ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 677
Скачиваний: 2
81
в
) 0
р
1 (X=|
р
, 1 –
р
|).
В
соответствии
с
выражением
(5.12)
или
в
развернутом
виде
(5.19)
получаем
q
a
a
a
a
a
a
22
12
11
22
12
21
1 2
10 1 2 3
3
14
.
Приемлемые
ситуации
для
игрока
2
в
соответствии
с
выражениями
(5.26), (5.27)
и
(5.27)
следующие
:
а
)
(
р
, ),
р
;
1
1 1
5 1 2 1
2
9
22
21
11
22
12
21
где
b
b
b
b
b
b
б
)
(
р
, ),
р
;
0
2
9
где
в
)
(
р
, ),
р
.
q
где
2
9
Множества
всех
приемлемых
ситуаций
игрока
1
и
игрока
2
изображены
на
рис
. 5.5 (
для
игрока
2
соответствующее
множество
показано
пунктиром
).
Рис
. 5.5.
Зигзаги
приемлемых
ситуаций
пересекаются
в
единственной
точке
(
,
)
2
9
3
1 4
,
которая
и
оказывается
единственной
ситуацией
равновесия
.
Эта
ситуация
равновесия
является
ситуацией
равновесия
в
смешанных
стратегиях
.
Таким
образом
,
оптимальными
стратегиями
по
Нэшу
являются
9
7
;
9
2
X
и
14
11
;
14
3
Y
.
При
этом
цена
игры
для
игрока
1
i
j
j
ij
i
T
A
y
a
x
XAY
63
71
14
11
)
1
(
9
7
14
11
2
9
2
14
3
1
9
7
14
3
)
10
(
9
2
.
Цена
игры
для
игрока
2
i
j
j
ij
i
T
B
y
b
x
XBY
3
1
14
11
1
9
7
14
11
)
2
(
9
2
14
3
)
1
(
9
7
14
3
5
9
2
.
р
1
2/9
0
3/14
1
q
82
5.6.
Метастратегии
и
метарасширения
Смешанные
стратегии
определяются
как
случайные
величины
,
реализующиеся
в
виде
чистых
стратегий
.
Дальнейшее
расширение
понятия
стратегии
сводится
к
пониманию
новых
,
обобщенных
стратегий
,
как
функции
,
в
которой
исходные
стратегии
принимаются
константами
.
В
качестве
аргументов
,
от
которых
целесообразно
рассматривать
функции
–
стратегии
,
можно
брать
стратегии
других
игроков
.
Далее
мы
ограничимся
случаем
,
когда
каждый
раз
рассматривается
функция
от
стратегии
только
одного
игрока
.
Определение
9.
В
бескоалиционной
игре
всякая
функция
F
k
ij
: X
k
X
j
(
которая
исходя
из
стратегии
X
k
игрока
k
определяет
стратегию
X
j
игрока
j
называется
метастратегией
игрока
j
(
в
ответ
на
стратегию
игрока
k
).
Содержательно
всякую
метастратегию
F
k
ij
можно
понимать
как
способ
выбора
игроком
j
некоторой
своей
стратегии
в
зависимости
от
получаемой
им
информации
о
стратегии
,
выбираемой
игроком
k
.
Если
рассматривать
ситуацию
в
бескоалиционной
игре
как
некоторое
соглашение
,
некоторый
договор
между
игроками
,
а
общую
стратегию
–
как
принимаемое
на
себя
в
договоре
обязательство
,
то
метастратегию
можно
понимать
как
своего
рода
условное
обязательство
: “
в
случае
если
игрок
k
поступит
так
-
то
,
я
,
игрок
і
,
выбираю
такую
-
то
свою
стратегию
,
а
если
этак
-
то
,
то
такую
-
то
”.
Очевидно
,
множество
всех
метастратегий
і
в
ответ
на
стратегию
k
можно
изобразить
в
степени
множеств
j
k
.
Определение
10
.
Бескоалиционные
игры
G,
с
тем
же
множеством
игроков
N,
что
и
игра
называется
метаигрой
над
игрой
(
метарасширением
игры
Г
),
если
для
некоторых
j
,
k
N
,
,
j
i
для
j
i
для
Y
k
X
i
j
i
и
для
любой
метастратегии
y
i
Y
i
и
любого
игрока
і
I
G
y
H x y
i
i
i
i x
k
(
/
)
( /
)
(
)
,
где
x
k
–
стратегия
игрока
k
,
входящая
в
ситуацию
,
Н
–
функция
выигрышей
в
игре
Г
.
Очевидно
,
процесс
образования
метаигр
(
метарасширений
игр
)
поддается
неограниченному
интегрированию
:
от
метаигры
можно
переходить
к
ее
метаигре
(
называемой
второй
метаигрой
),
от
нее
к
третьей
метаигре
и
т
.
д
.
В
этом
отношении
метарасширения
игр
отличаются
большим
разнообразием
,
чем
смешанные
расширения
.
Для
метастратегических
расширений
доказаны
следующие
важные
теоремы
.
83
Теорема
3
.
Каждая
конечная
бескоалиционная
игра
двух
лиц
имеет
в
своем
первом
метарасширении
ситуации
равновесия
.
Доказанная
теорема
не
противоречит
той
возможности
,
что
ситуацией
равновесия
может
обладать
уже
сама
исходная
игра
Г
.
Теорема
4
.
Каждая
конечная
бескоалиционная
игра
двух
лиц
имеет
в
своем
третьем
метарасширении
ситуацию
,
которая
является
одновременно
ситуацией
равновесия
и
оптимальной
по
Парето
.
Пример
.
Биматричная
игра
2
х
2
имеет
следующие
матрицы
выигрышей
игроков
А
и
В
:
А
8
0
10
1
,
,
1
0
10
8
B
В
соответствии
с
выражениями
(5.17), (5.18)
и
(5.19)
находим
приемлемые
ситуации
(X,Y)
игрока
1:
а
)
( , ),
,
1
1 0
8 1 10
1
22
12
11
22
12
21
q
где
q
a
a
a
a
a
a
(q
может
быть
в
любом
интервале
[0, 1];
б
)
( , ),
0
1
q
где
q
(
ситуация
невозможна
);
в
)
(
р
, ),
q
где
q
1
(
ситуация
невозможна
).
В
соответствии
с
выражениями
(5.25), (5.27)
и
(5.28)
находим
приемлемые
ситуации
(X,Y)
игрока
2:
а
)
,
1
0
10
1
8
0
1
р
),
1
,
(
21
12
22
11
21
22
b
b
b
b
b
b
где
р
(
р
может
быть
любым
в
интервале
[0, 1];
б
)
(
р
, ),
р
0
1
где
(
ситуация
невозможна
);
в
)
(
р
, ),
р
q
где
1
(
ситуация
невозможна
);
Для
наглядности
на
рис
. 5.6
изображены
зигзаги
,
описывающие
и
невозможные
ситуации
за
пределами
допустимых
изменений
вероятностей
p,q).
Рис
. 5.6.
-1
-1
1
р
1
q
84
Единственной
ситуацией
равновесия
в
рассматриваемой
игре
оказывается
ситуация
(1,1).
В
этой
ситуации
каждый
из
участников
теряет
8.
Вместе
с
тем
очевидно
,
что
в
ситуации
(0,0)
каждый
игрок
теряет
лишь
по
единице
.
Однако
эта
ситуация
неустойчива
,
каждый
игрок
,
изменяя
в
ней
произвольным
образом
свою
стратегию
,
увеличивает
свой
выигрыш
.
Множество
всех
реализуемых
векторов
выигрышей
для
рассматриваемой
игры
имеет
вид
,
изображенный
на
рис
. 5.7.
Рис
. 5.7.
Очевидно
,
что
ситуации
с
выигрышами
(–1, –1), (–10,0), (0,–10)
являются
оптимальными
по
Парето
.
При
этом
первая
из
них
,
в
которой
получаются
наибольшие
выигрыши
(–1,–1)
для
каждого
из
игроков
лучше
,
чем
равновесная
.
Противоречие
между
осуществимостью
ситуации
,
выражаемой
в
виде
равновесности
и
ее
выгодности
,
которой
соответствует
оптимальность
по
Парето
,
имеет
по
существу
ту
же
природу
,
что
и
противоречие
между
максиминным
и
минамаксным
выигрышами
.
Поэтому
оно
должно
разрешаться
при
помощи
аналогичных
приемов
,
состоящих
в
расширении
уже
имеющихся
стратегий
,
т
.
е
.
переходу
к
метарасширениям
.
Первая
метастратегия
игрока
2
состоит
в
выборе
им
своей
второй
стратегии
в
ответ
на
вторую
стратегию
игрока
1
и
первой
стратегии
в
ответ
на
первую
.
Вторая
метастратегия
игрока
1
состоит
в
выборе
им
второй
своей
стратегии
,
если
игрок
2
выберет
ту
же
стратегию
,
что
и
1
и
в
выборе
им
своей
первой
стратегии
во
всех
остальных
случаях
.
Содержательно
это
можно
представить
себе
так
,
что
игрок
2
исходит
из
тезиса
“
око
за
око
”,
а
игрок
1 –
из
более
изощренных
соображений
,
которые
можно
расценить
как
эгоцентризм
(“
поддерживать
тех
,
кто
действует
так
же
,
как
я
)
и
ксенофобию
(“
выступаю
против
всех
тех
,
кто
действует
иначе
,
чем
я
”).
–10
–10
Н
2
Н
1
-1
-1
85
ТЕСТЫ
(
В
–
Верно
,
Н
–
Неверно
)
1.
В
бескоалиционных
играх
могут
рассматривать
конфликты
двух
и
более
игроков
.
2.
В
бескоалиционных
играх
могут
рассматриваться
конфликты
только
с
нулевой
суммой
.
3.
Конечная
бескоалиционная
игра
двух
игроков
с
ненулевой
суммой
называется
биматричной
игрой
.
4.
В
бескоалиционных
играх
принцип
максимина
не
всегда
является
принципом
,
по
которому
находится
решение
игры
.
5.
Ситуация
в
бескоалиционной
игре
,
приемлемая
для
всех
игроков
,
называется
ситуацией
равновесия
(
оптимальной
по
Нэшу
).
6.
В
бескоалиционных
играх
как
оптимальные
следует
квалифицировать
не
действия
того
или
иного
игрока
,
а
совокупность
действий
всех
игроков
.
7.
В
бескоалиционной
игре
решение
игры
–
это
,
чаще
,
нахождение
ситуаций
равновесия
.
8.
Игроку
в
бескоалиционной
игре
может
быть
выгодным
информировать
противника
о
своей
стратегии
.
9.
В
оптимальной
по
Парето
ситуации
игроки
могут
совместными
усилиями
увеличить
выигрыш
какого
-
либо
из
игроков
,
сохранив
выигрыши
всех
остальных
игроков
.
10.
Ситуации
равновесия
не
отличаются
от
ситуаций
оптимальных
по
Парето
.
11.
Ситуации
оптимальные
по
Парето
находить
труднее
,
чем
ситуации
равновесия
в
той
же
бескоалиционной
игре
.
12.
В
бескоалиционной
игре
кооперация
игроков
может
быть
им
выгодна
.
13.
В
теореме
Нэша
утверждается
,
что
в
каждой
бескоалиционной
игре
существует
хотя
бы
одна
ситуация
равновесия
.
14.
Любая
конечная
бескоалиционная
игра
имеет
конечное
и
четное
число
ситуаций
равновесия
.
15.
Метастратегия
понимается
как
способ
выбора
игроком
j
своей
стратегии
в
зависимости
от
получаемой
им
информации
о
стратегии
,
выбираемой
игроком
k
.
16.
Каждая
конечная
бескоалиционная
игра
двух
лиц
имеет
в
своей
первом
метарасширении
ситуации
равновесия
.
17.
Каждая
конечная
бескоалиционная
игра
двух
лиц
имеет
в
своей
третьем
метарасширении
ситуацию
,
которая
является
одновременно
ситуацией
равновесия
и
оптимальной
по
Парето
.
(
Ответы
:
1 -
В
; 2 -
Н
; 3 -
В
; 4 -
В
; 5 -
В
; 6 -
В
; 7 -
В
; 8 -
В
; 9 -
Н
; 10 -
Н
; 11
-
Н
; 12 -
В
, 13 -
В
, 14 -
Н
, 15 -
В
, 16 -
В
, 17 -
В
).