Файл: Исследовательская работа по математике виды куполов и некоторые их математические характеристики.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 528
Скачиваний: 22
Данная работа посвящена рассмотрению форм различных куполов, изучению их математических моделей и вычислению их объёмов и центров тяжести. Основное содержание работы состоит их двух параграфов. В первом приводятся необходимые математические сведения: определения, формулы.Второй параграф разбит на семь пунктов, каждый из которых посвящен исследованию отдельного вида свода. Приводятся примеры зданий, имеющих свод данного вида, из мировой архитектуры и архитектуры г. Новосибирска. Все примеры снабжены фотографиями, которые даны в приложениях. Далее создается математическая модель свода, вычисляется ее объем и координаты центра тяжести.§1. Необходимые математические понятия и формулы1.1. Понятие определённого интегралаПусть непрерывная функция определена на отрезке и неотрицательна. Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками: .В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , которую будем называть длиной частичного отрезка . Составим сумму: ,(1)которую назовём интегральной суммой для функции на , соответствующей данному разбиению на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек . Геометрический смысл суммы
очевиден: это сумма площадей прямоугольников 
.
Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка разбиения: 
.
Определение: Если существует конечный предел Jинтегральной суммы (1) при 
, не зависящей ни от способа разбиения отрезка 
, ни от выбора точек 
, то этот предел называется определённым интегралом от функции 
по отрезку и обозначается следующим образом:
,
или
.
1.2. Формулы для вычисления объёма, статического момента и координат центра тяжести тела
Пусть для тела Ω в пространстве 
площади его поперечных сечений плоскостями 
известны как значения непрерывной функции S(z), 
, и пусть по Ω распределена масса с плотностью 
. Статический момент тела относительно плоскости XY вычисляется по формуле:
.
Так как мы будем рассматривать однородные тела, плотность не будет влиять на координаты центра тяжести, примем её за единицу 
, следовательно,
.Объём тела вычисляется по формуле, .Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. При определении центров тяжести тел широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего ось симметрии, центр тяжести находится на оси симметрии. При рассмотрении куполов будем иметь дело с телами (поверхностями) имеющими две и более плоскости симметрии, а, значит ось симметрии. Ею будет, как правило, ось OZ. Значит и .А третья координата его центра тяжести находится по формуле: 1.3. Полярная система координатПолярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел .Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).Координата определяет расстояние от точки до полюса, координата — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных. Для полюса = 0, а угол
- произвольный.
§2. Математические характеристики куполов
Туристы-математики во время своих путешествий могут наблюдать различные поверхности, которые архитекторы на протяжении веков использовали как модели сводов для защиты открытых пространств возводимых ими зданий.
В основном нас будут интересовать своды, являющиеся главами храмов. Прежде всего, необходимо определиться с тем, что мы будем называть главами храмов. Энциклопедии, учебники и хрестоматии обычно так определяют декоративное покрытие, расположенное над куполом и устраиваемое на барабане.
В дальнейшем будем рассматривать понятия «купол» и «свод» как синонимы.
Наиболее распространёнными являются следующие виды сводов: римский (крестовый), шатровый, конусовидный, сферический, луковичный, шлемовидный и др. Также встречаются купола, представляющие из себя комбинации вышеперечисленных видов.
Каждый пункт данного параграфа будет посвящён исследованию свода определённого типа. Приведя примеры из мировой архитектуры, перейдём к описанию математической модели данного вида купола и к исследованию его математических характеристик: объёма и положения центра тяжести.
2.1. Римский свод
Известными храмами с римскими (крестовыми) сводами являются Лувр в Париже (см. Приложение 1), Национальный музей в Праге (см. Приложение 2), а также Кафедральный собор в Берлине (см. Приложение 3). В городе Новосибирске римские своды можно увидеть в завершении здания краеведческого музея (см. Приложение 4).
Римский или крестовый свод - это верхняя часть тела, образованного двумя пересекающимися под прямым углом цилиндрами радиуса r.
Итак, пусть ось одного из цилиндров OX, ось другого OY. Основание свода совпадает с плоскостью XOY. Рассмотрим четвёртую часть свода, расположенную в первом октанте. Будем проводить сечения, параллельные плоскости XOY, на высоте z. В сечениях будут получаться квадраты со стороной s, причём 
. Объём четверти свода и его статический момент относительно плоскости XOY вычисляется следующим образом:
.