Файл: Основы гидроупругости и аналитической гидромеханики.docx
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 110
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ОТЧЕТПо расчетно-графической работе ид практикина тему:«Основы гидроупругости и аналитической гидромеханики»Нижний Новгород2022 г.Содержание
Оператор жесткости:Так как оператор А выражен константами, то условие самосопряженности выполняется автоматически:Проверим на самосопряженность оператор В с помощью условия:Интегрирование по частям слагаемых:В случае, когда оба конца трубопровода жестко закреплены оба слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и первых производных от функций сравнения. Отсюда следует, что В – не самосопряженное.Проверим на самосопряженность оператор C с помощью условия:Интегрирование по частям слагаемых:Тогда получаем:В случае закрепления, когда оба конца трубопровода жестко закреплены, первое и третье слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и третьих производных от функций сравнения. Второе и четвертое слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль первых и вторых производных от функций сравнения. Пятое и шестое слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и первых производных от функции сравнения. Отсюда следует, что С – самосопряженное.Проведем проверку положительности операторов.В случае оператора А для функции сравнения u имеем:то есть оператор А положительный.В случае оператора В имеем:тогда видно, что из-за последнего слагаемого в общем случае оператор В не является положительным.В случае оператора С имеем:
тогда видно, что из-за последних двух слагаемых в общем случае оператор С не является положительным.
Задача на проблему собственных значений:
(2)Задача для определения зависимости от времени поведения собственных мод деформаций:Ищем решение задачи (1)-(2) в виде:
После подстановки (3) в уравнение (1) для нахождения собственных значений получим:Используя формулы Эйлера, общее решение (3) преобразуется:Для нахождения коэффициентов (i=1,2,3,4) выражения (4) используем краевые условия (2):Получим систему:Получили систему линейных алгебраических однородных уравнений, для нетривиального решения которой необходимо обращение в 0 ее определителя.Вычислим его:В итоге получаем: Численно решая (6) получаем:Найдем коэффициенты для 1 случая:Тогда
Для приведения форм к нормированному виду найдем нормирующий множитель из условия нормированности форм:Получаем:Тогда нормированные формы примут вид:Найдем функции сравнения в полиномиальном виде. Будем искать набор из трех полиномов, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих свойством ортонормированности. Полиномы должны иметь степень не ниже четвертой.Для нахождения коэффициентов полиномов будем решать систему, полученную из граничных условий и условий ортонормированности:В итоге получаем следующие уравнения для первых трех форм в полиномиальном виде: Ниже представлены графики для наглядного сравнения полученных полиномов с соответствующими тремя нормированными функциями Крылова. (Красный – полиномы, синий – функции Крылова)Для того, чтобы оценить отличие форм
-
Постановка задачи……………………………………………………………… 3 -
Решение…………………………………………………………………………. 4
-
Проверка на самосопряженность
Оператор жесткости:Так как оператор А выражен константами, то условие самосопряженности выполняется автоматически:Проверим на самосопряженность оператор В с помощью условия:Интегрирование по частям слагаемых:В случае, когда оба конца трубопровода жестко закреплены оба слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и первых производных от функций сравнения. Отсюда следует, что В – не самосопряженное.Проверим на самосопряженность оператор C с помощью условия:Интегрирование по частям слагаемых:Тогда получаем:В случае закрепления, когда оба конца трубопровода жестко закреплены, первое и третье слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и третьих производных от функций сравнения. Второе и четвертое слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль первых и вторых производных от функций сравнения. Пятое и шестое слагаемые обращаются в нуль за счет обращения в нуль Y и первых производных от функции сравнения. Отсюда следует, что С – самосопряженное.Проведем проверку положительности операторов.В случае оператора А для функции сравнения u имеем:то есть оператор А положительный.В случае оператора В имеем:тогда видно, что из-за последнего слагаемого в общем случае оператор В не является положительным.В случае оператора С имеем:
тогда видно, что из-за последних двух слагаемых в общем случае оператор С не является положительным.
-
Проблема собственных значений
Задача на проблему собственных значений:
(2)Задача для определения зависимости от времени поведения собственных мод деформаций:Ищем решение задачи (1)-(2) в виде:
После подстановки (3) в уравнение (1) для нахождения собственных значений получим:Используя формулы Эйлера, общее решение (3) преобразуется:Для нахождения коэффициентов (i=1,2,3,4) выражения (4) используем краевые условия (2):Получим систему:Получили систему линейных алгебраических однородных уравнений, для нетривиального решения которой необходимо обращение в 0 ее определителя.Вычислим его:В итоге получаем: Численно решая (6) получаем:Найдем коэффициенты для 1 случая:Тогда
Для приведения форм к нормированному виду найдем нормирующий множитель из условия нормированности форм:Получаем:Тогда нормированные формы примут вид:Найдем функции сравнения в полиномиальном виде. Будем искать набор из трех полиномов, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих свойством ортонормированности. Полиномы должны иметь степень не ниже четвертой.Для нахождения коэффициентов полиномов будем решать систему, полученную из граничных условий и условий ортонормированности:В итоге получаем следующие уравнения для первых трех форм в полиномиальном виде: Ниже представлены графики для наглядного сравнения полученных полиномов с соответствующими тремя нормированными функциями Крылова. (Красный – полиномы, синий – функции Крылова)Для того, чтобы оценить отличие форм