Файл: Лабораторная работа 1. Непрерывные случайные величины.pdf

Лабораторная работа №1.
Непрерывные случайные величины.
Теоретические сведения.
1. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:


2 1
)
(
2 2
2














a x
e x
f
Соответственно, функция распределения случайного распределения будет равна


2 2
2 1
( )
2
z a x
F x e
dz
















2 4
6
x
0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f x a
Рис. 1. График плотности нормального распределения вероятностей
5 5
10
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
F x a
Рис. 2. График функции распределения нормального распределения
Математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ.
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал
(х
1
; х
2
) определяется по формуле:
1 2
2 1
(
)
( )
( )
P х
X
х
F х
F х




или
2 1
1 2
(
)
( )
x x
P х
X
х f x dx




В программе Microsoft Excell плотность нормального распределения f(x) реализована как функция НОРМРАСП(x;a;
;0), а функция распределения
F(x) реализована как функция НОРМРАСП(x;a;
;1). Поэтому вероятность
1 2
(
)
P х
X
х


можно вычислить следующим образом:
1 2
(
)
P х
X
х


=НОРМРАСП(x
2
;a;
;1)–НОРМРАСП(x
1
;a;
;1).
2. Равномерное распределение вероятностей
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:










при
)
(
1
;
,
при
0
)
(
b x
a a
b b
x a
х x
f
Функция равномерного распределения на интервале (a; b) имеет вид:













при
1
,
при
,
при
0
)
(
b х
b x
a a
b a
х a
х x
F
График плотности равномерного распределения вероятностей представлен на рис.1.
2 4
6
x
0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f x a
b
Рис. 3. График плотности равномерного распределения вероятностей

2 2
4 6
8
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
F x a
b
Рис. 4. График функции распределения равномерного распределения вероятностей
Характеристики равномерного распределения:
1) математическое ожидание
2
)
(
a b
X
M


;
2) дисперсия
12
)
(
)
(
2
a b
X
D


;
3) среднее квадратическое отклонение
3 2
)
(
a b
Х



;
Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, в заданный интервал (х
1
; х
2
), при условии a≤ х
1
≤ х
2
≤b, определяется по формуле
2 1
1 2
(
)
х х
P х
X
х b a





Задания для самостоятельной работы.
I. Генерация значений случайных величин.
1. Используя инструмент ME Данные>Анализ данных>Генерация случайных чисел, сгенерируйте по 1000 значений следующих случайных величин:
X – нормально распределенная случайная величина с a=2 и σ=1;
Y – нормально распределенная случайная величина с a=2 и σ=3;
Z – нормально распределенная случайная величина с a=5 и σ=1;
U – равномерно распределенная случайная величина с a=1 и b=5.
Результат в ME оформите след. образом:

2. Посмотрите на полученные наборы чисел. Видите ли Вы разницу между наборами значениями разных случайных величин? В чем она заключается?
3. Визуализируйте наборы значений случайных величин. Для этого постройте отдельные точечные диаграммы для каждого набора. Затем постройте на одной диаграмме X и Y, X и Z.
4. Видите ли Вы на диаграммах разницу между наборами значений разных величин? Сформулируйте, в чем заключается разница между X и Y, X и Z, X и U? Как на диаграмме видны значения параметров распределений?
II. Вычисление вероятностей случайных величин в ME.
1. Пусть X – нормально распределенная случайная величина с a=0 и σ=1.
Найдите следующие вероятности:
P(-2≤X≤2), P(1≤X≤3), P(0≤X≤2), P(0≤X), P(X≤0), P(1≤X), P(X≤1), P(X=1), P(-
∞≤X≤∞).
Указание. Воспользуйтесь тем, что для функции распределения F(x) ЛЮБОЙ случайной величины выполняется
F(-∞)=0 и F(+∞)=1.
2. Пусть X – равномерно распределенная случайная величина с a=1 и b=5.
Найдите следующие вероятности:
P(2≤X≤3), P(1≤X≤3), P(1≤X≤5).
Вопросы для защиты.

1. Какие события называются независимыми (зависимыми)?
2. Какие события называются несовместными (совместными)?

3. Что такое условная вероятность?
4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.
5. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

6. Что называется случайной величиной?
7. Что называется дискретной случайной величиной?

8. Что называется непрерывной случайной величиной?
9. Запишите формулы для математического ожидания, дисперсии и СКО дискретной случайной величины.
10. Запишите формулы для математического ожидания, дисперсии и СКО непрерывной случайной величины.

11. Что называется нормальным распределением?
12. Нарисуйте (схематически) графики плотности вероятности и функции распределения нормального распределения.

13. Что называется равномерным распределением?
14. Нарисуйте (схематически) графики плотности вероятности и функции распределения равномерного распределения.

15. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и СКО для нормального распределения?
16. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и СКО для равномерного распределения?
17. Как найти вероятность
1 2
(
)
P х
X
х



для любой случайной величины X?
18. Как найти вероятность
1 2
(
)
P х
X
х


для нормальной случайной величины
X?
19. Как найти вероятность
1 2
(
)
P х
X
х



для равномерной случайной величины X?
20. Нарисуйте график плотности нормально распределенной величины X c a=3. Покажите на этом рисунке геометрическую интерпретацию вероятности
(3 4)
P
X


. Покажите на рисунке следующие значения случайной величины:
4, 5, 0, -1.
21. Нарисуйте график плотности равномерно распределенной величины X c a=3 и b=5. Покажите на этом рисунке геометрическую интерпретацию вероятности
(3 4)
P
X


. Покажите на рисунке следующие значения случайной величины: 4, 5, 0, -1.
22. Нарисуйте график функции распределения нормально распределенной величины X c a=3. Покажите на этом рисунке геометрическую интерпретацию вероятности
(3 4)
P
X


23. Нарисуйте график функции распределения равномерно распределенной величины X c a=3 и b=5. Покажите на этом рисунке геометрическую интерпретацию вероятности
(3 4)
P
X

