ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 39
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
α
друг относительно друга, а диски располагаются
100
сти. Эти отклонения в практически осуществленном эксперименте такого рада были порядка десятых долей миллиметра, но измерения удалось надежно выполнить. Проведенные эксперименты подтвердили справедливость распределения Максвелла. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла характерно для равновесного и, следовательно, также стационарного состояния, не изменяющегося со временем. Это означает, что число частиц в каждом элементе объема z
y x
dv dv dv вблизи скорости v
пространства скоростей не изменяется стечением времени. Однако между молекулами происходят столкновения, в результате которых состав молекул в каждом элементе объема беспрерывно меняется, хотя их среднее число остается постоянным. Поэтому в единицу времени в каждый элемент объема в пространстве приходит столько же новых частиц, сколько его покидает. Спрашивается в какие элементы объема уходят частицы и из каких приходят Теоретически можно представить себе различные возможности, с помощью которых условия постоянства частиц во всех элементах объема будут соблюдаться. Возьмем, например, некоторые четыре элемента объема
1–4
(см. риса) и представим себе обмен частицами между ними. Каждая из стрелок изображает определенное число частиц, которые покидают рассматриваемый объем или проходят в него в единицу времени. Например, на диаграмме б (рис. 2.6) из объема
1 частицы уходят в объемно такое же количество приходит в него из объема
4
и т.д. На диаграмме в (рис. 2.6) в объем приходят частицы из объемов
2
и
4
, но зато равное их сумме число частиц уходит в объем
1
. В результате осуществления указанных обменов частицами обеспечивается постоянство частиц во всех объемах. Однако равновесное состояние по таким схемам не может быть осуществлено. Принцип детального равновесия утверждает, что равновесие устанавливается детально, те. между всеми парами элементов объема. Это означает, что каждый элемент объема в единицу времени отдает в любой другой
102
h
S d
h На выделенный объем действует сила давления газа снизу, сила давления газа сверху и сила тяжести. Тогда баланс сил запишется в виде
(
)
dmg
S
dp p
pS
+
+
=
, где dm
– масса выделенного объема. Для этого объема можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона
RT
M
dm pdV Выражая величину dm
, можно получить уравнение g
RT
pM
dh dp Разделяя переменные, получим
RT
Mg dh Проинтегрируем полученное уравнение, учтя, что температура постоянна, const
RT
Mg Пусть давление на поверхности равно p
0
, тогда полученное уравнение легко преобразовать к виду
−
=
RT
Mgh p
p exp
0
. (2.24) Рис. 2.7
106
( )
( )
0 0
0 0
1 1
exp mM
n r n r
G
kT
r r
=
−
−
(2.29) где учтено выражение (2.28) для потенциальной энергии,
0
r
– радиус планеты. Формула (2.29) показывает, что при r → ∞
плотность стремится к конечному пределу
(
)
( )
0 0
0 0
1
exp mM
n r n r
G
kT r
→ ∞ →
−
(2.30) Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, те. атмосфера рассеяна. Поскольку, в конечном счете, все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается. У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие, например Марс, имеют очень разряженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны достигла равновесного состояния, а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояния. У Венеры атмосфера очень плотная и, следовательно, находится вначале пути к равновесному состоянию. Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходит вторую космическую. Эти молекулы находятся в хвосте распределения Максвелла и их относительное число незначительно. Тем не менее за значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чему легких, интенсивность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чему легких, те. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, состава атмосферы и т.д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.
друг относительно друга, а диски располагаются
на расстоянии l
друг от друга, то при угловой скорости
ω
диски повернутся на угол
α
в течение времени
α
ω
=
∆
=
l t
l v
и
(
)
n lv где
1, 2,...
n =
), соответствующем нескольким поворотам дисков за время прохождения молекулами расстояния l
. Регистрация молекул производится различными методами в зависимости от их свойств. В простейшем случае они осаждаются на экран и по толщине осажденного слоя можно судить об их числе. Так поступают, например, когда в качестве объекта исследования берется пучок атомов серебра, газ из которых образуется при нагревании в результате испарения. В другом способе (рис. 2.5, б) селектор и детектор совмещены во вращающемся цилиндре с щелью. Когда щель попадает на линию пучка, через нее внутрь цилиндра входит порция молекул. Молекулы с различными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели и поэтому попадают на разные участки внутренней стенки цилиндра. Измеряя число молекул, попавших на различные участки, можно вычислить распределение молекул в пучке по скоростям. Водном из очень изящных экспериментов в качестве селектора молекул использовалась сила тяжести, более медленные молекулы, падая в поле тяжести, отклоняются в направлении к земле на большее расстояние, чем быстрые молекулы. Нетрудно рассчитать отклонение в зависимости от скоро-
Рис. 2.5
друг от друга, то при угловой скорости
ω
диски повернутся на угол
α
в течение времени
α
ω
=
∆
=
l t
l v
и
(
)
n lv где
1, 2,...
n =
), соответствующем нескольким поворотам дисков за время прохождения молекулами расстояния l
. Регистрация молекул производится различными методами в зависимости от их свойств. В простейшем случае они осаждаются на экран и по толщине осажденного слоя можно судить об их числе. Так поступают, например, когда в качестве объекта исследования берется пучок атомов серебра, газ из которых образуется при нагревании в результате испарения. В другом способе (рис. 2.5, б) селектор и детектор совмещены во вращающемся цилиндре с щелью. Когда щель попадает на линию пучка, через нее внутрь цилиндра входит порция молекул. Молекулы с различными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели и поэтому попадают на разные участки внутренней стенки цилиндра. Измеряя число молекул, попавших на различные участки, можно вычислить распределение молекул в пучке по скоростям. Водном из очень изящных экспериментов в качестве селектора молекул использовалась сила тяжести, более медленные молекулы, падая в поле тяжести, отклоняются в направлении к земле на большее расстояние, чем быстрые молекулы. Нетрудно рассчитать отклонение в зависимости от скоро-
Рис. 2.5
100
сти. Эти отклонения в практически осуществленном эксперименте такого рада были порядка десятых долей миллиметра, но измерения удалось надежно выполнить. Проведенные эксперименты подтвердили справедливость распределения Максвелла. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла характерно для равновесного и, следовательно, также стационарного состояния, не изменяющегося со временем. Это означает, что число частиц в каждом элементе объема z
y x
dv dv dv вблизи скорости v
пространства скоростей не изменяется стечением времени. Однако между молекулами происходят столкновения, в результате которых состав молекул в каждом элементе объема беспрерывно меняется, хотя их среднее число остается постоянным. Поэтому в единицу времени в каждый элемент объема в пространстве приходит столько же новых частиц, сколько его покидает. Спрашивается в какие элементы объема уходят частицы и из каких приходят Теоретически можно представить себе различные возможности, с помощью которых условия постоянства частиц во всех элементах объема будут соблюдаться. Возьмем, например, некоторые четыре элемента объема
1–4
(см. риса) и представим себе обмен частицами между ними. Каждая из стрелок изображает определенное число частиц, которые покидают рассматриваемый объем или проходят в него в единицу времени. Например, на диаграмме б (рис. 2.6) из объема
1 частицы уходят в объемно такое же количество приходит в него из объема
4
и т.д. На диаграмме в (рис. 2.6) в объем приходят частицы из объемов
2
и
4
, но зато равное их сумме число частиц уходит в объем
1
. В результате осуществления указанных обменов частицами обеспечивается постоянство частиц во всех объемах. Однако равновесное состояние по таким схемам не может быть осуществлено. Принцип детального равновесия утверждает, что равновесие устанавливается детально, те. между всеми парами элементов объема. Это означает, что каждый элемент объема в единицу времени отдает в любой другой
элемент объема столько частиц, сколько из него получает. Поэтому единственно возможной схемой обмена частицами между четырьмя элементами объема является схема, изображенная на рис. 2.6. Интенсивность обмена между каждой парой элементов объема, вообще говоря, различна. Справедливость принципа детального равновесия обусловлена тем, что состояние равновесия устанавливается в результате хаотичного характера столкновения и беспорядочности движения молекул. Невозможность схем, изображенных на рис. 2.6, следует из того, что они могут быть реализованы лишь в результате определенной упорядоченности движения молекул и их столкновений. Принцип детального равновесия справедлив не только для столкновений. Он справедлив также и для всех других процессов в любых системах, равновесное состояние которых устанавливается в результате полной хаотичности процессов.
2.4. Распределение Больцмана Барометрическая формула. Рассмотрим газ, находящийся в равновесии в поле силы тяжести. В этом случае сумма действующих сил на каждый элемент объема газа равна нулю. Выделим малый объем газа на высоте рис) и рассмотрим действующие на него силы а б в Рис. 2.6
2.4. Распределение Больцмана Барометрическая формула. Рассмотрим газ, находящийся в равновесии в поле силы тяжести. В этом случае сумма действующих сил на каждый элемент объема газа равна нулю. Выделим малый объем газа на высоте рис) и рассмотрим действующие на него силы а б в Рис. 2.6
102
h
S d
h На выделенный объем действует сила давления газа снизу, сила давления газа сверху и сила тяжести. Тогда баланс сил запишется в виде
(
)
dmg
S
dp p
pS
+
+
=
, где dm
– масса выделенного объема. Для этого объема можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона
RT
M
dm pdV Выражая величину dm
, можно получить уравнение g
RT
pM
dh dp Разделяя переменные, получим
RT
Mg dh Проинтегрируем полученное уравнение, учтя, что температура постоянна, const
RT
Mg Пусть давление на поверхности равно p
0
, тогда полученное уравнение легко преобразовать к виду
−
=
RT
Mgh p
p exp
0
. (2.24) Рис. 2.7
Полученная формула называется барометрической и достаточно хорошо описывает распределение давления по высоте в атмосфере Земли и других планет. Важно помнить, что эта формула была выведена из предположения равновесия газа, при этом величины g
и
T
считались постоянными, что, конечно, не всегда справедливо для реальной атмосферы. Распределение Больцмана. Запишем барометрическую формулу) через концентрацию частиц, воспользовавшись тем, что p = nkT
: exp exp
0 0
0
Mgh m gh n=n
-
=n
-
RT
kT
,
(2.25) где m
0
- масса молекулы газа. Такой же вывод можно провести для любой потенциальной силы (необязательно для силы тяжести. Из формулы (2.25) видно, что в числителе экспоненты стоит потенциальная энергия одной молекулы в потенциальном поле. Тогда формулу (2.25) можно записать в виде exp p
0
n=n
- kT
ε
(2.26) В таком виде эта формула пригодна для нахождения концентрации молекул, находящихся в равновесии в поле любой потенциальной силы. Найдем число частиц газа, координаты которых находятся в элементе объема dV = dxdydz exp p
0
dN=ndV=n
- dxdydz Полное число частиц в системе может быть записано в виде exp p
0
N= dN=ndV= n
- dxdydz Здесь интеграл формально записан по всему пространству, но надо иметь ввиду, что объем системы конечен, что приведет к тому, что интегрирование будет вестись по всему объему системы. Тогда отношение dW
N
dN
=
и
T
считались постоянными, что, конечно, не всегда справедливо для реальной атмосферы. Распределение Больцмана. Запишем барометрическую формулу) через концентрацию частиц, воспользовавшись тем, что p = nkT
: exp exp
0 0
0
Mgh m gh n=n
-
=n
-
RT
kT
,
(2.25) где m
0
- масса молекулы газа. Такой же вывод можно провести для любой потенциальной силы (необязательно для силы тяжести. Из формулы (2.25) видно, что в числителе экспоненты стоит потенциальная энергия одной молекулы в потенциальном поле. Тогда формулу (2.25) можно записать в виде exp p
0
n=n
- kT
ε
(2.26) В таком виде эта формула пригодна для нахождения концентрации молекул, находящихся в равновесии в поле любой потенциальной силы. Найдем число частиц газа, координаты которых находятся в элементе объема dV = dxdydz exp p
0
dN=ndV=n
- dxdydz Полное число частиц в системе может быть записано в виде exp p
0
N= dN=ndV= n
- dxdydz Здесь интеграл формально записан по всему пространству, но надо иметь ввиду, что объем системы конечен, что приведет к тому, что интегрирование будет вестись по всему объему системы. Тогда отношение dW
N
dN
=
как рази даст вероятность того, что частица попадет в элемент объема Тогда для этой вероятности запишем exp exp p
p
- dxdydz kT
dW
- dxdydz kT
+∞
−∞
ε
=
ε
∫
, где величина потенциальной энергии молекулы будет, вообще говоря, зависеть от всех трех координат. Пользуясь определением функции распределения, можно записать функцию распределения молекул по координатам в следующем виде
(
)
exp exp p
p
- kT
f x,y,z
- dxdydz kT
+∞
−∞
ε
=
ε
∫
. (2.27) Это и есть функция распределения Больцмана по координатам частиц (или по потенциальным энергиям, имея ввиду, что потенциальная энергия зависит от координат. Легко показать, что полученная функция нормирована на единицу. Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверху всех них кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, те. остается постоянной их средняя кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, те. наиболее холодные. Поэтому расчет энергии ведется по меньшему числу частиц, которые на исходной высоте были в среднем более горячими. Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте h
равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты h
из-за малой кинетической энергии. Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, достигших высоты h
, то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте h
действительно уменьшилась ив этом смысле они охладились при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте h
одинакова, те. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока. Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны, плотность частиц с высотой уменьшается, ас другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это возможно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения. Атмосфера планет Потенциальная энергия частицы массой m
в поле тяготения шарообразного небесного тела равна
( )
Mm
U r
G
r
= −
,
(2.28) где
M
– масса тела r
– расстояние от центра тела до частицы
G
– гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например, вследствие того, что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура непостоянна, как это должно было быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты. Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (2.26), которая принимает вид
p
- dxdydz kT
dW
- dxdydz kT
+∞
−∞
ε
=
ε
∫
, где величина потенциальной энергии молекулы будет, вообще говоря, зависеть от всех трех координат. Пользуясь определением функции распределения, можно записать функцию распределения молекул по координатам в следующем виде
(
)
exp exp p
p
- kT
f x,y,z
- dxdydz kT
+∞
−∞
ε
=
ε
∫
. (2.27) Это и есть функция распределения Больцмана по координатам частиц (или по потенциальным энергиям, имея ввиду, что потенциальная энергия зависит от координат. Легко показать, что полученная функция нормирована на единицу. Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверху всех них кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, те. остается постоянной их средняя кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, те. наиболее холодные. Поэтому расчет энергии ведется по меньшему числу частиц, которые на исходной высоте были в среднем более горячими. Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте h
равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты h
из-за малой кинетической энергии. Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, достигших высоты h
, то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте h
действительно уменьшилась ив этом смысле они охладились при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте h
одинакова, те. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока. Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны, плотность частиц с высотой уменьшается, ас другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это возможно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения. Атмосфера планет Потенциальная энергия частицы массой m
в поле тяготения шарообразного небесного тела равна
( )
Mm
U r
G
r
= −
,
(2.28) где
M
– масса тела r
– расстояние от центра тела до частицы
G
– гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например, вследствие того, что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура непостоянна, как это должно было быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты. Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (2.26), которая принимает вид
106
( )
( )
0 0
0 0
1 1
exp mM
n r n r
G
kT
r r
=
−
−
(2.29) где учтено выражение (2.28) для потенциальной энергии,
0
r
– радиус планеты. Формула (2.29) показывает, что при r → ∞
плотность стремится к конечному пределу
(
)
( )
0 0
0 0
1
exp mM
n r n r
G
kT r
→ ∞ →
−
(2.30) Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, те. атмосфера рассеяна. Поскольку, в конечном счете, все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается. У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие, например Марс, имеют очень разряженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны достигла равновесного состояния, а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояния. У Венеры атмосфера очень плотная и, следовательно, находится вначале пути к равновесному состоянию. Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходит вторую космическую. Эти молекулы находятся в хвосте распределения Максвелла и их относительное число незначительно. Тем не менее за значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чему легких, интенсивность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чему легких, те. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, состава атмосферы и т.д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.
Экспериментальная проверка распределения Больцмана При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц. Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они расположатся в некотором слое у сосуда. Строго говоря, это является следствием распределения Больцмана. При больших массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высотой, что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных связях. Задачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а в механике. Для того чтобы тяжелые частицы не осели на дно, распределились в достаточно большом слоена высоте, необходимо чтобы их потенциальная энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц. Обозначив плотность и объем частиц
ρ
и
τ
, а плотность жидкости
–
0
ρ
, видим, что сила, действующая на частицу, равна
(
)
g
0
ρ
−
ρ
τ
. Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте h
от дна сосуда равна) Поэтому распределение концентраций этих частиц по высоте дается формулой) Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.Б. Перреном (1870-1942). Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальном закону. Перрен доказал, что это действительно таки, следовательно, распределение Больцмана
ρ
и
τ
, а плотность жидкости
–
0
ρ
, видим, что сила, действующая на частицу, равна
(
)
g
0
ρ
−
ρ
τ
. Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте h
от дна сосуда равна) Поэтому распределение концентраций этих частиц по высоте дается формулой) Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.Б. Перреном (1870-1942). Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальном закону. Перрен доказал, что это действительно таки, следовательно, распределение Больцмана
справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана k
, поскольку все остальные величины в (2.32) являются известными.Таким путем Перрен измерили получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение было получено Перреном из опытов с броуновским движением. Броуновские частицы (мельчайшие частицы твердого вещества, взвешенные в жидкости или газе и которые можно наблюдать в микроскопе) находятся в тепловом движении также, как и молекулы. Поэтому Перрен предположил, что распределение Больцмана справедливо и для броуновских частиц. При этом из-за значительно большей массы этих частиц по сравнению с массой молекул должны были наблюдаться более существенные изменения в концентрации частиц при малом изменении высоты h
∆
. Основную трудность в опытах Перрена составляло приготовления одинаковых частиц и определение их массы. Применив многократно метод центрифугирования, Перрену удалось приготовить весьма однородную эмульсию из практически одинаковых шариков гуммигута (гуммигут — сгущенный млечный сок, получаемый из надрезов в коре некоторых видов деревьев, растущих в Ост-Индии и на Цейлоне) с радиусами порядка нескольких десятых долей микрона. Эмульсия помещалась в плоскую стеклянную кювету глубиной 0,1 мм и рассматривалась с помощью микроскопа рис. 2.8). Микроскоп имел столь малую глубину поля зрения, что в него были видны только частицы (их размеры были порядкам, находящиеся в горизонтальном слое толщиной примерном. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте. В опытах определялось число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа в зависимости от высоты h
, отсчитываемой от дна стеклянной трубки, в которой находилась жидкость с взвешенными в ней Рис. 2.8
, поскольку все остальные величины в (2.32) являются известными.Таким путем Перрен измерили получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение было получено Перреном из опытов с броуновским движением. Броуновские частицы (мельчайшие частицы твердого вещества, взвешенные в жидкости или газе и которые можно наблюдать в микроскопе) находятся в тепловом движении также, как и молекулы. Поэтому Перрен предположил, что распределение Больцмана справедливо и для броуновских частиц. При этом из-за значительно большей массы этих частиц по сравнению с массой молекул должны были наблюдаться более существенные изменения в концентрации частиц при малом изменении высоты h
∆
. Основную трудность в опытах Перрена составляло приготовления одинаковых частиц и определение их массы. Применив многократно метод центрифугирования, Перрену удалось приготовить весьма однородную эмульсию из практически одинаковых шариков гуммигута (гуммигут — сгущенный млечный сок, получаемый из надрезов в коре некоторых видов деревьев, растущих в Ост-Индии и на Цейлоне) с радиусами порядка нескольких десятых долей микрона. Эмульсия помещалась в плоскую стеклянную кювету глубиной 0,1 мм и рассматривалась с помощью микроскопа рис. 2.8). Микроскоп имел столь малую глубину поля зрения, что в него были видны только частицы (их размеры были порядкам, находящиеся в горизонтальном слое толщиной примерном. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении, можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте. В опытах определялось число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа в зависимости от высоты h
, отсчитываемой от дна стеклянной трубки, в которой находилась жидкость с взвешенными в ней Рис. 2.8
броуновскими частицами (рис. Обозначим высоту слоя, видимого в микроскоп, над дном кюветы буквой h
, число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа, определяется формулой h
S
h n
N
∆
=
∆
)
(
где
)
(h n
— число броуновских частиц в единице объема на высоте h
, S — площадь, a h
∆
— глубина поля зрения микроскопа. Применив к броуновским частицам распределение молекул по высоте можно написать kT
Qh e
n где n
— число частиц в единице объема привес броуновской частицы в эмульсии, те. вес, взятый с учетом поправки на закон Архимеда.
ρ
ρ
m ж,
ρ
m
V =
, Ж - плотности жидкости и вещества частицы соответственно- объем частицы. Написав выражение числа частиц для двух разных высот
1
h и
2
h получаем Наконец, логарифмируя отношение
1 1
N
N
∆
∆
, приходим к следующему выражению Ж Ж что позволило получить формулу для экспериментального определения постоянной Авогадро
A
N
)
ln(
)
(
)
ρ
(
2 1
1 Ж n
h h
gV
RT
N
A
−
−
=
ρ
. (2.33) В результате проведенных опытов Перрен показал, что постоянная Авогадро
A
N
может принимать значения
1 23 10
)
2
,
7 моль, заключенные в интервале, что находилось в согласии сданными других опытов. Определенное другими, более точными методами
26 10 02 6
⋅
=
A
N
кмоль. Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана. Уникальность опытов
Перрена была связана с плохой экспериментальной аппаратурой, существовавшей в то время (1906 г. Так, в частности, достаточно трудно было поддерживать с высокой точностью температуру во всем объеме жидкости и наблюдать быстро движущиеся частицы в микроскопе. В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше. Пример 2.2.
, число частиц, попадающих в поле зрения микроскопа, определяется формулой h
S
h n
N
∆
=
∆
)
(
где
)
(h n
— число броуновских частиц в единице объема на высоте h
, S — площадь, a h
∆
— глубина поля зрения микроскопа. Применив к броуновским частицам распределение молекул по высоте можно написать kT
Qh e
n где n
— число частиц в единице объема привес броуновской частицы в эмульсии, те. вес, взятый с учетом поправки на закон Архимеда.
ρ
ρ
m ж,
ρ
m
V =
, Ж - плотности жидкости и вещества частицы соответственно- объем частицы. Написав выражение числа частиц для двух разных высот
1
h и
2
h получаем Наконец, логарифмируя отношение
1 1
N
N
∆
∆
, приходим к следующему выражению Ж Ж что позволило получить формулу для экспериментального определения постоянной Авогадро
A
N
)
ln(
)
(
)
ρ
(
2 1
1 Ж n
h h
gV
RT
N
A
−
−
=
ρ
. (2.33) В результате проведенных опытов Перрен показал, что постоянная Авогадро
A
N
может принимать значения
1 23 10
)
2
,
7 моль, заключенные в интервале, что находилось в согласии сданными других опытов. Определенное другими, более точными методами
26 10 02 6
⋅
=
A
N
кмоль. Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана. Уникальность опытов
Перрена была связана с плохой экспериментальной аппаратурой, существовавшей в то время (1906 г. Так, в частности, достаточно трудно было поддерживать с высокой точностью температуру во всем объеме жидкости и наблюдать быстро движущиеся частицы в микроскопе. В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше. Пример 2.2.
1 2 3 4