Файл: Решение уравнения будем искать в виде y erx. Для этого составляем характеристическое уравнение.docx

Скачать файл (0,17Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2023

Просмотров: 16

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оглавление

Задание1 2

Задание2 3

Задание3 5

Задание4 5

Задание5 6

Задание6 6

Задание7 7

Задание1

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

y'' - 3y = 0

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r - 3 = 0

D=02 - 4·1·(-3)=12

Корни характеристического уравнения:

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Ci ∈ R
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:

c1+c2 = 0

Находим первую производную:

y' = c1·ex-c2·e-x

Поскольку y'(0) = c1-c2, то получаем второе уравнение:

c1-c2 = 0

В итоге получаем систему из двух уравнений:

c1+c2 = 0
c1-c2 = 0

которую решаем методом исключения переменных.

c1 = 0, c2 = 0

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Задание2

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

1. y'' - 4y' + 4y =

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -4 r + 4 = 0

D=(-4)2 - 4·1·4=0

Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Ci ∈ R
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 1
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:

c1 = 0

Находим первую производную:

y' = 2·c1·e2·x+2·c2·x·e2·x+c2·e2·x

Поскольку y'(0) = 2*c1+c2, то получаем второе уравнение:

2·c1+c2 = 1

В итоге получаем систему из двух уравнений:

c1 = 0
2·c1+c2 = 1

т.е.:

c1 = 0, c2 = 1

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

2. y'' + 6y = x3+8·x2+3·x

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r + 6 = 0

D=02 - 4·1·6=-24

Корни характеристического уравнения

:
(комплексные корни):

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Ci ∈ R
Рассмотрим правую часть:
f(x) = x3+8*x2+3*x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x3+8•x2+3•x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ax3 + Bx2 + Cx + D

Вычисляем производные:

y' = 3·A·x2+2·B·x+C
y'' = 2(3·A·x+B)

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 6y = (2(3·A·x+B)) + 6(Ax3 + Bx2 + Cx + D) = x3+8·x2+3·x

или

6·A·x3+6·A·x+6·B·x2+2·B+6·C·x+6·D = x3+8·x2+3·x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x3: 6A = 1
x: 6A + 6C = 3
x2: 6B = 8
1: 2B + 6D = 0
Решая ее, находим:
A = 1/6;B = 4/3;C = 1/3;D = -4/9;
Частное решение имеет вид:

y·=1/6x3 + 4/3x2 + 1/3x -4/9

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: