Файл: Реферат по дисциплине Методы математического моделирования и прогнозирования.docx
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 31
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра техносферной и пожарной безопасности
РЕФЕРАТ
по дисциплине «Методы математического моделирования и прогнозирования»
тема: «Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента»
Выполнил: студент группы ЗМПБ-211
Петров Н.А.
Проверил: профессор кафедры
техносферной и пожарной
безопасности Мурзинов В.Л.
Воронеж 2021 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………...3
Основные понятия….……………………………………………………..4
Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента………………………………………………………….…7-8
Факторы. Выбор варьируемых факторов……………………………..8-12
Список литературы……………………………………………………………………………..…13
Введение
При исследовании многих прикладных и теоретических задач современного естествознания и при инженерных расчетах часто требуется разыскивать решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным краевым условиям. Современная вычислительная техника и накопленный вычислительный опыт позволяют приближенно рассчитывать решения больших и сложных задач для дифференциальных уравнений. Особую важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения. Она зависит отточности используемой ЭВМ и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления. Существуют мощные пакеты, позволяющие решать как аналитически, так и численно многие задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уверенному использованию таких пакетов помогают знания вычислительных методов решения ОДУ и их особенностей. Встречаются также задачи, для которых требуется модифицировать старые или создавать новые методы и алгоритмы.
Математическое моделирование задач механики, физики и других отраслей науки и техники сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислительной техники.
Основные определения
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее:
-
Стремление к минимизации общего числа опытов; -
Одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;
3. Использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
4. Выбор четкой стратегии, позволяющей принимать
обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны.
Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей (например, кинетических), выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав-свойство – вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука об его проведении – планирование эксперимента.
Задачи поиска оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле) условия его реализации.
Задачи, сформулированные таким образом, называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Выбор оптимального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение – вот примеры задач оптимизации.
Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным. Это название связано с глубокой аналогией между решением задачи оптимизации и поиском экстремума некоторой функции.
Объект исследования
Для описания объекта исследования удобно пользоваться представлением о кибернетической системе. Иногда такую кибернетическую систему называют «черным ящиком». Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Мы обозначаем их буквой игрек и называем параметрами оптимизации. В литературе можно встретить другие названии: критерий оптимизации, целевая функция, выход «черного ящика» и т.д.
Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия мы обозначаем буквой икс и называем факторами. Их называют также входами «черного ящика».
При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Под математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так:
.Такая функция называется функцией отклика.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений (непрерывный ряд). Однако на практике точность, с которой устанавливается некоторое значение, не беспредельна. Поэтому мы вправе считать, что всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней. Это соглашение существенно облегчает построение «черного ящика» и эксперимента и упрощает оценку их сложности.
Фиксированный набор уровней факторов (т. е. установление каждого фактора на некоторый уровень) определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний данного «ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов.
Естественно условиться считать, что число различных состояний определяет сложность данной системы. Зная сложность, мы сразу скажем, сколько различных опытов можно включить в эксперимент в нашей задаче.
Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести в степень числа факторов k: pk, где p – число уровней. Так, на первый взгляд простая система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона!
В этих условиях мы просто вынуждены отказаться от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос, сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу? Здесь-то и приходит на помощь планирование эксперимента.
Однако нужно иметь в виду, что при планировании эксперимента не безразлично, какими свойствами обладает объект исследования. Укажем два основных требования, с которыми приходится считаться. Прежде всего, существенно, воспроизводятся ли на объекте результаты эксперимента. Выберем некоторые уровни для всех факторов и в этих условиях проведем эксперимент. Затем повторим его несколько раз через неравные промежутки времени и сравним значения параметра оптимизации. Разброс этих значений характеризует воспроизводимость результатов.
Если он не превышает некоторой, заранее заданной величины (наших требований к точности эксперимента), то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов, а если превышает, то не удовлетворяет.
Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. Это и есть второе требование к объекту исследования.
На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если требования воспроизводимости не выполняются, приходится обращаться к активно-пассивному эксперименту.
Возможно, плохая воспроизводимость объясняется действием фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во времени. Тогда нужно обращаться к специальным методам планирования.
Планирование экстремального эксперимента – это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, т. е. для решения поставленной задачи.
При оптимизации распространен так называемый детерминированный подход. Особенно широко он используется в химии. Детерминированный подход предполагает построение физической модели процесса на основании тщательного изучения механизма явления (например, кинетики, гидродинамики). Такой подход позволяет полудить математическую модель объекта в виде системы дифференциальных уравнений. Несомненно, что детерминированный и статистический (связанный с планированием эксперимента) подходы должны разумно дополнять друг друга, а не противопоставляться, как это иногда делается.
Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента
При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т. е. может управлять фактором. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.
Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора будем называть операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.
Точность замера факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать, быть может, доли секунды.
Факторы должны быть непосредственными воздействиями на объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т. п.
Необходимость введения сложных факторов возникает при желании представить динамические особенности объекта в статической форме. Пусть, например, требуется найти оптимальный режим подъема температуры в реакторе. Если относительно температуры известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, т. е. градиент. Положение усложняется, когда исходная температура не зафиксирована. Тогда ее приходится вводить в качестве еще одного фактора. Для более сложных кривых пришлось бы ввести большее число факторов (производные высоких порядков, координаты особых точек и т. д.). Поэтому целесообразно пользоваться сложным качественным фактором – номером кривой. Различные варианты кривых рассматриваются в качестве уровней.
Факторы. Выбор варьируемых факторов
Важным этапом подготовки эксперимента является выбор варьируемых факторов.
Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение.
Различают основные и второстепенные факторы. Для определения значимости факторов можно использовать метод ранжирования. Затем на основе этого анализа все факторы располагаются в убывающий по значимости ряд для данного эксперимента.