Контрольная работа № 4.Образец выполнения контрольной работы № 1.Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:1.1. Решение: Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности , предел которой не определён, и сходящейся последовательности , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней. Тогда: .1.2. .Решение: .1.3. .Решение: Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность в виде произведения двух последовательностей: , где . Очевидно, . Последовательность в силу свойств косинуса является ограниченной: . Таким образом, члены последовательности при будут принимать как неограниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.

---

Задание 2. Найти пределы функций:2.1. .Решение: В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем следующее известное свойство. Пусть дана дробно-рациональная функция , где некоторые многочлены. Тогда:

1. 
   Если степень многочлена больше степени многочлена , то .
   
2. 
   Если степень многочлена меньше степени многочлена , то .
   
3. 
   Если степень многочлена равна степени многочлена , то , где числовые коэффициенты при наивысших степенях в данных многочленах.
   

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому .2.2. . Решение: В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому .2.3.

---

.

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .

2.4. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:

.

2.5. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

.

2.6. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела .

.

Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.
2.7. .

Решение:

Имеем неопределённость вида

---

. Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела . Введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

.

2.8. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение второго замечательного предела .

. Далее, воспользовавшись равенствами и , получим: .
2.9. .

Решение:

Обратим внимание, что в данном случае , поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.

.
2.10. .

Решение:

Прежде всего, заметим, что если стремится к единице слева, то будет принимать близкие к нулю отрицательные значения, и выражение

---

, очевидно, стремится к . Тогда: .
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

.

Решение:

Найдём область определения данной функции. . Итак, имеем две точки разрыва: и . Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.

Точка является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: .

Точка является точкой устранимого разрыва, так как:

.

Окончательный ответ: функция непрерывна при ; точка является точкой бесконечного разрыва; точка является точкой устранимого разрыва и .

---

Смотрите также файлы

• Дипломный проект государственная поддержка малого предпринимательства и меры по совершенствованию управленческой компетенции руководителей Оглавление.doc

• Мектепте 9 сынып геометриясын зерттеп оыту технологиясы дістемелік рал.docx

• С ocacola classic (классическая кола).docx

• Курс на ускорение развития общества середины 1980х годов.docx

• Ваучерная приватизация особая форма безвозмездной приватизации государственной собственности по принципу "дележки" государственной собственности, предназначенной для приватизации, между всеми трудящимися.docx