Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 260
Скачиваний: 5
Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных-алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым-Блезу Паскалю (1623-1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости. [5]Объект исследования - изучение алгоритмов решения задач.Предмет исследования- применение изученных алгоритмов при решении задач.Цель курсовой работы-решить индивидуальные задачи на основе изученного материала.Задачи исследования:. Изучить основные понятия и законы в теории вероятности.. Научится применять основные формулы и законы теории вероятности при решении задач.. На основе решенных задач сделать вывод о знании понятий, формул, законов и алгоритмов решения задач по теории вероятности.1.Теоритическая часть1.1 Формула БайесаПусть события удовлетворяют условиям , если, и .Такую совокупность называют полной группой событий.Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности .Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.Решение. p(H1) =0,7; p(H2) =0,3; p(A|H1
) =0,1; p(A|H2) =0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).
Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H1 - первый шар белый; р (H1) =n/N;
H2 - первый шар чёрный; p (H2) = (N-n)/N;
A - Второй шар чёрный; p (A|H1) = (n-1)/ (N-1); p (A|H2) =n/ (N-1)
Р(A)=p(H1) *p(A|H1) +p(H2) *p(A|H2) =
Формула Байеса. [8]
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности 
Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).
Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H1, H2, H3 - гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1) =0,3; p(H2) =0,2; p(H3) =0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1) =0,02; p(А/H2) =0,03; и p(А/H3) =0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:
. [8]
1.2 Закон распределения вероятностей дискретных случайных величин
Случайная величина - величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём .Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике - 0,6.Решение. Обозначим А1 и А2 - события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём Полученные результаты сведём в таблицу:
-
xi
0
1
2
pi
0.08
0.44
0.48
Найти плотность распределения.Решение.Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:f(x)=F'(x)= [4].4 Числовые характеристики важнейших непрерывных распределенийМатематическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле: .Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле: .Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.Равномерное распределение. [9]1.5 Центральная предельная теоремаЦентральная предельная теорема (ЦПТ) отвечает на следующие вопрос.. Когда и почему возникает в природе нормальное распределение?. Почему оно широко распространено в случайных явлениях природы?ЦПТ является довольно сложным математическим результатом, но основное ее содержание может сформулировано достаточно просто. Нормальное распределение возникает в тех случаях, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х1 ,Х2,…, Хn:причем эти величины имеют конечные математические ожидания и конечные, сравниваемые между собой дисперсии.Тогда каковы бы не были законы отдельных величин Х , закон распределения их суммы Х будет близок к нормальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n). При достаточно большихn, можно считать, что Х € N (т,
).Становится ясно, почему нормальный закон становится распространен в технических системах: в большинстве случаев погрешности измерения параметров, отклонения вводимых управляющих воздействий и отклонения условий эксплуатации распределены по нормальному закону, так как могут быть представлены в виде суммы «элементарных отклонений», вызванных различными, практически независимыми друг от друга причинами.