Файл: Исследовательская работа по математике виды куполов и некоторые их математические характеристики.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 526
Скачиваний: 22
.
Следовательно, общий объём
купола равен: 
.
Тогда третья координата центра
тяжести вычисляется по формуле:
.
x=y=0, так как купол симметричен
относительно плоскостей ZOY и ZOX.
2.2. Пересечение Римских сводов
Примерами зданий с таким сводом являются базилика Святого Иштвана (см. Приложение 5) и здание парламента (см. Приложение 6) в Будапеште. В Новосибирске примером здания с таким сводом является храм Михаила Архангела (см. Приложение 7).
Возьмём римский свод А, рассмотренный в пункте 2.1., и повернём его на 45
относительно оси симметрии, чтобы создать такой же свод 
. Тело пересечения 
будет также верхней половиной тела, полученного пересечением четырёх одинаковых цилиндров, оси которых являются линиями в полярной системе координат, которые задаются уравнениями 
, 
, 
, 
. Сечения, параллельные плоскости XOY, будут восьмиугольники, а рёбра самого свода будут эллиптическими арками. С увеличением числа цилиндров вид купола будет всё больше приближаться к полусфере или половине эллипсоида.
Рассмотрим общий случай. Пусть 
, n – чётное, 
. Возьмём цилиндр радиуса r и рассмотрим тело, получающееся путём пересечения всех цилиндров, созданных поворотом данного цилиндра относительно фиксированного перпендикуляра к его оси, на углы
, . Тело делится плоскостью, проходящей через оси всех этих цилиндров на две равные части, каждая из которых является куполом, в котором сечения, параллельные плоскости основания, всегда будут являться правильными n-угольниками. Если n=4, мы получим римский свод. В любом случае кривые пересечения цилиндров есть эллиптические арки. Мы хотим вычислить объём этого купола и высоту его центра тяжести. Две другие координаты центра тяжести равны нулю, так как купол симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ. n-угольный срез (сечение купола) высоты z, состоит из n равнобедренных треугольников, высота а каждого треугольника удовлетворяет равенству , гдеr – радиус цилиндра. Отсюда .Если b длина равных сторон треугольника, тогда так как , то . Теперь легко найти площадь равнобедренного треугольника с равными боковыми сторонами b и углом между ними равна . Тогда площадь всего n–угольника в сечении на высоте z будет равна
Таким образом, объём тела и его статический момент относительно плоскости основания:
.
=
.
Высота 
центра тяжести: 
.
Заметим, что положение центра тяжести не зависит от n-числа пересекающихся цилиндров.
2.3. Сферический купол
Сферический купол имеют здания: Ильинско-Тихоновская церковь в Ярославле (см. Приложение 8) и Коломенский Кремль в Коломне (см. Приложение 9). Новосибирский Театр Оперы и Балета также завершается сферическим куполом (см. Приложение 10).
Рассмотрим полусферу радиуса r, окружность основания которой расположена на плоскость XOY с центром в начале координат. Ось OZ проходит через начало координат и перпендикулярна плоскости XOY. На высоте z проводим сечение перпендикулярно оси OZ. В сечении получим круг радиуса a.
Заметим, что выполняется равенство 
. Отсюда 
.
Тогда площадь сечения равна: 
.
Найдём объём тела и его статический момент. 
.
.
Высота центра тяжести равна: .Заметим, что высота для полусферы радиуса rполучилась та же, что и для пересечения римских сводов.Например, для здания театра оперы и балета r=30 м. Тогда координата центра тяжести равна:А объём купола равен:В случае если купол собой представляет не полусферу, а сферический сегмент высоты h, в формулах для объёма и статического момента изменятся пределы интеграла: . 2.4. Шатровый сводЯрким примером здания с шатровым сводом можно назвать Кельнский собор святых Марии и Петра в Кельне (см. Приложение 11) и церковь святого Георгия в Праге (см. Приложение 12). В Новосибирске один из сводов Вознесенского Кафедрального собора является шатровым (см. Приложение 13). Рассмотрим восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса r и с заданной точкой P на высоте h выше центра окружности. Проводим линии из точки P к вершинам восьмиугольника. Полученное таким образом тело и есть шатровый свод, заметим, что шатровым сводов является боковая поверхность правильной пирамиды. Итак, рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса r и поднимем точку Pна высоту h над центром окружности. Соединим точку P с вершинами n-угольника. Получившееся тело есть купол, сечениями перпендикулярными оси OZ которого являются правильные n-угольники. Если , вид купола всё более и более приближается к конусу. Вычислим объём и высоту центра тяжести шатрового свода. Срез на высоте z состоит из n равнобедренных треугольников. Если равные стороны их обозначить через s, то из подобия треугольников по двум углам, мы имеем .Отсюда получаем: .Следовательно, площадь треугольника равна:
=
.
А площадь всего сечения:
=
.
Теперь можно вычислить объём и статический момент тела.
.
.
Тогда высота центра тяжести 
.
Она не зависит от n и, как будет доказано в следующем пункте, будет такой же для конусовидного купола.
2.5. Конусовидный свод
Замок Крэгивар (см. Приложение 14) и Королевский замок Балморал (см. Приложение 15) в Шотландии яркие примеры зданий с конусовидными сводами. Так же здание Рыбацкого бастиона в Будапеште (см. Приложение 16) завершается конусовидным куполом.
Рассмотрим окружность радиуса r на плоскости XOY с центром в начале координат. На оси OZ зададим точку на высоте h, которую соединим со всеми точками окружности. Получим конический свод.
На высоте z проведём сечение перпендикулярно оси OZ, оно будет являться кругом радиуса s. Аналогично случаю шатрового купола получим выражение для s: 
.
Тогда площадь сечения: 
.
Следовательно:
Мы получили известную формулу V конуса 
.
