Файл: Правила нахождения первообразных. Неопределенный интеграл Определенный интеграл первообразная рекомендуемая литература.pptx

В математике, как правило, для каждого действия над изучаемыми объектами (числами, функциями, векторами и т.п.) определяется и обратное действие: сложение – вычитание, умножение – деление и т.п. Основным действием дифференциального исчисления является дифференцирование – отыскание производной данной функции. Действием, обратным дифференцированию, является интегрирование – отыскание такой функции, для которой данная функция является производной, например:

известна скорость прямолинейного движения точки v = v(t) как функция времени. Необходимо найти закон движения. Искомой функцией s =s( t) будет такая, для которой s′(t) =v (t).
известна скорость v = v(t) протекания химической реакции, показывающая количество вещества, реагирующего в единицу времени. Законом реакции будет функция m =m(t) , такая, что m′(t)= v(t).
известно ускорение прямолинейного движения точки a=a(t) как функция времени. Необходимо найти законы движения и скорости материальной точки. Искомой функцией v = v(t) будет такая, для которой v′ (t) = a(t) и s =s( t) , для которой s′(t) =v (t).

1. Определение первообразной.

.

Первообразная

Определение Функция F (x), определенная на интервале ( a; b), называется первообразной для функции f (x) на этом интервале, если для  х ( a; b) выполняется равенство F ′ (x) = f (x).

Первообразная определяется с точностью до произвольной постоянной С,

так как (F (x)+C)′ = F ′ (x)+ C′ = F′ (x)= f (x).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

1. Определение первообразной.

.

F(x)+C1

F(x)+C2

F(x)+C3

Рис.24

Первообразная

Пример. Показать, что функции F(x) = х2 + 1 , F(x) = х2 – 1

F(x) = х2 – 3 , F(x) = х2 + С

является первообразной для функции f(x) = 2 х.

Решение.

F'(x) = (х2 + 1)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 – 1)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 –3)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 –С)' = 2x = f(x);

Любая функция F(x) = х2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2 х.

.

F(x)=x2+C

F(x)=x2+1

F(x)=x2 – 1

F(x)=x2 – 3

O

Рис. 25

Первообразная

.

2. Таблица первообразных

	Функция f(x)	Первообразная F(x)		Функция f(x)	Первообразная F(x)
1	0	C	9	cos x	sin x
2	1	x	10	sin x
3	k	k x	11	e x	e x
4	x		12	a x
5			13		tg x
6		2	14		– ctg x
7	x n, n ≠ –1		15		arctg x
8	, х ≠ 0	ln \| x \|	16		arcsin x

	Функция f(x)	Первообразная F(x)		Функция f(x)	Первообразная F(x)
1	0	C	9	cos x	sin x
2	1	x	10	sin x
3	k	k x	11	e x	e x
4	x		12	a x
5			13		tg x
6			14		– ctg x
7	x n, n ≠ –1		15		arctg x
8		ln \| x \|	16		arcsin x

Первообразная

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g (x), то

F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g( x).

Пример. Найти первообразную для функции f(x) = 2х +cos x.

Решение: первообразной для функции 2x служит х 2,

первообразной для функции cos x служит sin x.

Значит, первообразной для функции f(x) = 2х +cos x ,

будет функция F(x)= х2 + sin x.

3. Правила нахождения первообразных.

Первообразная

Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x).

Пример. Найти первообразную для функции f(x) = 5 sin x.

Решение: первообразной для функции sin x является – cos х;

Значит для функции 5 sin x первообразной будет функция

F(x)= –5 cos х.

3. Правила нахождения первообразных.

Первообразная

3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то

F( k · x + b) — первообразная для f( k · x + b).

Пример. Найти первообразную для функций: а) y = cos 2 x ; б) y= (4+5x)7 .

Решение: а) первообразной для функции cos x служит sin x,

значит, для функций y = cos 2 x первообразной будет функция

F(x)= sin 2 x .

б) первообразной для функции x7 служит ,

значит, для функций y = (4+5x)7 первообразной будет функция

F(x)= (4+5х)8.

3. Правила нахождения первообразных.

Первообразная

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
Если f(x)=0, то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

3. Правила нахождения первообразных.

Первообразная

Известен закон изменения скорости тела v = v(t) , требуется найти закон изменения координаты S=S(t) данного тела.

Скорость – это производная от пройдённого пути: v(t) = S′(t),

таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции v(t) (производной) восстановить функцию S(t).

Пример. Задан закон изменения скорости от времени v(t)= – 6 sin 3t. Найдите закон движения S=S(t), если в момент времени t=0 координата точки была равна 4 (т.е. S(0)=4).

Решение: Найдем первообразную для скорости, т.е. для функции v(t)= – 6 sin 3t.

Одна из первообразных имеет вид: S(t) = (– cos 3 t) = 2cos 3t,

а все первообразные имеют вид: S(t) = 2cos 3t+С ().*

4. Решение задач, обратных задаче нахождения закона изменения

скорости материальной точки по закону ее движения.

.

Первообразная

Найдем значение постоянной С, используя начальные условия S(0)=4.

4= 2cos( 3 ∙0)+С;

4= 2 ∙ 1+С;

С=4 – 2;

С=2.

Подставляя полученную константу в (*) , получим закон движения:

S(t) = 2cos 3t+2.

Ответ: S(t) = 2cos 3t+2.

Первообразная

Множество всех первообразных функции f (x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

, где F′ (x)= f (x).

Знак ∫ -называется знаком неопределенного интеграла;

х – переменной интегрирования;

функция f (x) – подынтегральной функцией,

f (x) dx – подынтегральным выражением.

Историческая справка. Первым символ для обозначения интегрирования придумал Ньютон. Он применял для этого небольшой квадрат. Однако данное обозначение не получило серьезного распространения. Сегодняшнее обозначение неопределенного интеграла было придумано в 1675 году Лейбницем.
4. Неопределенный интеграл.

Первообразная

Основная задача интегрального исчисления – это задача о нахождении первообразной для заданной функции. Эта задача сложнее, чем задача дифференцирования. Оказывается, для всякой непрерывной функции существует первообразная, но эта первообразная не всегда является элементарной функцией. Соответствующие неопределенные интегралы называются «не берущимися».

Приведем примеры таких интегралов:
4. Неопределенный интеграл.

Первообразная

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

4. Неопределенный интеграл.

Первообразная

4. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

, k - const.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е.

.

4. Неопределенный интеграл.

Первообразная

5. Если независимую переменную х заменить некоторой функцией (x) ,

дифференцируемой по х, то формула интегрирования не изменится.

Таким образом, если справедливо равенство

, то справедливо и равенство:

.

4. Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы получился табличный интеграл.

Неопределенный интеграл

Практическое

домашнее

задание №2

Неопределенный интеграл

Методы вычисления неопределенного интеграла.

Интегрирование методом замены переменной(метод подстановки).
Интегрирование по частям.

Неопределенный интеграл

Смотрите также файлы

Контрольная работа 2 8 класс Важнейшие представители неорганических веществ. Количественные отношения в химии.docx

Организация метрологического контроля при обслуживании и ремонте радиоэлектронной техники Контрольные вопросы 1.docx

Конфликты в условиях учебной деятельности.docx

Контрольная работа Останин Илья Евгеньевич Студент группы пиб11з Студенческий билет 2110075.docx

Настои и отвары.docx