ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ қаласының МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты	ПОӘК	ПОӘК 042-14.01.20.168/03-2013
«Аналитикалық геометрия» пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар ПОӘК	02.09.13 ж. №1 басылым

ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

«Аналитикалық геометрия»

5В050109 – «Математика» мамандығы үшін

ОҚУ -ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР

Семей

2013

Мазмұны

1. Глоссарийлар…………..…………………………………………………….3

2. Дәріс оқулар …………………………………………………………………5

3. Практикалық сабақтар........…………………………………………………36

4. Студенттің өздік жумысы...................………………………………………45

1 ГЛОССАРИЙ

№	Жаңа ұғымдар		Мазмұны
1	Екінші ретті анықтауыш	= det A = =а11а22 – а21а12
2	Үшінші ретті анықтауыш	= det A = = а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 -а11 а23 а32
3	Минор	М23=
4	Алгебралық толықтауыш	Аij=(-1)i+j Mij
5	Матрица	. А=
6	Кері матрица	А-1= ,
8	Вектор	, - вектордың координаталар. -АВ кесіндінің ұзындығы , - вектордың ұзындығы
9	Скалярлық көбейтіндісі	()= ()= cos-Угол между векторами. - проекция вектора на вектор . - условие коллинеарности векторов
10	Векторлық көбейтіндісі	= Sпар. с== () S=-ұшбұрыштын ауданы (векторлық көбейтіндісінің геометриялық мағынасы)
11	Смешанное произведение	()= Егер ()=0, онда векторлар компланар болады. V=- параллелепипедтің көлемі (аралас көбейтіндісінің гелметриялық мағынасы)
12	Жазақтықтағы түзудін теңдеуі	Ах+Ву+С=0 – жалпы теңдеу к= - бұрыштық коэффициент -екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі A(x-x0)+B(y-y0)=0 – нормалі бар түзудің теңдеуі - бағыттылған вектормен берілген түзудің теңдеуі y-y0=k(x-x0) – бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің теңдеуі - кесінді арқылы түзудің теңдеуі к1 = к2 – түзулердің параллель шарты к1 = - түзулердің перпендикуляр шарты tg- түзулердің арасындағы бұрыш d= - нүктеден түзуге дейінгі қашықтық
13	Екінші ретті қисықтар	- эллипс, - фокустар, мұндағы, -эксцентриситет, - директрисссалар -гипербола, - фокустар, где , -эксцентриситет, - директриссалар, - асимптоталар у2=2px және х2 =2ру –парабола, р – параболаның параметрі, - директрисса, - параболаның фокусы -шеңбер, С(а,в) – шеңбердің центрі, R – шеңбердін радиусы.
14	Кеңістіктегі тұзудің теңдеудің	- тұзудің канондық теңдеуі, - бағыттылған вектор - екі нүктеден өтетін тузудің теңдеуі - түзудің параметрлік теңдеуі - уравнение прямой как пересечение двух плоскостей, где - бағыттылған вектор - түзулердің параллель шарты l1l2+m1m2+n1n2=0– түзулердің перпендикуляр шарты
15	Жазықтықтың теңдеуі	Ax+By+Cz+D=0 - Жалпы теңдеуі A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, где =(A,B,C) – жазықтықтың нормалі - Үш нуктедең өтетін жазақтықтын теңдеуі d= - нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық

---

2 ДӘрiстер

Сызықтық алгебра

1 – дәріс

Анықтама. m жатық және n тік жолдарда орналасқан сандар кестесін mn өлшемді тік бұрышты А матрицасы деп атайды. Яғни

А=

Бізге А= екінші ретті квадрат матрица берілсін.

Анықтама. Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп санды атайды және оны былайша белгілейді

=а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Мысал. Мына анықтауышты есепте.

Шешуі. = .

Үшінші ретті анықтауыш туралы түсінік

Анықтама. Үшінші ретті квадрат матрицаға сәйкесті үшінші ретті анықтауыш деп

а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂ санын атап, мына символ арқылы белгілейді:

= а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂

Үшінші ретті анықтауышты есептеуде Саррюс ережесін (үшбұрыш ережесін) қолданылады:

= + + - - - .

Мысал. Мына анықтауышты есептеу керек.

Ол үшін үшбұрыш ережесін қолданамыз. Сонда

=

Анықтауыштың қасиеттері

1. Анықтауыштың жатық жолдарын оның сәйкес тік жолдарымен орын алмастырғаннан ол анықтауыштың сан мәні өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың қандай болса да бір жатық жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

3. Егер анықтауыштың екі жатық жолын бірі мен бірінің орындарын алмастырсақ, онда анықтауыш таңбасы қарама - қарсы таңбаға ауысады.

4. Егер анықтауыштың кез келген екі жатық жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.

5. Егер анықтауыштың қандай болмасын бір жатық жолының ортақ көбейткіші болса, онда оны ( ) анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.

Алгебралық толықтауыштар мен минорлар

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыштың а_ij элементінің М_ij миноры деп анықтауыштың і - ші жатық жолын және j - ші тік жолын сызғанда калған элементтерінен құралған екінші ретті анықтауышты атайды.

Мысалы, М₂₃=

Анықтама. а_ij элементінің A_ij алгебралық толақтауышы деп оның (-1)^i+j таңбасымен алынған минорын айтады, яғни А_ij=(-1)ⁱ⁺j Mij.

Мысал. Мына анықтауыштың М₁₂, М₃₁, А₂₂, А₁₂ табу керек.

М₁₂= =24-2=22, М₃₁= =6-20=-14,

A₂₂=(-1)²⁺² =+(12+4)=16, A₁₂=(-1)¹⁺² =-(24-2)=-22.

Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер формулалары.

Бізге үш белгісізді сызықтық үш тендеулер жүйесі берілсін:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃

Мұндағы а_ij коэффициентері мен b_i босмүшелері нақты сандар болсын. Мына белгілеулерді енгізейік

=, =, =, =

Егер, онда Крамер ережесі бойынша

Мысал. Мына жжүйенің шешімін Крамер формулаларын қолданып табу керек

Шешемі. Анықтауыштарын есептейміз ==290, ₁==580, ₂==-580, ₃==290

Сонымен, , яғни (2;-2;1) үштегі қарастырылып отырған теңдейлер жүйесінің шешімі болады.

Матрицалар және оларға амалдар қолдану

санын А матрицасына көбейту үшін оның әрбір элементін сол санға көбейту қажет

Бірдей өлшемді А және В матрицаларының қосындысы деп өлшемі А мен В өлшеміндей, элементтері А мен В элементтерінің қосындысыны тең матрицаны атайды.

А және В матрицаларының көбейтіндісі деп с_ij – элементтері А матрицасының i – ші жатық жолы элементтерін В матрицасының j – ші тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең С матрицасын атайды.

---

Мысал. Берілген А= және В = . Табу керек 2А+3В

2А+3В= 2 +3 = + =

= =

Мысал. А= , В = Табу керек: АВ .

==

=

Кері матрица

Анықтама. Бас диагональ элементтірінің барлығы тегіс бірге тең диагональдік матрица бірлік матрица деп аталады және былай белгілінеді:

Анықтама. Шаршы А матрицасын алайық. Егер А^-1А=Е теңдігін қанағаттандыратын шаршы А^-1 матрицасы табылса, онда А^-1 матрицасы А матрицасына кері матрица деп аталады.

Кері матрица мына формуламен есептеледі А^-1=

Мысал. Берілген А= матрицасына кері матрицаны табу керек.

Шешімі. det =6 . Барлық алгебралық толықтауыштарын есептеп табамыз

, , ,

, , ,

, ,

Сөйтіп кері матрица

Векторлық алгебра

2 – дәріс

Векторларды анықтау. Векторды базис бойынша жіктеу

Анықтама. Вектор деп бағытталған кесіндіні атайды да, = символмен белгілейді. ара қашықтығы векторының ұзындығы деп аталады.

Анықтама. , ,…,векторларының сызыктык комбинациясы деп мына түрдегі + +…+кез келген векторды атайды, мұндағы нақты сандарын сызықтық комбинацияның коэффициенттері деп атайды. Егер + +…+болса, онда векторы , ,…,векторлары бойынша жіктелген дейді.

Анықтама. Бағыттары бірдей немесе қарама – қарсы брғытталған нөлдік емес және векторлары коллинеар векторлар деп аталады да арқылы белгілінеді. Жазықтықтағы базис деп белгілі бір ретпен алынған осы жазақтықтың кез келген коллинеар емес векторлар парын атайды.

Теорема. Жазықтағы кез келген векторын осы жазықтықтың коллинеар емес кез келген және векторлары бойынша жіктеуге болады және ол жіктеу жалғыз ғана болады, яғни . К₁, к₂ сандары базісі бойынша алынған векторының координаталары деп аталады да, алынған ретімен жақшаға алынып, былай жазылады.

Анықтама. Егер векторлары бір жызыктыққа параллель болса, онда оларды компланар векторлар деп атайды.

Егер компланар болса, онда жіктелу орындлады.

Декарттық координаталар жүйесі. Векторларға сызықтық амалдар қолдану

Анықтама. Егер базис векторлары өзара перпендикуляр бірлік векторалар болса, онда кеңістіктегі о, координаталар жүйесі декарттық тік бұрышты координаталар жүйесі дер аталады. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінің базистік бірлік векторларын символдарымен белгілейді. Сонда кеңістіктегі арқылы жазылады.

және векторлары берілсін дейік.

Мына ережелер орындалады:

Мысал. Берілген және . Табу керек 3-дәріс

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі

Анықтама. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп сол векторлардың модульдерін олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісін айтады, оны былайша белгілейді: ()= , мұндағы және векторларының арасындағы бурыш.

Егер және векторлары берілсін дейік, онда олардың скаляр көбейтіндісі мына формуламен есептеледі

()=

Салдар. Егер болса , онда вектор ұзындығы сына формула бойынша анықталады

Салдар. Егер және , онда және векторлары арасындағы бұрыш мына формула бойынша есептеледі:

---

cos

Салдар. векторының бағыттауыш косинустары

cos, cos, cos

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі

Анықтама. және векторларының векторлық көбейтіндісі деп с= символымен белгіленген мына шартты қанағаттындыратын векторын атайды:

= S_пар.

және

с== ()

Векторларды аралас көбейтіндісі

Анықтама. векторларының аралас көбейтіндісі деп вектормен векторының скалярлық көбейтіндісіне тең санды атайды, яғни ()=().

1. Егер , , , онда олардың аралас көбейтіндісі үшінші ретті анықтауышқа тең, яғни

()=

2. векторлары компланар векторлар болуы үшін, олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең болуы қажетті жуне жеткілікті, яғни ()=0.

3. Компланар емес векторларының аралас көбейтіндісі модуль бойынша сол үш векторларға салынған параллелепипедтің көлеміне тең болады, яғни V= .

Векторлардың перпендикулярлық және коллинеарлық шарттары

1. Егер және векторлары коллинеар болса, онда олардың сәйкес координаталары пропорционал болады, яғни

2. және векторлары перпендикуляр болуы үшін

теңдігі орындалады.

4-дәріс.

Жазықтықтағы аффиндік және тік бұрышты координаталар жүйесі. Түзудегі, жазықтықтағы және кеңістіктегі тік бұрышты координаталар жүйесі. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу

Жазықтықтағы аналитикалық геометрия

Жазықтықтағы түзүдің теңдеулері

Анықтама. Ах+Ву+С=0 теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Бұдан . Мұндағы к= - түзудің бұрыштық коэффициенты.

1. Бағыттауыш векторы (түзуге параллель), М₀(x₀,y₀) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуі болады. Бұл теңдеуді қорытып шығару үшін берілген түзудің бойынан тағы бір М(х, у) нүкте аламыз. Сонда векторы векторына коллинеар. Демек, олардың сәйкес координаталары пропорционал, яғни .

2. Нормаль векторына перпендикуляр болып, М₀(x₀,y₀) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуі A(x-x₀)+B(y-y₀)=0. Бұл теңдеуді қорытып шығару үшін берілген түзудің бойынан тағы бір М(х, у) нүкте аламыз. Сонда векторы векторына перпендикуляр болады, яғни олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең. Сонда мына теңдік A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 шығады. Бұл ізделінді түзудің теңдеуі.

3. Бұрыштық коэффициенті к болып, М₀(x₀,y₀) нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі y-y₀=k(x-x₀). Мұны қорыту үшін түзудің у=кх+в (1) теңдеуін алайық. М₀ нүкте түзу бойында жақандықтан, оның координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырады, яғни у₀ =кх₀ +в (2) теңдігі орындалады. (1) теңдіктен (2) теңдікті шегерсек, y-y₀=k(x-x₀) теңдігі шығады. Бұл бұрыштық коэффициенті к болып, М₀(x₀,y₀) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

4. Берілген екі нүкте М₁(x₁,y₁) және М₂(x₂,y₂) нүктелері өтетін түзудің теңдеуі . Мұнда түзу бойынан кез келген бір М (х, у) нүкте аламыз. М₁ нүктені М және М₂ нүктелерімен қоссақ, =(х – х₁ , у – у₁), =(х₂ – х₁ , у₂ – у₁), векторлары коллинеар болады. Бұдан ізделінді теңдеу шығады.

Координаталар өстерін А(a,0), B(0,b) нүктелерінде қиып өтетін түзудің теңдеуі (Студенттердің өз беттерімен қорытуына беріледі).

---

Екі түзу арасындағы бұрыш. Параллельдік және перпендикулярлық шарттары. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы

d₁ және d₂ түзулері өздерінің сәйкес жалпы теңдеулері арқылы берілсін дейік:

А₁х+В₁у+С=0, А₂х+В₂у+С=0

Бұрыштық коэффициенттері к₁=, к₂=

Егер d₁  d₂, онда к₁ = к₂.

Егер d₁ d₂, онда к₁ =.

Екі түзу арасындағы бұаыш tg (Студенттердің өз беттерімен қорытуына беріледі)..

M(x₀,y₀) нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы d= (Студенттердің өз беттерімен қорытуына беріледі).

у

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

F₁, F₂ – эллипстің фокустары. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0), F₁F₂ = 2c.

с – фокустары ар қашықтығының жартысы; 2а - тұрақты шама. F₁М және F₂М қашықтықтарын r₁= F₁М, r₂= F₂М деп белгілесек, онда (2) теңдік мына түрде жазылады:

r₁ + r₂ = 2а (2¹)

Екі нүктені ара қашықтығының формуласы бойынша:

.

Бұл теңдеуді түрлендіріп, эллипстің жабайы (канондық) теңдеуін табайық:

х ²+2сх+с²+ у² = 4а² – 4а

а теңдіктің екі жағын а - ға бөліп, квадраттайық:

х² -2сх+с²+у² = (а -

х² -2сх+с²+у² =

а²х²+а²у²+а²с²= а⁴ + с²х²,

(а²- с²) х²+а²у²+ = а² ( а² - с²),

а с болғандықтан, а² - с² 0 болады, сондықтан а² - с² в² (3) деп белгілейміз.

Сонда в² х²+а²у²+ = а² в² шығады, осыдан (4), мұндағы х пен у -

эллипстің бойындағы кез келген нүктелердің координаталары, а – эллипстің үлкен жарты өсі, в – оның кіші жарты өсі. (4) теңдеу эллипстің жабайы (канондық) теңдеуі деп аталады.

Теорема. Эллипстің фокустық ара қашықтығы мен жарты өстері мынадай қатынас бойынша байланысады:

a² = b² + c².

Дэлелдеу: Егер М нүкте эллипстің вертикаль осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r₁ + r₂ = 2( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нүкте эллипстің горизонталь осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r₁ + r₂ = a – c + a + c. Эллипстің

нықтамасы бойынша r₁ + r₂ – қосынды тұрақты шама, ендеше жоғарыдағы екі теңдікті теңестіріп, мынадай теңдік аламыз:

a² = b² + c² .

Анықтама. = с/a қатынас эллипстің эксцентриситеті деп аталады. с < a

болғандықтан, < 1 болады.

Эллипстің түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу.

(4) теңдеу бойынша эллипстің бірнеше қасиеттерін анықтайық..

х=а

х=-а

у

у=в

М

М₂

В₂

х

А₁

А₂

О

1). (4) теңдеудегі х пен у екінші дәрежелі болғандықтан, ол теңдеуді М(х;у) нүктесінің координаталарымен қоса М₁(х;-у), М₂(-х;у), М₃(-х;-у) нүктелерінің де координаталары қанағаттандырады.

у=-в

М₁

М₃

В₁

Ендеше эллипс координат осьтеріне,

Координата басына қарағанда симметриялы .

2) у=0 болса, болады, бұдан х =  а. Сондықтан эллипс ох осін А₁(-а; 0) және А₂(а;0) нүктелерінде қияды. Ал х=0 болғанда шығады да, у= в. Демек, эллипс оу осін В₁(0;-в), В₂(0; в) нүктелерінде қияды. Эллипстің осьтермен қиылысу нүктелері (А₁, А₂, В₁, В₂ ) төбелері деп аталады.

---

Смотрите также файлы

• Алгебра 1 семестр.pdf

• ЭОиУП A416 5В070200 каз Тузелбаев.pdf

• шпоры по экономике.doc

• Жұмыс бригадасы мүшелерінің еңбекақысын анықтау.docx

• зертханалық жұмыс.docx