Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения.

В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин.
2.Историческая справка.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие. Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f(x h)2 …
К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В “Дифференциальном исчислении” (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.

Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.
3.Экстремумы функций одной переменной.
3.1.Необходимое условие.

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и .

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x₀- ,x₀+ ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x₀)(или f(x)>f(x₀))

Иными словами, точка x₀ доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x₀) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x₀.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x₀) выполняется строгое неравенство

f(x)0)(или f(x)>f(x₀)

то говорят, что функция имеет в точке x₀ собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x₀ и x₁ , то, применяя к промежутку [x₀,x₁] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x₂ между x₀ и x₁ и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х₀. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х₁ и х₃ локальные максимумы, а в точках х₂ и х₄ – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х₀ функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х₀- ,х₀+ ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f (x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным.

  1   2   3   4   5

---

3.2.1.Достаточное услоие.Первый признак.

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х₀ есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х₀ представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х₀ (по крайней мере, для х=х₀) существует конечная производная и как слева от х₀ , так и справа от х₀ (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I f’(x)>0 при х<х₀ и f’(x)<0 при х>х₀, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х₀ меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х₀- ,х₀] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х₀,х₀+ ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х₀- ,х₀+ ] , т. е. в точке х₀ функция имеет собственный максимум.

II f’(x)<0 при х<х₀ и f’(x)>0 при х>х₀ , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х₀ меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х₀ функция имеет собственный минимум.

III f’(x)>0 как при х<х₀ так и при х>х₀ либо же f’(x) и слева и справа от х₀ , т. е. при переходе через х₀ , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х₀ с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)0), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x₀) так что в точке х₀ никакого экстремума нет.

Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х₀ : подставляя в производную f’(x) сначала х<х₀ , а затем х>х₀, устанавливаем знак производной вблизи от точки х₀ слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a<х₁<х₂<… <х_k<х_k+1<… <х_n
именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х₁), (х₁,х₂), … ,(х_k,х_k+1), … ,(х_n,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (х_k,х_k+1) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х_k и х_k+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).

Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (х_k,х_k+1) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.
3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х₀ есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х₀ функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х₀ минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x₀)

f’’(x₀)=lim-------------

x-x₀

По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому

f’(x)

f’’=lim----------

x-x₀
Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x₀-,x₀+), в котором переменная величина f’(x)/(x-x₀) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство


f’(x)

----------<0 (x₀- 0+ )

x-x₀
Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х₀<0, или х>х₀, и f’(x)<0, если х-х₀>0, или х>х₀. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х₀ функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х₀ подвергаем испытанию:

• 
  если f’’(x)>0, то х₀ – точка минимума функции;
  
• 
  если f’’(x)<0, то х₀ – точка максимума функции.
  

Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3.3.Использование высших производных.

В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x₀) R, определенная в окрестности U(x₀) точки х₀, имеем в х₀ производные до порядка n включительно (n>1).

Если f’(x₀)=…=f ^(n-1)(x₀)=0 и f⁽ⁿ⁾(x₀)=0 , то при n нечетном в х₀ экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f⁽ⁿ⁾(x₀)>0 , и строгий локальный максимум, если f ⁽ⁿ⁾(x₀).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ+ (x)(x-x₀)ⁿ (3.2)

где (x) 0 при x x₀,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x₀)=(f⁽ⁿ⁾(x₀)+ (x))(x-x₀)ⁿ (3.3)

Поскольку f⁽ⁿ⁾(x₀)=0,а (x) 0 при x x₀, сумма имеет знак fⁿ(x₀),когда х достаточно близок к х₀. Если n нечетно, то при переходе через х₀ скобка (х-х₀)ⁿ меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x₀)ⁿ>0 при x=x₀ и,следовательно, а малой окрестности точки х₀ знак разности f(x)-f(x₀), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f⁽ⁿ⁾(x₀) :

• 
  пусть f⁽ⁿ⁾(x₀),тогда в окрестности точки х₀ f(x)>f(x₀), т. е. в точке х₀ – локальный минимум;
  
• 
  пусть f⁽ⁿ⁾(x₀)>0,тогда f(x)>f(x₀) ,т. е. в точке х₀ локальный минимум. ч.т.д.
  

4.Экстремумы функций трех переменных.

4.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x⁰,y⁰,z⁰) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x⁰- ,x⁰+ , y⁰- ,y⁰+ ,z⁰- ,z⁰+ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z)0,y⁰,z⁰)

(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x⁰,y⁰,z⁰) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z)0,y⁰,z⁰)

(>)

то говорят, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f_x’(x⁰,y⁰,z⁰), f_y’(x⁰,y⁰,z⁰) ,f_z’(x⁰,y⁰,z⁰)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y⁰,z= z⁰ сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y⁰,z⁰)

Так как мы предположили, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x⁰- ,x⁰+ ) точки x=x⁰, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y⁰,z⁰)0,y⁰,z⁰)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f_x’(x⁰,y⁰,z⁰)=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f_x’(x,y,z)=0

f_y’(x,y,z)=0 (4.2)

f_z’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4.2.Достаточное условие экстремума.

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x⁰,y⁰,z⁰), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям

f_x’(x⁰,y⁰,z⁰)=0,f_y’(x⁰,y⁰,z⁰)=0 ,f_z’(x⁰,y⁰,z⁰)=0

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x⁰,y⁰,z⁰) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности

= f(x,y,z)- f(x⁰,y⁰,z⁰)

Разложим ее по формуле Тейлора,

= { f_x ’’ x₁²+f_x ’’ x₂²+…+f_x ’’ x_n²+2f_x1x2 ’’ x₁ x₂+ +2f_x1x3 ’’ x₁ x₃+…+2f_xn-1xn ’’ x_n-1 x_n}= f_xixj ’’ x_i x_j

где x= x_i-x_i⁰ ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x₁⁰+0 x₁, x₂⁰+0 x₂,…, x_n⁰+0 x_n) (0<0<1)

Введём и здесь значения

f_xixj ’’ (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)=a_ik (i,k=1,2,…,n) (4.2)

так что

f_xixj ’’ (x₁⁰+0 x₁, x₂⁰+0 x₂,…, x_n⁰+0 x_n)= a_ik+ _ik

и

_ik 0 при x₁ 0,…, x_n 0 (4.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a_ik x_i x_k+ _ik x_i x_k} (4.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x₁,…, x_n. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a_ik y_i y_k (a_ik = a_ki) (4.5)

от переменных y₁,…,y_n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a₁₁ a₁₂ a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₁₁>0, a₂₁ a₂₂ , a₂₁ a₂₂ a₂₃ >0,

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

a₁₁ a₁₂ a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₁₁>0, a₂₁ a₂₂ a₂₁ a₂₂ a₂₃ >0

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x⁰,y⁰,z⁰) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x⁰,y⁰,z⁰), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x⁰,y⁰,z⁰) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.
f(x⁰,y⁰,z⁰) f(x⁰,y⁰,z⁰) f(x⁰,y⁰,z⁰)

--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0

x y z

Тогда при x=x⁰,y=y⁰,z=z⁰ :

1. 
   f(x,y,z) имеет максимум , если
   

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ²

---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0

x² x² y² x y
² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ²

--------------- -------------------------------- - --------------- --

x² x² z² y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z^2
2 f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------------------------- +

x z y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z
² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- ------------------------------- >0

x z y²

2. 
   f(x,y,z) имеет минимум, если
   

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ²

--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0

x² x² y² x y

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ²

--------------- -------------------------------- - --------------- --

x² x² z² y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z<sup>2

2</sup> f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------------------------- +

x z y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z
² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- ------------------------------- >0

x z y²


3)если

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ²

--------------- -------------------------------- - --------------- --

x² x² z² y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z<sup>2

2</sup> f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- --------------------------------- +

x z y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

² f(x⁰,y⁰,z⁰) ² f(x⁰,y⁰,z⁰)

-- ------------------------------- =0

x z y²

то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума. 0>0>0>0>

1   2   3   4   5

---

5.Экстремумы функций многих переменных.

5.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x₁,x₂,…,x_n) определена в области D и (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x₁,x₂,…,x_n) в точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x₁⁰ x₁⁰ x₂⁰ x₂⁰ x_n⁰ x_n⁰ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x₁,x₂,…,x_n)1⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)

(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) выполнялось строгое неравенство

f(x₁,x₂,…,x_n)1⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)

(>)

то говорят, что в точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f_x1’(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) ,…, f ’_xn(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x₂=x₂⁰,…,x_n= x_n⁰ сохраняя x₁ переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x₁ :

u=f(x₁, x₂⁰,…,x_n⁰)

Так как мы предположили, что в точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x₁⁰- , x₁⁰+ ) точки x₁= x₁⁰, необходимо должно выполняться неравенство

f(x₁, x₂⁰,…,x_n⁰)< f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x₁= =x₁⁰ будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f_x1’(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f_x1’(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)=0

……………………. (5.1)

f ’_xn(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x₁,x₂,…,x_n)=0

так как, если f_x1’= f_x2’=…= f ’_xn , то каковы бы ни были dx₁,dx₂,…,dx_n всегда

f(x₁,x₂ d,…,x_n)= f_x1’ dx₁+ f_x2’ dx₂+…+ f ’_xn dx_n=0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx₁,dx₂,…,dx_n производные f_x1’, f_x2’,…, f ’_xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x₁,x₂,…,x_n) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).
5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f(x₁,x₂,…,x_n) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).Разлагая разность

= f(x₁,x₂,…,x_n)-f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)

по формyле Тейлора, получим

= { f_x ’’ x₁²+f_x ’’ x₂²+…+f_x ’’ x_n²+2f_x1x2 ’’ x₁ x₂+ +2f_x1x3 ’’ x₁ x₃+…+2f_xn-1xn ’’ x_n-1 x_n}= f_xixj ’’ x_i x_j

где x= x_i-x_i⁰ ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x₁⁰+0 x₁, x₂⁰+0 x₂,…, x_n⁰+0 x_n) (0<0<1)

Введём и здесь значения

f_xixj ’’ (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰)=a_ik (i,k=1,2,…,n) (5.2)

так что

f_xixj ’’ (x₁⁰+0 x₁, x₂⁰+0 x₂,…, x_n⁰+0 x_n)= a_ik+ _ik

и

_ik 0 при x₁ 0,…, x_n 0 (5.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { a_ik x_i x_k+ _ik x_i x_k} (5.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x₁,…, x_n. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

a_ik y_i y_k (a_ik = a_ki) (5.5)

от переменных y₁,…,y_n называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (5.5) была определенной и положительной принадлежит ,как было уже сказано выше , Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a₁₁ a₁₂ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂… a_1n

a₁₁>0, a₂₁ a₂₂ , a₂₁ a₂₂ a₂₃ >0,…, a₂₁ a₂₂… a_2n

a₃₁ a₃₂ a_{33 …………………}

a_n1 a_n2… a_nn

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :

Если второй дифференциал,т. е. квадратичная форма

a_ik x_i x_k (5.6)

со значениями (5.2) коэффициентов – оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x₁⁰,x₂⁰,…, x_n⁰) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x₁²+…+ x_n²

между точками (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) и (x₁,x₂,…,x_n). Вынося в (5.5) за скобку и полагая

x_i (i=1,2,…,n)
перепишем выражение для в виде

= { a_ik E_i E_k+ _ik E_i E_k} (5.7)

Числа E_i зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма (5.7) – положительная, первая сумма в скобках в формуле (5.7) иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

E_i=1 (5.8)

то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях E_i будет

a_ik E_i E_k>m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов E_i во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек(E₁,…, E_n), которые удовлетворяют соотношению (5.8) (“сферическая поверхность”). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны, ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x₁,x₂,…,x_n) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5.6) будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

a₁₁ a₁₂ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂… a_1n

a₁₁<0, a₂₁ a₂₂ , a₂₁ a₂₂ a₂₃ <0,…,(-1)ⁿ a₂₁ a₂₂… a_2n

a₃₁ a₃₂ a_{33 …………………}

a_n1 a_n2… a_nn
5.3.Метод вычисления критериев Сильвестера.

Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка. Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :

1.На каждом этапе понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной техники.

2.Получаемые в результате диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в “ходе вычисления” вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.

В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.

1.Известно, что

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a₁₁ назовем “сверткой” определителя.

2.Определитель порядка не изменится, если элементы какой-либо строки умножить (разделить) на какое-либо число, не равное нулю, и сложить (вычесть) с элементами другой строки.

Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных некоторой функции n– переменных f(x₁,x₂,…,x_n).

Положим a_ik= f_xixk ’’ .Имеем

a₁₁ a₁₂… a<sub>1n

…………………</sub> (5.9)

a_n1 a_n2… a_nn

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_21/ a₁₁ и вычтем их из элементов второй строки.

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_31/ a₁₁и вычтем их из элементов третьей строки. …

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_n1/ a₁₁ и вычтем их из элементов последней строки.

Выполнив последовательно эти операции, получим

a₁₁ a₁₂ … a_1n

0 a₂₂- a₁₂ a_21/ a₁₁… a_2n -a_1n a_n1/ a<sub>11

………………………………………………………</sub> (5.10)

0 a_n2- a₁₂ a_n1/ a₁₁… a_nn- a_1n a_n1/ a₁₁
Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a₁₁,при этом определитель (5.10) умножится на a₁₁^n-2

1

----------- (5.11)

a₁₁^n-2

где

a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₂₁ … a₁₁ a_2n- a_1n a₂₁

a₁₁ a₃₂- a₁₂ a₃₁ a₁₁ a₃₃- a₁₃ a₃₁ … a₁₁ a_13n- a_1n a₃₁

………………………………………………… (5.12)

a₁₁ a_n2- a₁₂ a_n1 a₁₁ a_n3- a₁₃ a_n1 … a₁₁ a_nn- a_1n a_n1

Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде

a₁₁ a₁₂ … a_1n-1

a₂₁ a₂₂ … a<sub>2n-1

…………………</sub> (5.13)

a_n-11 a_n-12… a_n-1n-1

Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что

a₁₁ – есть свертка определителя a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

a₁₂ – есть свертка определителя a₁₁ a₁₃

a₂₁ a₂₃

…………………………………………………..

a_1n-1 – есть свертка определителя a₁₁ a_1n

a₂₁ a_2n

.

Таким образом, первая строка _1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя _n. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый “прямоугольник” элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк “участвуют” во всех прямоугольниках этих строк.

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a₁₁ a₁₂ a_1n-1

a₂₁ a₂₂ a₂₃… a_2n

Аналогично вторая строка определителя _n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a₂₁ a₂₂ a_2n-1

a₃₁ a₃₂ a₃₃… a_3n
Наконец для последней строки _n-1 имеем

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a_{n-1 1} a_{n-1 2} a_n-1n-1

a_n1 a_n2 a_n3… a_nn
Если теперь применить те же опервции к определителю _n-1, т. е. к (5.13), получим

1

……

a₁₁^n-3 (5.14)

где

a₁₁ a₁₂ … a_{1 n-2}

a₂₁ a₂₂ … a<sub>2 n-2

……………………………..</sub>

a_{n-2 1} a_{n-2 2}… a_{n-2 n-2}
а элементы a_ik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников.

Очевидно, повторяя эту операцию n–1 раз, получим следующую формулу, предварительно введя более простые обозначения :

a₁₁ = a₁– левый угловой верхний элемент
a₁₁ = a₂ – левый угловой верхний элемент
a₁₁ = a₃ – левый угловой верхний элемент

…………………………………………

a₁₁ = a_n – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

a<sub>n

………………………..</sub>

a₁^n-2 a₂^n-3… a_n-1 (5.15) n>2
Пример №1.

2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4

5 6 3 1 2² 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 2² 7 –19 -13

0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6
4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14

2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8
1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5=

= -242 –165= -407
Пример №2.

3. 
   0 2 1 5
   

1. 
   4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0
   
2. 
   2 3 5 1 3³ 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5
   

1. 
   3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5
   

1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5
12 3 9 18 -30 66 -264-108

1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162

3³ 9 8 -2 8 3³*12² 66 78 120-108

6 7 11 10

-30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372

1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372

3³*12² 66 78 12 3³*12²*(-30)
1 3150-4554 1980+25668 1 -1404 27648

3³*12²*(-30) -2340-4356 -360+24552 3³*12²*(-30) –6696 24192
-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208

3³*12²*(-30) 3³*12²*30

31311360-182476800 15116544 15116544

3³*12²*30 3³*12² 3888
=3888
Вычесленные в порядке получения определителий _n, _n-1, …, ₂ их верхние левые угловые элементы a₁,a₂,…,a_n являются критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a₁₁=sign a₁

sign a₁₁=sign a₂=sign a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

………

a₁₁… a_1n

sign a₁₁=sign a_n=sign

………..

a_n1… a_nn

По сути метод дает возможность вычисления определителей . Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x₁,x₂,…,x_n). имеющую экстремум,а именно максимум в точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).Это значит,что все коэффициенты a₁, a₂,…, a_n должны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М₀ заканчивается на любом этапе понижения определителя ,если после положительных a₁, a₂,…, a_k коэффициент а_k+1 стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке М₀ – минимум, то коффициенты a₁, a₂,…, a_n образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a₁<0, a₂>0, a₃<0,…

Аналогично процесс прекращается, если нарушается эта знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим образом :

1.Определяются стационарные точки функции, в которых

2.Определяются коэффициенты а_ik в этих точках

²f

x_i x_r
3.Выясняем знак первого диагонального элемента а₁₁=а₁

а) если а₁₁>0, то все последующие элементы а₂,а₃,…,а_n должны быть положительными,если в точке М₀ действительно максимум

б)если а₁₁<0, то знаки последующих элементов а₂,а₃,…,а_n должны чередоваться, если в точке М₀ действительно минимум.

4.При нарушении какой-либо из закономерностей в п.3 процесс прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М₀ экстремума нет.

Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как коэффициенты а_ik являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными ²f/ x_i x_r в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то а_ik= а_ki. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (а_ik) является симметрической вместе со своим определителем а_ik Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое .

Во-первых, покажем, что определитель _n-1 также остается симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от _n-1 к _n и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами себе.

Рассмотрим произвольный элемент а_ik в определителе _n-1, i=k, i,k=1,2,…,n-1.

а_ik= а_ik – а_{1 k} а_1i / а₁₁ (*)

Если переставить индексы i,k ,то

a_ki= а_ki – а_{1 i} а_1k / а₁₁ (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что а_ik= а_ki следует, что а_ik= а_ki. Этим доказано, что из того, что _n- симметрический определитель, определитель _n-1 также симметрический.Что это дает для вычисления _n-1 ?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов а_1k (k=1,2,…,n-1) определителя _n-1 , т.е.

а₁₁, а₁₂, а₁₃,…, а_1n-1

Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид

а₁₁

а₂₁

а<sub>31

…..</sub>

а_{n-1 1}

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем

a₁₁ a₁₂ … a_{1 n-1}

a₂₁ a₂₂… a<sub>2 n-1

………………….</sub>

a_n1 a_n2… a_{n-1 n-1}

Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а₂₂ ,т.е. а₂₂, а₂₃, а₂₄,…, а_{2 n-1}.Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а₂₂,т.е.

а₂₂

а<sub>31

…..</sub>

а_{n-1 2}
Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки.Т.е. иммем

a₁₁ a₁₂ а₁₃ … a_{1 n-1}

a₂₁ a₂₂ а₂₃ … a<sub>2 n-1

n-1</sub>= a₃₁ a₃₂ а₃₃ … a_{3 n-1}

…………………………..

a_{n-1 1} a_{n-1 2} a_{n-1 3} … a_{n-1 n-1}
И т.д.

Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т.е. оставлять в виде

a₁₁ a₁₂ а₁₃ … a_{1 n-1}

a₂₂ а₂₃ … a<sub>2 n-1

n-1</sub>= а₃₃ … a_{3 n-1} (5.16)

…………..

a_{n-1 n-1}
Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило, условно назовем, треугольника.

a₁₁= a₁₁ a₂₂- a₁₂²

a₂₂= a₁₁ a₃₃- a₁₃² и т.д.

Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее

a₁₂= a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₁₂ a₁₁ a₁₂ а₁₃

а₂₃ и т.д.


Пример №3.

Исследовать на экстремум функцию z=x³+y³-3xy

1.Находим

z z

---- и ----

y x

z

---- = 3x²-3y

y

z

---- = 3y²-3x

x
2.Находим стационарные точки, решая систему

3x²-3y=0

3y²-3x=0
Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).

3.Находим

²z ²z ²z

------- --------- --------

x² y² x y

²z ²z ²z

------- =6x --------- =6y -------- = -3

x² y² x y
4.Для точки (0;0) имеем

a₁₁=0 a₂₂=0 a₁₂= a₂₁= -3

Для точки (1;1) иммем

b₁₁=6 b₂₂=6 a₁₂= a₂₁= -3
5.Находим

a₁₁ a₁₂ 0 -3

a₂₁ a₂₂ -3 0
b₁₁ b₁₂ 6 -3

b₂₁ b₂₂ -3 6
Так как <0 , то в точке (0;0) экстремума нет.

Так как >0 и a₁₁>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем z_min = -1.
Пример №4.

Исследовать на экстремум функцию w=x^2/3+y^2/3+z^2/3

Ищем критические точки

2 2 2

w`<sub>x</sub>= ------ w`_y= --------- w`_z= ----------

3 ³ x 3 ³ y 3 ³ z

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P₀(0;0;0). Точка P₀ лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства. Поэтому P₀ критическая точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P₀)= x^2/3+y^2/3+z^2/3 вблизи точки P₀, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она сохраняет положительный знак. Поэтому P₀ есть точка минимума, w_min=w(P₀)=00>

1   2   3   4   5

---

5.4.Экстремумы на множествах.

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например, найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t),
Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстремальных точек на границе области будут рассмотрены позже (см. раздел, посвященный условному экстремуму).

Полезно лишь иметь ввиду, что при отыскании максимумов и минимумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее можно использовать некоторые простые соображения, связанные с природой задачи. Например, если рассматриваемая в Rⁿ дифференцируемая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с тем она не ограничена сверху, то при условии, что функция имеет единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследования утверждать, что в этой точке она принимает минимальное знычение.
6.Условный экстремум.

---

6.1.Постановка вопроса.

Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые условия и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось к внутренним экстремумам.

Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции Rⁿ x f(x) R в окрестности точки тогда, когда аргумент может принимать любое значение из некоторой окрестности Rⁿ в точки x₀.

Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже более интересная ситуация,когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих область измерения аргумента. Типичным примером может служить изопериметрическая задача, когда ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограничивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить доступную нам математичкую запись такой задачи, упростим постановку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди прямоугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь . Обозначив через х и у длины сторон прымоугольника, запишем, что

(х,у)=х-у

х+у=р

Итак, надо найти экстремум функции (х,у) при условии, что переменные х,у связаны соотношением х+у=р. Таким образом, экстремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости R², которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная задача, конечно, решается без труда : достаточно, записав, что у=р-х, подставить это выражение в формулу для (х,у) и найти обычными методами максимум функции х(р-х). Она нам была нужна лишь для постановки вопрса. В следующих пунктах мы рассмотрим общий случай решения подобных задач.
6.2.Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве G Rⁿ заданы функции.

y_i=f_i(x) i=1,2,3,…,m (6.1)

x=(x₁,x₂,…,x_n).Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции f_i i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: f_i(x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6.2)

Уравнения

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n (6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f₀(x) .Тогда x⁽⁰⁾ E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f

---

Смотрите также файлы

• Финальная песня (Д. Майданов Что оставит ветер) Что оставит школа Знаний по предметам багаж за спиной.docx

• Правила любительского рыболовства.docx

• Отношения между понятиями. Круги Эйлера. Отношения между понятиями. Круги Эйлера.docx

• Рыночные структуры в российской экономике.pdf

• Гипертиреоидные состояния (гипертиреозы).docx