Файл: Правила нахождения первообразных. Неопределенный интеграл Определенный интеграл первообразная рекомендуемая литература.pptx

СОДЕРЖАНИЕ

Первообразная и интеграл

Первообразная

Первообразная и интеграл

Рекомендуемая литература

Хамидуллин Р.Я. Гулиан Б.Ш.

Основы Математического Анализа

Занятие 10.

Стр. 138-174

Первообразная

Первообразная

Первообразная определяется с точностью до произвольной постоянной С,

так как (F (x)+C)′ = F ′ (x)+ C′ = F′  (x)= f (x).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Первообразная

Пример. Показать, что функции F(x) = х2  + 1 , F(x) = х2  –  1 

F(x) = х2  –  3 , F(x) = х2  + С 

является первообразной для функции   f(x) = 2 х.

Решение.

F'(x) = (х2 + 1)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 – 1)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 –3)' = 2x = f(x);

F'(x) = (х2 –С)' = 2x = f(x);

Любая функция F(x) = х2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции  f(x) = 2 х. 

Первообразная

Первообразная

Первообразная

Первообразная

3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то

  F( k · x + b) — первообразная для  f( k · x + b).

Пример. Найти первообразную для функций: а) y = cos 2 x ; б) y= (4+5x)7 .

Решение: а) первообразной для функции  cos x служит sin x,

значит, для функций y = cos 2 x первообразной будет функция

F(x)= sin 2 x .

б) первообразной для функции   x7 служит ,

значит, для функций y = (4+5x)7 первообразной будет функция

F(x)= (4+5х)8.

Первообразная

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Первообразная

Известен закон изменения скорости тела  v = v(t)  , требуется найти закон изменения координаты  S=S(t)  данного тела.

Скорость – это производная от пройдённого пути: v(t) = S′(t),

таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции v(t)  (производной) восстановить функцию  S(t).       

Решение: Найдем первообразную для скорости, т.е. для функции v(t)= – 6 sin 3t.

Одна из первообразных имеет вид: S(t) = (– cos 3 t) = 2cos 3t,

а все первообразные имеют вид: S(t) = 2cos 3t+С (*).

Первообразная

Найдем значение постоянной С, используя начальные условия S(0)=4.

4= 2cos( 3 ∙0)+С;

4= 2 ∙ 1+С;

С=4 – 2;

С=2.

Подставляя полученную константу в (*) , получим закон движения:

S(t) = 2cos 3t+2.

Ответ: S(t) = 2cos 3t+2.

Первообразная

Множество всех первообразных функции f (x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

, где F′  (x)= f (x).

Знак ∫ -называется знаком неопределенного интеграла;

х – переменной интегрирования;

функция f (x) – подынтегральной функцией,

f (x) dx – подынтегральным выражением.

Первообразная

Первообразная

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Первообразная

4. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

, k - const.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е.

.

Первообразная

5. Если независимую переменную х заменить некоторой функцией (x) ,

дифференцируемой по х, то формула интегрирования не изменится.

Таким образом, если справедливо равенство

, то справедливо и равенство:

.

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Практическое

домашнее

задание №2

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Практическое домашнее задание №3

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Задача 1. Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.

Решение. Разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей точками а= х0 , х1, х2 ,… хn-1 , xn =b.

Sn = S0+ S1 +…+ Sk +…+ Sn-1 = f (x0 ) Δ x0 + f (x1 ) Δ x1 +…+ f (xk ) Δ xk +…+ f (xn-1 ) Δ xn-1 .

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Теорема. (Формула Ньютона –Лейбница).

Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то справедлива формула

, где F(x) –первообразная для функции f(x).

Пример. Вычислить

Решение:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

ЗАМЕЧАНИЕ

Неопределенный интеграл  

– это семейство функций, которое является первообразной для интегрируемой функции.

Определенный интеграл 

– это число, а именно величина площади криволинейной трапеции.

Чтобы вычислить площадь фигуры, выполним параллельный перенос фигуры Р на m единиц вверх (m>0) так, чтобы фигура оказалась лежащей выше оси Ох.

Таким образом, наша фигура Р, ограничена сверху и снизу графиками функций y=f(x)+m, y=g(x)+m, (обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [ a; b]).

S= SABCD = SaDCb – SaABb =

Решение: 1) Построим параболу y= x2 ̶ 4x+2 .

Абсциссу вершины параболы найдем из условия y′= 0.

Имеем: y′ = (x2 ̶ 4x+2 )′ =2 x ̶ 4;

2 x ̶ 4=0 ;

х =2.

Вершина параболы находится в точке (2 ; -2), осью параболы является прямая х=2.

Для построения параболы возьмем дополнительные точки:

2) Построим прямую y= x ̶ 2 (прямая строится по двум точкам), возьмем (2; 0) и (0;-2).

Первообразная

5. Определенный интеграл Практическое домашнее задание №4

Определенный интеграл

в геометрии:

1. Вычисление площадей плоских фигур.

2. Вычисление длины дуги плоской кривой.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения.

4. Вычисление объемов тел вращения.

к решению физических задач: