ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 79
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«Тольяттинский государственный университет»Институт инженерной и экологической безопасности
Практическое задание № 1по учебному курсу « Высшая математика 1 »(наименование учебного курса)Вариант 5(при наличии)
Тольятти 2023Линейная алгебра. Задача 1.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:(2 - λ)x1 + 1x2 + 0x3 = 01x1 + (2 - λ)x2 + 0x3 = 0-1x1 + 1x2 + (3 - λ)x3 = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.(2 - λ) • ((2 - λ) • (3 - λ)-1 • 0)-1 • (1 • (3 - λ)-1 • 0)+(-1 • (1 • 0-(2 - λ) • 0)) = 0После преобразований, получаем:-λ3+7λ2-15λ+9 = 0λ1 = 1Подставляя λ1 = 1 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:2x2 = - 2x3- x1 + x2 = - 2x3Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:x2 = - x3x1 = x3Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 1, имеет вид:(x3,-x3,x3) = x3(1,-1,1)где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:x1 = (1,-1,1)λ2 = 3Подставляя λ2 = 3 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравненийВыпишем основную матрицу системы:
| (наименование института полностью) |
| Институт инженерной и экологической безопасности |
| (Наименование учебного структурного подразделения) |
| 20.03.01 Техносферная безопасность |
| (код и наименование направления подготовки / специальности) |
| Безопасность технологических процессов и производств |
| (направленность (профиль) / специализация) |
| Обучающегося | Н.П.Демура | |
| | (И.О. Фамилия) | |
| Группа | ТБбп-2002ас | |
| | | |
| Преподаватель | Е.А.Курьянова | |
| | (И.О. Фамилия) | |
Составляем систему для определения координат собственных векторов:(2 - λ)x1 + 1x2 + 0x3 = 01x1 + (2 - λ)x2 + 0x3 = 0-1x1 + 1x2 + (3 - λ)x3 = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
|
|
|
Выпишем основную матрицу системы:
|
|
|
|
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
|
|
или
|
|