











n
x
x
x
x
x
n
n
исследовать для х=1,…,10
Вариант 3 5
3 1
4 2
1 3
1 1
4 3







Вариант 4
))!
1
(
2
(
)
1
(
!
4
!
2 1
cos
))
1
(
2
(
1 4
2











n
x
x
x
x
n
n
исследовать для x=-1,…,1
Вариант 5 4
1 3
1 2
1 1
2 2
2 6
2






Вариант 6 1)
)!
1
(
!
3
!
2
!
1 1
)
1
(
3 2









n
x
x
x
x
e
n
x
исследовать для x>1
Вариант 7
)
4 3
(
1
)
3 2
(
1
)
2 1
(
1 1







Вариант 8
)
1
(
)
1
(
4
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
ln
4 3
2













n
x
x
x
x
x
x
n
n
исследовать для x>1
Вариант 9
)
5 4
3
(
1
)
4 3
2
(
1
)
3 2
1
(
1 4
1











9
Вариант 10
)
2
!
(
1
)
2
!
2
(
1
)
2
!
1
(
1 1
2









n
n
e
исследовать для x>0
Вариант 11
)
13 11
(
1
)
9 7
(
1
)
5 3
(
1 8
2 1









Вариант 12
))!
1
(
2
(
!
4
!
2 1
))
1
(
2
(
4 2










n
x
x
x
chx
n
исследовать для x>0
Вариант 13
...)
9 1
7 1
5 1
3 1
1
(
4








Вариант 14
)!
1 2
(
!
5
!
3
!
1
)
1 2
(
5 3








n
x
x
x
x
shx
n
исследовать для x>0
Вариант 15
)
7 5
(
1
)
5 3
(
1
)
3 1
(
1 2
1







Вариант 16
...)
1 2
7 5
3
(
2 1
1
ln
1 2
7 5
3











n
x
x
x
x
x
x
x
n
исследовать
1

x
Вариант 17 8
1 4
1 2
1 1
2





Вариант 18 4
3 2
)
1
ln(
4 3
2






x
x
x
x
x
исследовать для -1
1
Вариант 19 9
1 7
1 5
1 3
1 1
4








10
Вариант 20
)
1
(
4
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1
ln
4 4
3 3
2 2












n
n
nx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
исследовать для
2 1

x
Дополнительное задание
Машина проехала 100000 км. Пусть X – число проколов шины на этом расстоянии. Тогда X можно считать случайной величиной, распределенной по закону Пуассона (с подходящей

), т.е. вероятность трех проколов шины равна



e
!
3 3
. Определить количество проколов шины на заданном расстоянии при различных значениях

1.4 Контрольные вопросы

Что такое погрешность?

Опишите способы возникновения и устранения погрешности.

Назовите виды погрешности.

Назовите различные способы округления чисел.

Приведите примеры точных и приближенных чисел.

11 2
ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА
№ 2.
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: освоение численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Применение их для решения задач прикладной и теоретической механики, для научных исследований и обработки эксперимен- тальных данных.
2.1 Порядок выполнения

Изучить теоретический материал по теме «Методы решения нелинейных уравнений», к ним относятся метод касательных (Ньютона), метод секущих
(хорд), метод сканирования, метод дихотомии (половинного деления), комбини- рованный метод, метод простой итерации, метод параболической аппроксимации и др.

В отчете к лабораторной работе описать (кратко) методы (по вариантам).

Выполнить отделение корней (графическим и табличным способом).
Определить все отрезки, в которых имеется корень.

Аналитически уточнить значение корня методом, указанным в задание а.

Выполнить решение в среде MathCad методом, указанным в задание б.

По заданной блок – схеме написать программу (язык программирова- ния выбрать самостоятельно) для вычисления значений корня методом, указан- ным в задание в.

Отладить программу с помощью тестового примера.

Выполнить вычисления с точностью не выше 0,001.

Проанализировать полученные результаты, сравнить используемые методы по времени счета, количеству итераций сложности алгоритма и прочее.

Оформить отчет по лабораторной работе.
2.2 Контрольный пример
Вычислим методом касательных корень уравнения
Для определения отрезка (этап 1. Отделение корней), на котором нахо- дится корень, для этого построим таблицу знаков и график функции f(x)=-
x
3
+5x
2
+x-2 (таблица 2.1 и рисунок 2.1).
Таблица 2.1 – Таблица знаков
x
-1
-0.5 0.5 1
5 5.25
y
3
-1.125 -0.375 3
3
-3.64
Проведя процедуру отделения корней, получим, что функции имеет три корня, которые находятся на отрезках [-1,0], [0,1] и
[5,6].
Все вычисления выполним с точностью 0,01.