Файл: 88 Статистическая физика.pdf

88 2. Статистическая физика
2.1. Статистическое описание макросистем. Свойства функции распределения условие нормировки, правило нахождения средних значений Для изучения систем многих частиц информация должна иметь обоб- щённый характер и относиться не к отдельным частицам, а к совокупности большого числа частиц. Соответствующие понятия также должны относиться не к отдельным частицам, а к большим совокупностям частиц. Новая форма информации и новые понятия требуют иного метода рассмотрения. Этот метод называется статистическим. Законы поведения совокупностей большого числа частиц, исследуемых статистическим методом, называются статистическими закономерностями. Статистические методы в физике имеют более широкое применение, чем динамические. Это связано стем, что динамический метод эффективен только в применении к системам с небольшим числом степеней свободы. Большинство систем имеют громадное количество степеней свободы и могут изучаться лишь статистическими методами. Кроме того, квантомеханические закономерности по своей природе являются статистическими. Поэтому статистические методы используются также и при изучении систем с небольшим числом степеней свободы, если в поведении этих систем существенны квантомеханические эффекты. Рассмотрим математические понятия, которые понадобятся при изучении статистического метода. Пусть некоторая макроскопическая система находится в заданном состоянии. Предположим, что какая-то характерная для системы величина x может иметь дискретные значения x
1
, x
2
, x
3
, …, x i
, …, x k
, …, x Осуществим над системой очень большое число N измерений величины, приводя систему перед каждым измерением водно и тоже состояние. Вместо того чтобы производить повторные измерения над одной и той же системой, можно взять N одинаковых систем, находящихся водном и том же

состоянии, и осуществить однократное измерение величины х у всех этих систем. Набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии, называется статистическим ансамблем. Допустим, что N
1
измерений дали результат x
1
, N
2
измерений – результат измерений – результат x i
и т.д. (ΣN
i
=N – числу систем в ансамбле) Величина N
i
/N называется относительной частотой появления результата x
i
, а предел этой величины, получающийся при стремлении N к бесконечности, те.
,
lim
N
N
P
i
N
i
∞
→
=
(2.1) называется вероятностью появления результата x i
. В дальнейшем для упрощения формул будем писать выражение для вероятности в виде N
i
/N, производя предельный переход при N→∞. Поскольку ΣN
i
= N, то
,
N
N
P
i i
1
=
∑
=
∑
(2.2) те. сумма вероятностей всех возможных результатов равна единице. Зная вероятность появления различных результатов измерения, можно найти среднее значение всех результатов. По определению среднего
∑
=
∑
=
i i
i i
x
P
N
x
N
x
(2.3) Распространим полученные результаты на случай, когда характеризующая систему величинах может принимать непрерывный ряд значений от
0 до ∞. В этом случае говорят, что величинах имеет сплошной (непрерывный) спектр значений (в предыдущем случае спектр значений был дискретным.
Возьмём очень малую величину α (скажем α = 10
-6
) и найдём число измерений, при которых 01
, при которых αx
, при которых результат измерений находится в интервале от х дохи т.д. Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от 0 до α равна
∆P
0
= ∆N
0
/N, в интервале от α до 2α ∆P
1
= ∆N
1
/N, …, в интервале от х дох х
= х. Начертим ось хи отложим вверх от неё полоски шириной ивы- сотой х (рис. 2.1). Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой. Площадь полоски, левый край которой имеет координату х, равна ха площадь всей гистограммы единице. Гистограмма наглядно характеризует вероятность получения результатов измерений, заключающихся в различных интервалах ширины α. Чем меньше ширина интервала α, тем детальнее будет охарактеризовано распределение вероятностей значений величины х. В пределе при α→0 ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис. Функциях, определяющая эту кривую, называется функцией распределения вероятностей (плотностью вероятности. В соответствии со способом построения кривой распределения площадь столбика шириной dx (см. рис) равна вероятности того, что результат измерения окажется в пределах от х дох. Обозначив эту вероятность через dР
х
, можно написать, что
)
( dx x
f dP
x
=
(2.4) Индекс х при dP указывает на то, что имеется ввиду вероятность интервала, левый край которого лежит в точке с координатой х. Площадь, ограниченная кривой распределения, также как и площадь гистограммы, равна единице. Это означает, что
1
)
(
=
=
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
x dP
dx x
f
(2.5) Интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Формула (2.5) является аналогом формулы (2.2). Рис Рис

Зная функцию распределениях, можно найти среднее значение результатов измерения величины х. В x
x
NdP
dN =
случаях получается результат, равный х. Сумма таких результатов определяется выражением x
x xNdP
xdN =
. Сумма всех возможных результатов равна x
x Разделив эту сумму на число измерений
N
, получим среднее значение величины х x
xdP
+∞
−∞
=
∫
(2.6) Эта формула является аналогом формулы (2.3). Для произвольной функции φ(
x) можно записать правило нахождения среднего значения
< (x)>=
(x)f(x)dx
+∞
−∞
ϕ
ϕ
∫
2.2. Микроканоническое и каноническое распределения Гиббса
Гиббс рассмотрел два вида макроскопических систем, находящихся в равновесии изолированную систему и систему, которая может обмениваться энергией с окружением. В первом случае полная энергия системы должна сохраняться. Математически такой закон сохранения может быть записан в виде) где
E
- заданное значение полной энергии системы
H
– гамильтониан, который представляет собой сумму полных механических энергий всех частиц системы
( )
(
)
H X -E
δ
- дельта-функция, обладающая следующим свойством она равна бесконечности, когда ее аргумент равен нулю, и равна нулю во всех остальных случаях Ω – статистический вес (нормировочная константа
X
– совокупность координат и импульсов всех частиц системы f
N
- функция распределения системы из
N
частиц.

Формула (2.7) называется микроканоническим распределением Гиббса и означает, что в изолированной системе нет таких частиц, которые неудов- летворяли бы закону сохранения полной энергии. Для случая, когда система находится в термостате, Гиббс доказал, что из микроканонического распределения следует каноническое распределение
( )
( )
1
exp
N
H X
f
X
Z
kT


=
−




, где
Z
– нормировочная константа.
2.3. Распределение Максвелла Распределения Гиббса, будучи строгими для макроскопических систем, тем не менее неудобны для вычисления средних значений ввиду их сложности (в них используется полная энергия системы частиц, которая зависит от координат и импульсов всех частиц. Поэтому существует необходимость в нахождении более простых функций распределения. Такой функцией распределения является распределение молекул по скоростям, полученное Максвеллом. Максвелл получил свое распределение молекул газа по скоростям раньше, чем были записаны распределения Гиббса.
Формула Максвелла была во многом интуитивной, хотя впоследствии была не только строго выведена из канонического распределения Гиббса, но и подтверждена экспериментально. Максвелл предположил, что вероятность того, что скорости частицы в равновесном идеальном газе находятся в интервале (
dv x
dv y
dv z
), может быть записана в виде dv y
dv x
dv kT
mv
C
dW








−
=
2 2
exp
,
(2.8) где
C
– константа, которую можно найти из условия нормировки
(
)
∫
∞
+
∞
−






+
+
−
=
z y
x z
y x
dv dv dv kT
v v
v m
C
2
exp
1 2
2 2
. (2.9)

Интеграл (3.2) можно разбить на произведение трех независимых интегралов по каждой компоненте скорости, каждый из которых является интегралом Пуассона
(
)
exp
+
2
-
- x dx=
∞
∞
π
α
α
∫
(2.10) Тогда получим функцию распределения Максвелла по компонентам скорости
(
)
3/2 2
x y
z m
mv f v ,v ,v =
exp -
2 kT
2kT








π




(2.11) Эта функция распределения распадается на произведение трех функций распределения по каждой из компонент скорости. Например, для компоненты получим
( )
exp
1/2 2
x x
m mv f v =
-
2 kT
2kT








π




(2.12) Заметим, что функция распределения по компоненте скорости является симметричной относительно замены x на –x. Отсюда следует вывод о том, что среднее значение компоненты скорости x равно нулю (это можно также подтвердить прямым взятием интеграла. Поскольку все компоненты скорости равноправны, то отсюда следует, что и средней вектор скорости равен нулю
0
=
v Это равенство верно только в условиях равновесия. Заметим, что в уравнении (2.9) интегрирование ведется от -
∞ до + ∞, хотя очевидно, что для любой системы с конечным числом частиц скорость каждой частицы ограничена, кроме того, она не может быть больше скорости света. Найдем теперь распределение Максвелла по модулю скорости. Для этого нужно перейти от компонент скорости к ее модулю по формуле
2 2
2
z y
x v
v v
v
+
+
=
,

а также определить физически бесконечно малый объем в пространстве модулей скорости. Такой объем соответствует объему тонкой сферы радиуса и равен 4πv
2
v. Проводя соответствующие замены переменных, получим функцию распределения Максвелла по модулю скорости
( )
exp
3/2 2
2
m mv
F v =4 v
-
2 kT
2kT




π




π




. (2.13) Нетрудно убедиться, что функция распределения является нормированной. Исследуем свойства функции распределения по модулю скорости.
Во-первых, беря производную от функции F(v), и приравнивая ее к нулю, можно найти максимум функции распределения, который соответствует наиболее вероятной скорости частиц m
kT
вер
2
=
ν
Два других экстремума v = 0 и v = ∞ являются минимумами функции распределения. Найдем среднее значение модуля скорости. По правилу нахождения средних получим
0
exp
3/2 2
3
m mv v
4 v
- dv
2 kT
2kT
∞




=
π




π




∫
. (2.14) Занося одну из скоростей под дифференциал, получим интеграл, который можно взять по частям. В результате получим
8kT
v =
m
π
(2.15) Найдем также средний квадрат скорости
0
exp
3/2 2
2 4
m mv v
4 v
- dv
2 kT
2kT
∞




=
π




π




∫
(2.16) Этот интеграл является табличными может быть легко получен из интеграла Пуассона

95
m kT
v
3 Полученная величина позволяет найти среднее значение кинетической энергии молекул
2 3
2 2
kT
v Этот результат без вывода был получен в элементарной кинетической теории. Вид распределения Максвелла для молекул азота показан на рис. 2.3. Температуры на рисунке равны
T
1
= 50 К,
T
2
= 100 К,
T
3
= 300 К. С увеличением скорости максимум распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме несколько понижается. Наличие максимума объясняется тем, что кривая отражает результат двух противоборствующих тенденций вероятность состояний с ростом скорости падает, а плотность состояний увеличивается. При малых скоростях преобладает тенденция роста плотности состояний. При скоростях после максимума кривой преобладает тенденция уменьшения вероятности состояний. При комнатной температуре характерные скорости молекул кислорода и азота в воздухе равны примерно 400-500 мс. Скорости молекул водорода при этом примерно в четыре раза больше. С повышением температуры скорости молекул растут как Частота ударов молекулы о стенку. Направим ось
X
перпендикулярно стенке (рис. 2.4) и обозначим
0
n концентрацию молекул. Тогда плотность потока молекул в направлении стенки со скоростями между v
и dv v +
равна dv v
v f
n x
)
(
0
)
(
+
,
(2.17) Рис. 2.3

где
( )
x v
+
– составляющая скорости в направлении положительных значений оси
X
(молекулы, скорости которых направлены от стенки, в образовании потока не участвуют. Тогда частота ударов молекул о стенки сосуда, приходящаяся на единицу площади, равна
( )
( )
(
)
(
)
(
)
0 3 2
+
0
x
0 2
2 2
y z
x x
x y
z
1 2
0
-mv
2kT
e v dv m
v=n f v v dv=n
×
2 kT
-m v +v
2kT
× e dv dv ×
kT
=n
2 m
∞
=
∫
∫
π
∫∫
π












(2.18) Принимая во внимание формулу (2.15), окончательно напишем
0 4
v n v
=
(2.19) Число молекул в различных участках распределения Максвелла. Если плотность молекул
0
n
, то число
(
)
1 2
,
N v v молекул, скорости которых распределены между
1
v и
2
v
, равно
(
)
( )
0 4
1 2
B
2 1
1
B
v v v
-u
2 1
2 0
v v v
N v ,v =n f v dv=n e u du.
π
∫
∫
(2.20) При вычислении (2.18) учтено, что
(
)
2
exp
2
mv kT


−


в
( )
f v можно представить как
(
)
2 2
B
exp v v
−
, что более наглядно при анализе формы кривой распределения Максвелла. Имеются таблицы интеграла
( )
4 2
-u
2
x x
e u du
∞
ϕ
=
π
∫
(2.21) Сих помощью величина (2.20) вычисляется последующей очевидной формуле
(
)
(
) (
)
1 2
0 2
1
,
-
B
B
N v v n
j v v j v v
=




(2.22) Из таблицы, в частности, находим Рис

97
(
)
(
)
(
)
B
0
B
B
0
B
0
,
0,5724 ;
0,5 ,1,5 0, 7053 ;
2
,
0, 0460 .
N v n
N
v v
n
N
v n
∞ =
=
∞ Таким образом, большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наивероятнейшей, а молекул со значительными по сравнению с наивероятнейшими скоростями очень мало. Пример 2.1. Найти число молекул кислорода О, скорости которых заключены в пределах от 195 до 205 мс при
0 C
°
. Масса кислорода 0,1 кг. Поскольку интервал скоростей от 195 до 205 мс достаточно мал, можно воспользоваться теоремой о среднем и по формуле (2.13) написать exp
,
1 2 2
2
n m
4
v
-mv 2kT dv n
2 kT
∆




≈ π



π


(2.23) где
200
v =
мс,
10
dv =
мс. Относительная молекулярная масса кислорода
32
r
M =
и, следовательно, масса молекулы
27 32 1, 66 кг
26 5, 31 кг. Молярная масса кислорода 10
M
−
=
⋅
кг/моль, поэтому в
0,1 кг кислорода имеется
(
)
3 23 24 0,1 32 10 6, 02 10 1,88 молекул. Далее учтем, что
23 1, 38 10
kT
−
=
⋅
Дж
27 3, 77 10
−
=
⋅
Дж, поэтому
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 26 26 27 21 2
24 3 2 6
30 22 22 5,31 10 200 5,31 10 4 3,14
exp
6, 28 3,77 10 2 3,77 10 200 10 1.88 10 2, 2 10
exp
0, 28 9, 44 10 3,08exp
0, 28 10 2,3 10 .
n
−
−
−
−
−


⋅


⋅
∆ = Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Ввиду принципиальной важности распределения Максвелла для статической физики оно было много раз подвергнуто тщательной экспериментальной проверке. Принципиальная схема наиболее типичной экспериментальной установки

состоит в следующем. Через отверстие выходит пучок исследуемых молекул. Чтобы в процессе движения пучка распределение молекул в нем не изменялось, они должны двигаться практически без взаимодействия друг с другом. Поэтому на пути движения пучка создается высокий вакуума в сосуде газ находится под низким давлением. Для того чтобы в выходящем из сосуда пучке молекулы имели такое же распределение скоростей, как в сосуде, необходимо обеспечить истечение газа через отверстие без гидродинамического напора. Это возможно, если в области вблизи отверстия молекулы не успевают сталкиваться друг с другом. Тогда молекула, попадающая в отверстие, вылетает из сосуда, не возмущая состояния всех остальных молекул в сосуде. В результате число молекул в сосуде медленно уменьшается, но их равновесное состояние не изменяется. Чтобы обеспечить такое «бесстолкно- вительное» покидание сосуда молекулами, отверстие по размерам должно быть много меньше длины свободного пробега молекул, те. среднего расстояния между последовательными столкновениями. Для ориентировки в порядке величин полезно иметь ввиду, что при нормальных условиях в воздухе молекулы сталкиваются с частотой примерно млрд. в секунду, а средняя длина свободного пробега имеет порядок
7 м. При понижении давления длина свободного пробега увеличивается. Поэтому диаметр отверстия должен быть очень малым. В эксперименте с молекулярными пучками он составляет сотые доли миллиметра. Плотность потока молекул в направлении движения пучка дается выражением (2.18). После выхода из отверстия пучок проходит коллиматор
K
из последовательных щелей, который выделяет движущиеся почти параллельно молекулы. Далее имеется устройство
C
для сортировки молекул по скоростями детектор
D
для регистрации молекул после их сортировки. Для сортировки молекул наиболее часто используют метод вращающихся дисков с щелями вдоль радиуса (риса. С помощью этого метода
Физо в прошлом столетии измерял скорость света в земных условиях. Если щели повернуты на угол