Файл: Решение уравнения будем искать в виде y erx. Для этого составляем характеристическое уравнение.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 85
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Оглавление
Задание1 2
Задание2 3
Задание3 5
Задание4 5
Задание5 6
Задание6 6
Задание7 7
Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:c1+c2 = 0Находим первую производную:y' = c1·ex-c2·e-xПоскольку y'(0) = c1-c2, то получаем второе уравнение:c1-c2 = 0В итоге получаем систему из двух уравнений:c1+c2 = 0c1-c2 = 0которую решаем методом исключения переменных.c1 = 0, c2 = 0Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:Ci ∈ RТаким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 1Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:c1 = 0Находим первую производную:y' = 2·c1·e2·x+2·c2·x·e2·x+c2·e2·xПоскольку y'(0) = 2*c1+c2, то получаем второе уравнение:2·c1+c2 = 1В итоге получаем систему из двух уравнений:c1 = 02·c1+c2 = 1т.е.:c1 = 0, c2 = 1Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:2. y'' + 6y = x3+8·x2+3·xДанное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:r2 +0 r + 6 = 0D=02 - 4·1·6=-24 Корни характеристического уравнения
:(комплексные корни): Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: Общее решение однородного уравнения имеет вид:Ci ∈ RРассмотрим правую часть:f(x) = x3+8*x2+3*xПоиск частного решения.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномыимеет частное решениеy(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).Здесь P(x) = x3+8•x2+3•x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.Уравнение имеет частное решение вида:y· = Ax3 + Bx2 + Cx + DВычисляем производные:y' = 3·A·x2+2·B·x+Cy'' = 2(3·A·x+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:y'' + 6y = (2(3·A·x+B)) + 6(Ax3 + Bx2 + Cx + D) = x3+8·x2+3·xили6·A·x3+6·A·x+6·B·x2+2·B+6·C·x+6·D = x3+8·x2+3·xПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:x3: 6A = 1x: 6A + 6C = 3x2: 6B = 81: 2B + 6D = 0Решая ее, находим:A = 1/6;B = 4/3;C = 1/3;D = -4/9;Частное решение имеет вид:y·=1/6x3 + 4/3x2 + 1/3x -4/9Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Поскольку un≤vn, то если ряд vn будет сходиться, то будет сходиться и исходный un.Применим радикальный признак Коши:Поскольку:Получаем:Поскольку полученное значение меньше 1, то ряд сходится.
Задание1 2
Задание2 3
Задание3 5
Задание4 5
Задание5 6
Задание6 6
Задание7 7
-
Задание1
Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:c1+c2 = 0Находим первую производную:y' = c1·ex-c2·e-xПоскольку y'(0) = c1-c2, то получаем второе уравнение:c1-c2 = 0В итоге получаем систему из двух уравнений:c1+c2 = 0c1-c2 = 0которую решаем методом исключения переменных.c1 = 0, c2 = 0Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
-
Задание2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:Ci ∈ RТаким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 1Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:c1 = 0Находим первую производную:y' = 2·c1·e2·x+2·c2·x·e2·x+c2·e2·xПоскольку y'(0) = 2*c1+c2, то получаем второе уравнение:2·c1+c2 = 1В итоге получаем систему из двух уравнений:c1 = 02·c1+c2 = 1т.е.:c1 = 0, c2 = 1Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:2. y'' + 6y = x3+8·x2+3·xДанное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:r2 +0 r + 6 = 0D=02 - 4·1·6=-24 Корни характеристического уравнения
:(комплексные корни): Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: Общее решение однородного уравнения имеет вид:Ci ∈ RРассмотрим правую часть:f(x) = x3+8*x2+3*xПоиск частного решения.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномыимеет частное решениеy(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).Здесь P(x) = x3+8•x2+3•x, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.Уравнение имеет частное решение вида:y· = Ax3 + Bx2 + Cx + DВычисляем производные:y' = 3·A·x2+2·B·x+Cy'' = 2(3·A·x+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:y'' + 6y = (2(3·A·x+B)) + 6(Ax3 + Bx2 + Cx + D) = x3+8·x2+3·xили6·A·x3+6·A·x+6·B·x2+2·B+6·C·x+6·D = x3+8·x2+3·xПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:x3: 6A = 1x: 6A + 6C = 3x2: 6B = 81: 2B + 6D = 0Решая ее, находим:A = 1/6;B = 4/3;C = 1/3;D = -4/9;Частное решение имеет вид:y·=1/6x3 + 4/3x2 + 1/3x -4/9Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
-
Задание3
Поскольку un≤vn, то если ряд vn будет сходиться, то будет сходиться и исходный un.Применим радикальный признак Коши:Поскольку:Получаем:Поскольку полученное значение меньше 1, то ряд сходится.