Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 87
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Курсовая работа
На тему: «Теория вероятностей»
Содержание
теория вероятность байес предельный
Введение
. Теоретическая часть
.1 Формула Байеса
.2 Закон распределения вероятностей дискретных случайных величин
.3 Функции и плотности распределения непрерывных случайных величин
.4 Числовые характеристики важнейших непрерывных распределений
.5 Центральная предельная теорема
. Практическая часть
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Заключение
Список литературы
Введение
Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. [10]
Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.
Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для математики-какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности-они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск».[5]
Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных-алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым-Блезу Паскалю (1623-1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости. [5]
Объект исследования - изучение алгоритмов решения задач.
Предмет исследования- применение изученных алгоритмов при решении задач.
Цель курсовой работы-решить индивидуальные задачи на основе изученного материала.
Задачи исследования:
. Изучить основные понятия и законы в теории вероятности.
. Научится применять основные формулы и законы теории вероятности при решении задач.
. На основе решенных задач сделать вывод о знании понятий, формул, законов и алгоритмов решения задач по теории вероятности.
1.Теоритическая часть
1.1 Формула Байеса
Пусть события
удовлетворяют условиям 
, если, и 
.Такую совокупность называют полной группой событий.
Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности
.Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение. p(H1) =0,7; p(H2) =0,3; p(A|H1
) =0,1; p(A|H2) =0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).
Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H1 - первый шар белый; р (H1) =n/N;
H2 - первый шар чёрный; p (H2) = (N-n)/N;
A - Второй шар чёрный; p (A|H1) = (n-1)/ (N-1); p (A|H2) =n/ (N-1)
Р(A)=p(H1) *p(A|H1) +p(H2) *p(A|H2) =
Формула Байеса. [8]
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности
Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).
Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H1, H2, H3 - гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1) =0,3; p(H2) =0,2; p(H3) =0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1) =0,02; p(А/H2) =0,03; и p(А/H3) =0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:
. [8]1.2 Закон распределения вероятностей дискретных случайных величин
Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём
.Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике - 0,6.
Решение. Обозначим А1 и А2 - события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём
Полученные результаты сведём в таблицу:
-
xi
0
1
2
pi
0.08
0.44
0.48
. [2]1.3 Функции и плотности распределения непрерывных случайных величин
Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
(x)=F'(x),
а зная f(x), найдём функцию распределения:
Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:
.Причём
.Пример. Задана следующая функция распределения:
Найти плотность распределения.
Решение.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x)=
[4].4 Числовые характеристики важнейших непрерывных распределений
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
.Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:
.Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Равномерное распределение.
[9]1.5 Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема (ЦПТ) отвечает на следующие вопрос.
. Когда и почему возникает в природе нормальное распределение?
. Почему оно широко распространено в случайных явлениях природы?
ЦПТ является довольно сложным математическим результатом, но основное ее содержание может сформулировано достаточно просто. Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х1 , Х2,…, Хn :
причем эти величины имеют конечные математические ожидания и конечные, сравниваемые между собой дисперсии.
Тогда каковы бы не были законы отдельных величин Х
, закон распределения их суммы Х будет близок к нормальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n). При достаточно большихn, можно считать, что Х € N (т,
).Становится ясно, почему нормальный закон становится распространен в технических системах: в большинстве случаев погрешности измерения параметров, отклонения вводимых управляющих воздействий и отклонения условий эксплуатации распределены по нормальному закону, так как могут быть представлены в виде суммы «элементарных отклонений», вызванных различными, практически независимыми друг от друга причинами.