Вариант 6

1. 
   Понятие функции, основные свойства функции, классификация функций.
   

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией, а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y=f(x).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие им значения функции y=f(x).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x; y) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле f(x) принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

   

1 Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений x из области ее определения выполняется f(–x)=f(x), и нечетной, если f(–x)=–f(x). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y=f(x) называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x₁,x₂

---

 ∈X,  x₂>x₁. Тогда функция возрастает на промежутке X, если f(x₂)>f(x₁), и убывает, если f(x₂)<f(x₁).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей), если при x₁,x₂∈X, x₂>x₁ выполняется неравенство f(x₂)≥f(x₁) (f(x₂)≤f(x₁)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность. Функция  y=f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что |f(x)|≤M для любого x∈X. В противном случае функция называется неограниченной на X.

4 Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом T≠0, если для любых x из области определения функции f(x+T)=f(x). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной, если она задана формулой вида y=f(x). Если функция задана уравнением F(x, y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y, то ее называют неявной.

Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной x, определенная на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y∈Y единственное значение x∈X, при котором f(x)=y. Тогда полученная функция x=φ(y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной и обозначается y=f^–1(x). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей y=x.

Пусть функция y=f(u) есть функция переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=φ(x), определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

• 
  степенную функцию y=xⁿ; y=x^–n и y=x^1/n;
  
• 
  показательную функцию y=a^x;
  
• 
  логарифмическую функцию y=log_ax;
  
• 
  тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x и y=ctg x;
  
• 
  обратные тригонометрические функции y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x и y=arcctg x.
  

---

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

2. 
   Определить, при каких значениях m и n две прямые: , : 1) параллельны, 2) совпадают, 3) перпендикулярны.
   

Решение.

1. 
   Прямые, заданные общими уравнениями: и параллельны тогда и только тогда, когда .
   

Получаем, что наши прямые и параллельны при условии , т.е. , .

, , например, и ;

, , например, и .

2. 
   Прямые, заданные общими уравнениями: и совпадают тогда и только тогда, когда .
   

Получаем, что наши прямые и совпадают при условии

---

, т.е. , .

, , т.е. и ;

, , т.е. и .

3. 
   Прямые, заданные общими уравнениями: и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
   

Получаем, что наши прямые и взаимно перпендикулярны при условии , т.е. .

Например: и .

3. 
   Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу. Найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот, изобразить гиперболу на координатной плоскости.
   

1. 
   ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   .
   

Решение.

1. 
   
   

̶ каноническое уравнение гиперболы.

Ее центр: О(2;-3).

Полуоси: ;

---

Эксцентриситет: . . .



Уравнения директрис: d₁: ;

d₂: ;

Уравнения асимптот:

a₁: ;

a₂: ;

Изобразим гиперболу на координатной плоскости:

2. 
   
   

̶ каноническое уравнение гиперболы.

Ее центр: О(-5; 1).

Полуоси: ;

Эксцентриситет: . . .



Уравнения директрис: d₁: ;

d₂: ;

Уравнения асимптот:

a₁: ;

a₂:

---

Смотрите также файлы

• 1. Перечислите адаптированные основные образовательные программы обучающихся с овз, размещённые в реестре примерных основных общеобразовательных программ.docx

• Введение в основные понятия что такое проект.docx

• 7 Практические задания по дисциплине для самостоятельной подготовки к зачетуэкзамену Примерные практические задания к зачету с оценкой Задание 1.docx

• Становление педагогической социальной психологии.doc

• Управление социальным развитием персонала.doc