Лабораторная работа №3. Распределение Пуассона (с параметром λ).

Предельные теоремы в схеме испытаний Бернулли.

Лабораторная работа выполняется в Excel 2007.

Цель работы. Дать навыки построения закона распределения Пуассона и вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли с использованием предельных теорем.

Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает целочисленные значения m = 0, 1, 2, … с вероятностями

,

где λ > 0 – параметр распределения Пуассона. .

Распределение Пуассона – это предельный случай биномиального распределения, когда n → ∞, p → 0 и np = λ = const.

По закону Пуассона распределены числа редких явлений (число сбоев в работе ЭВМ, число вызовов на АТС в единицу времени, число заявок на обслуживание, число несчастных случаев на производстве, число рождений четверней, число дорожно-траспортных происшествий и т. д.)

Задание 1. Пусть целочисленная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 2,4.

Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величина.

Найти вероятности: ; ; ; ; .

Решение.

1. Построение ряда распределения и функции распределения случайной величины X.

Введите метки ячеек:

A1 – (параметр распределения Пуассона);

B1 – m (случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2, … );

C1 – P(X = m) ряд распределения, .

D1 – ПУАССОН(x; λ; 0) ряд распределения, вычисленный с помощью функции Excel ПУАССОН;

E1 – ПУАССОН(x; λ; 1) функция распределения , вычисляемая с помощью функции Excel ПУАССОН;

В ячейку A2 введите число 2,4 (λ = 2,4).

В диапазон ячеек B2:B12 введите последовательность чисел 0, 1, …, 10.

Число возможных значений Пуассоновской случайной величины m теоретически бесконечно. Но можно ограничиться вычислением лишь начального отрезка ряда распределения случайной величины X от до . Это ограничение выбрано произвольно, единственным доводом в его пользу является то, что вероятности появления случайных величин X > 10 для λ = 2,4, оказываются существенно малыми. Действительно, как далее выяснится, .

В ячейку C2 введите формулу, описывающую закона распределения вероятностей Пуассона .

Рис. 1. Строка формул с введенной формулой

Размножьте полученное значение вероятности в ячейки столбца C2:C12, помеченного именем P(X = m). Результаты вычислений показаны на рис. 6.

В ячейку D2 введите функцию ПУАССОН из категории Статистические библиотеки функций Excel.

Заполните поля ввода диалогового окна Аргументы функции ПУАССОН как показано на рис. 2.

Рис. 2. Диалоговое окно Аргументы функции ПУАССОН с заполненными полями ввода

В поле x - введите первое число из последовательности чисел m = 0, 1, 2, … , находящееся в ячейке с адресом B2.

---

В поле Среднее введите значение параметра λ (λ – среднее значение случайной величины), находящееся в ячейке с абсолютным адресом $A$2.

В поле Интегральная - введите 0. В этом поле должна находиться логическая переменная 0 или 1. Для вычисления ряда распределения (функции вероятности) следует установить 0, для вычисления функции распределения вводится 1.

В строке формул должна быть введена формула

Рис. 3. Строка формул с введенной формулой ПУАССОН(x; среднее; интегральная = 0)

Размножьте полученное значение вероятности в ячейки D2:D12 столбца, помеченного именем ПУАССОН (рис. 6).

В ячейку E2 введите функцию распределения Пуассона – ПУАССОН(x; λ; 1) библиотеки функций Excel.

Заполните поля ввода диалогового окна Аргументы функции ПУАССОН как показано на рис. 4.

Рис. 4. Диалоговое окно Аргументы функции ПУАССОН с заполненными полями ввода для вычисления функции распределения

В поле x – введите первое число из последовательности чисел m = 0, 1, 2, … , находящееся в ячейке с адресом B2.

В поле Среднее – введите среднее значении пуассоновской случайной величины λ, находящееся в ячейке с абсолютным адресом $A$2.

В поле Интегральная – введите 1.

Рис. 5. Строка формул с введенной формулой ПУАССОН(x; среднее; интегральная = 0)

Размножьте полученное значение функции распределения в ячейки столбца E2:E12, помеченного именем F(x) = P(X ≤ x).

(Сайт МБИ - http://eos.ibi.spb.ru, Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине “Теория вероятности и математическая статистика”, контент, тема 4, с. 2, определение 4.1.2.) функцией распределения случайной величины X называется функция действительной переменной x, значение которой при каждом x равно вероятности выполнения неравенства , то есть .

В Excel, как и во всей англоязычной литературе, функцией распределения случайной величины X называется функция действительной переменной x, значение которой при каждом x равно вероятности выполнения неравенства , то есть .

Рис. 6. Результаты вычисления ряда распределения (функция вероятностей) в столбцах P(X = m) и ПУАССОН и функции распределения в столбце

Используя полученные результаты, постройте многоугольник распределения для закона Пуассона

Рис. 7. Многоугольник закона распределения Пуассона с параметром λ = 2,4

С учетом определения, которое дается в нашей учебной литературе, можно составить функцию распределения и построить ее график:

К сожалению Excel не располагает процедурой построения функции распределения, поэтому в отчете ее придется строить вручную и представить в отчете.

2. Вычисление математического ожидание, дисперсии, среднего квадратического отклонения не должно вызывать трудностей.

---

Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение вычисляются по формулам , , .

Выполните вычисления в ячейках A29 – C29 как показано на рис. 11.

3. Вычисление вероятностей ; ; ; ; .

Пометьте ячейки A31 – E31 как показано на рис. 8.

Рис. 8. Обозначение ячеек для вычисления вероятностей ; ; ; ;

Ряд распределения (рис. 6) позволяет сразу найти вероятность

Для вычисления вероятности надо воспользоваться вероятностью противоположного события .

Для вычисления вероятности воспользуйтесь вероятностью противоположного события .

Для вычисления вероятности в строку формул ввести формулу

Рис. 9. Формула для вычисления вероятности

Вычисление вероятности выполняется суммированием, с использованием формулы СУММ.

Рис. 10. Формула для вычисления вероятности

Рис. 11. Результаты вычисления математического ожидание, дисперсии, среднего квадратического отклонения и вероятностей ; ; ; ;

Результаты вычислений в Excel показаны в приложении.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

При большом числе испытаний в схеме испытаний Бернулли вычисления вероятностей по формуле Бернулли становится затруднительными.

Попробуйте , например, вычислить

Если n – число испытаний велико, применяются приближенные формулы.

,

где n – число испытаний;

p – вероятность успеха;

q – вероятность неудачи, q = 1 – p .

Значение функции определяются по таблице, приложение №1, контент, тема 12 (Статистические таблицы).

Функция четная, .

- функция плотности стандартного нормального распределения с математическим ожиданием m = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 1.

В Excel эту функцию можно найти в библиотеке функций:

НОРМРАСП(x;среднее; стандартное_откл; интегральная).

= НОРМРАСП(x;0;1;0)

Искомую вероятность можно вычислить, воспользовавшись функцией НОРМРАСП.

, где

Таким образом, Excel позволяет вычислить эту вероятность, не прибегая к таблицам.

Кроме того искомую вероятность в схеме испытаний Бернулли можно получить при сколь угодно большом числе испытаний n непосредственно по формуле Бернулли.

Задание 2. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится m = 35 раз.

Решение.

a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции плотности стандартного нормального распределения (Приложение 1, контент, тема 12).

1. ;

2. ,

---

- по таблице;

3.

Здесь значение функции

выбрано из

таблицы приложения 1, контент, тема 12.

Результаты вычислений приведены на рис. 13.

Рис. 13. Исходные данные n = 100, m = 35, p = 0,37, результаты вычисления x и результаты вычисления вероятности

b. Значение функции может быть найдено в Excel с помощью функции НОРМРАСП(x;0;1;0).

Рис. 14. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода данных.

Рис. 15. В ячейке F39 результаты вычисления функции НОРМРАСП(x:0:1;0), значение x = – 0,41425 вводится в формулу с помощью ссылки на ячейку E37.

В ячейку G39 вводится формула как показано далее на рис. 16.

Рис. 16. Строка формул с введенной формулой . Результат вычисления находится в ячейке G39.

c. Использование функции Excel БИНОМРАСП при большом числе испытаний n позволяет обойтись без приближенных формул Муавра-Лапласа и таблиц.

Скопируйте исходные данные задания 2 в ячейки A43 – D43.

В ячейку с именем БИНОМРАСП поместите формулу БИНОМРАСП(x;n;p;0), где

x – число успехов (m);

n – число испытаний;

p – вероятность успеха;

0 или 1 – логическая переменная (0 позволяет вывести вероятность ровно x = m успехов)

Формула БИНОМРАСП выбирается в категории Статистические.

Рис. 17. Диалоговое окно функции БИНОМРАСП с заполненными полями ввода

Рис. 18. Вычисление вероятности события в схеме испытаний Бернулли с использованием формулы БИНОМРАСП

2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли заключено между m₁ и m₂ (при )

,

где , .

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Для его вычисления используются таблицы функций Лапласа

.

Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

Приближенными формулами Лапласа пользуются в случае, если . Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Задание 3. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится от m₁ = 30 до m₂ = 45 раз.

Решение.

a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции Лапласа.

1.

2.

Значения функций Лапласа выбираются из таблицы ЭУМК, контент, тема 12, приложение 2.

Введите исходные данные задания n = 100 , p = 0,37, q, m₁ = 30, m₂ = 45 и выполните вычисления , как показано на рис. 19.

Рис. 19. Исходные данные с вычисленными значениями x₂ и x₁

---

По вычисленным значениям x₂ и x₁ найдите в таблице – контент, тема 12, приложение 2 значения функций Лапласа и . Внесите их в ячейки F55 и G55 как показано на рис. 20. В ячейке F57 вычислите вероятность

Рис. 20. В ячейке F57 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием таблиц функции Лапласа

b. Вычисление вероятности в Excel выполняется с использованием функции НОРМРАСП, что позволяет обойтись без таблиц функции Лапласа.

Функции Лапласа связана с функцией НОРМРАСП следующим соотношением

Поместите в ячейку F59 формулу , где , вычисленная ранее и находящаяся в ячейке F53, как показано на рис. 21.

В ячейку G59 поместите формулу , в ячейке G53 находится

В ячейку F60 поместите конечную формулу вычисления вероятности

Рис. 21. В ячейке F60 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием функцией НОРМРАСП

с. Этот же результат можно получить, используя функцию БИНОМРАСП, как показано на рис. 22.

Рис. 22. В ячейке F62 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функции

БИНОМРАСП(x₂; n; p;1) – БИНОМРАСП(x₁; n; p;1)

Сравните все полученные результаты и сделайте выводы.

3. Предельная теорема Пуассона

Предельная теорема Пуассона позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет равно m , при

, где .

Задание 4. Найти вероятность того, что в 500 испытаниях успех появится 5 раз, если вероятность успеха в одном испытании p равна 0,025.

Решение.

a. Сначала выполните задание непосредственным вычислением .

1.

2.

Excel позволяет вычислить искомую вероятность применением или формулы ПУАССОН или формулы БИНОМРАСП.

Заполните ячейки исходными данными, как показано на рис. 23.

Рис. 23. Исходные данные: n – число испытаний, p – вероятность успеха, m – число успехов, λ – параметр распределения Пуассона

Рис. 24. В ячейке E66 выполнены вычисления непосредственно по формуле

b. Для вычисления искомой вероятности по формуле ПУАССОН(x; среднее; интегральная) в категории Статистические библиотеки функций выберите функцию ПУАССОН

Рис. 25. Диалоговое окно функции ПУАССОН с заполненными полями ввода (в поле Интегральная введен 0, чтобы получить значение функции вероятности)

Рис. 26. В ячейке E68 резльтаты вычисления искомой вероятности по формуле ПУАССОН

c. Для вычисления требуемой вероятности по формуле

БИНОМРАСП(число_успехов; число_ испытаний; вероятность_успеха; интегральная) в категории Статистические библиотеки функций выберите функцию БИНОМРАСП

---

Смотрите также файлы

• ЛР №2 - Биномиальное распределение.docx

• ЛР №1 - Дискретные случайные величины.docx

• Диплом исправленный.docx

• Отчет по преддипломной практике.docx

• макро.билеты.docx