Задача № 137Заряд равномерно распределен по всему объему однородного сферического диэлектрика (ε=3) радиусом R=5,0 см.Построить графики функций и для случаев:

1. 
   : 2)
   

Вычислить разность потенциалов между точками и Дано: , ε=3, R=5см=0,05 м, , ,

1. 
   : 2)
   

Найти: 1) ; ; 2) Рисунок: Физический смысл имеет только разность потенциалов, и если в задаче требуется найти значение потенциала в некоторой точке, то предполагается, что его значение в другой точке известно. Такой общепринятой во многих случаях является точка, бесконечно удаленная от заряженного объекта (r), где потенциал полагается равным нулю. Значение же его в центре шара зависит от характера распределения заряда. Поскольку этот характер различен внутри и вне шара, необходимо решать последовательно внешнюю задачу (чтобы найти потенциал на поверхности шара), а затем – внутреннюю. Поле однородно заряженного шара центрально-симметрично

---

, т.е. вектор напряженности выражается через радиус - вектор , как: ( см. рис.).

В таком поле потенциал связан с напряженностью соотношением: . Получим выражение для напряженности.

Для этого воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса:

и запишем выражение для потока вектора через концентрическую с шаром сферическую поверхность S₁ некоторого радиуса r > R:

⁽¹⁾

Здесь учтено, что скалярное произведение вектора на единичный вектор нормали к сферической поверхности . Поверхность S₁ охватывает весь заряженный шар, тогда:

(2)

Итак, для r > R получаем: , (3)

Откуда: (4)

В результате интегрирования в пределах от точки с произвольным r до точки r, где  = 0, получаем:

(5)

или: (6)

В частности, при rR получаем: (7)

Теперь при решении внутренней задачи точка на поверхности шара (r = R) будет выступать как точка с известным значением потенциала, задаваемым формулой (7).

Опять рассмотрим сферическую поверхность S₂, построенную теперь уже внутри шара, т.е. r<R. Поток вектора напряженности через нее по-прежнему выражается формулой (1). Но охваченный ею заряд

---

q^/ меньше заряда шара q. При постоянной объемной плотности заряда :q^/ =(4/3)r³, q = (4/3)R³. (8)Исключая , получим: (9)Тогда согласно формуле получаем: (10)Итак, для r < R получаем: (11)Заметим, что при r =R формулы (3) и (11) дают одинаковое значение: (12)Тогда потенциал равен: (13)Интегрируя в пределах от произвольного r до R, получаем: (14)Подставляя (R) из (7), после преобразований получаем зависимость потенциала от координаты внутри шара: (15)В частности, при r = 0, т.е. в центре шара по формуле (15): где - электрическая постоянная.При по формуле (15):При по формуле (15):Для точек вне шара , которые находятся в вакууме, потенциал поля будет определяться как: (16)Найдем потенциал для точки :Найдем разность потенциалов

---

между точками и : Построим графики функций и для обоих случаев:Ответ:

---

Смотрите также файлы

• Разночинец, рантье, метис, горожанин, пенсионер, ребенок.docx

• 1. Основные направления методической работы начальной школы.docx

• Исследование уравнения состояния идеального газа.doc

• К расноярский государственный аграрный университет.docx

• Понятие банковского кредита, виды кредитов, принципы кредитования.docx