1.1.20. Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.



Решение:

Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: .

Будем сравнивать ряд с рядом , применяя непредельный признак сравнения. Запишем общий член ряда :

Применим непредельный признак сравнения.

Непредельный признак сравнения для рядов и , причём при :

1) Если и сходится ряд , тогда ряд сходится.

2) Если и расходится ряд , тогда ряд расходится

Ряд расходится, т.к. - не выполняется необходимый признак сходимости

В данном случае:

=>

Ряд расходится. => Ряд расходится по непредельному признаку сравнения.

Данный ряд

---

расходится, общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд: .

Ответ: расходится, .

1.1.29. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.



Решение:

Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: .

Эквивалентность при :

Будем сравнивать ряд с рядом , применяя предельный признак сравнения. Запишем общий член ряда :

Предельный признак сравнения: если , причём при , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В данном случае , так как . => Ряд сходится, т.к. это обобщённый гармонический ряд вида при (при сходится, при расходится). => Ряд сходится по предельному признаку сравнения.

---

Данный ряд сходится, общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд: .

Ответ: сходится, .

1.1.32. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.



Решение:

Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: .

Эквивалентность при :

Будем сравнивать ряд с рядом , применяя предельный признак сравнения. Запишем общий член ряда :

Предельный признак сравнения: если , причём при , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В данном случае => Ряд сходится, т.к. это обобщённый гармонический ряд вида при (при сходится, при расходится). => Ряд сходится по предельному признаку сравнения.

Данный ряд

---

сходится, общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд: .

Ответ: сходится, .

1.1.38. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать .



Решение:

Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: , тогда

Используем признак Даламбера для ряда, у которого все члены положительные:

, где - общий член положительного ряда, - следующий общий член положительного ряда

Тогда следующий общий член данного ряда:



В данном случае , тогда согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

Ответ: сходится, .

1.1.48. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Указать .



Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: .

Используем радикальный признак Коши для положительного ряда:

, где - это общий член данного ряда.

.



В данном случае , тогда согласно радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

---

Ответ: сходится, .

1.1.53. Исследовать ряд на сходимость, применяя интегральный признак. Указать первообразную для функции и .



Решение:

Это положительный ряд, т.е. ряд, у которого все члены неотрицательны. Запишем общий член данного ряда: .

Применим интегральный признак Коши:

Если , - общий член данного ряда , где - это положительная функция и монотонно убывает и непрерывна при , тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

В данном случае =>

Рассмотрим соответствующую функцию .

Заметим, что функция монотонно убывает на интервале и функция непрерывна при и при всех , т.е. положительна при .

=> Применим интегральный признак Коши.

Тогда вычислим несобственный интеграл .



=> Несобственный интеграл сходится

=> Ряд

---

Смотрите также файлы

• Актуальность работы. Важной частью имущества предприятия являются его оборотные средства.rtf

• Античная наука и ее особенности.docx

• Эталоны ответовдля экзамена квалификационного по пм 01. Диагностическая деятельность билет 1 Текст задачи.docx

• Примерное двадцатидневное меню.docx

• Формирующие методы. Методика формирования умственных умений (теория и методика Гальперина П. Я., Талызиной Н. Ф.).docx