ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 3900
Скачиваний: 2
6
Введение
Данное
учебное
пособие
предназначено
для
студентов
технических
специальностей
,
а
также
специальности
«
Прикладная
математика
»,
изучающих
курсы
современных
численных
методов
,
и
может
быть
полезным
при
постановке
спецкурсов
по
численным
методам
,
обыкновенным
дифференциальным
уравнениям
,
уравнениям
в
частных
производных
,
уравнениям
математической
физики
,
теории
теплопроводности
,
теории
колебаний
упругих
тел
.
Оно
будет
полезным
также
для
аспирантов
и
инженеров
,
применяющих
численные
методы
к
решению
прикладных
задач
.
Пособие
,
как
и
соответствующие
спецкурсы
,
ставит
своей
целью
развитие
процесса
взаимосвязи
математической
и
специальной
подготовки
инженеров
.
В
частности
,
это
учебное
пособие
может
быть
использовано
для
постановки
лабораторных
работ
по
спецкурсу
«
Численные
методы
решения
задач
математической
физики
»
для
студентов
специальности
«
Прикладная
математика
».
Цель
данного
спецкурса
–
связать
общую
теорию
краевых
задач
для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
и
уравнений
в
частных
производных
гиперболического
,
параболического
и
эллиптического
типов
с
численными
методами
решения
задач
математической
физики
.
Выписка
из
ГОС
ВПО
по
направлению
подготовки
231300 –
Прикладная
математика
(
квалификация
(
степень
) «
бакалавр
»):
Код
УЦ
ООП
Учебные
циклы
и
проектируемые
результаты
их
освоения
Б
.2
Математический
и
естественнонаучный
цикл
Выписка
из
базовой
части
.
В
результате
изучения
базовой
части
цикла
студент
должен
:
знать
:
–
основные
положения
теории
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
и
теории
устойчивости
;
–
основные
типы
уравнений
математической
физики
и
методы
их
вывода
из
физических
моделей
;
–
методы
точного
решения
базовых
уравнений
математической
физики
;
уметь
:
–
определять
возможности
применения
теоретических
положений
дифференциальных
уравнений
для
постановки
и
решения
конкретных
прикладных
задач
;
–
решать
уравнения
с
частными
производными
первого
порядка
,
уравнения
диффузии
(
теплопроводности
),
волновое
и
Гельмгольца
с
постоянными
коэффициентами
,
уравнение
Шредингера
для
одномерного
осциллятора
;
владеть
:
–
стандартными
методами
теории
обыкновенных
дифференциальных
7
уравнений
и
теории
устойчивости
и
их
применением
к
решению
прикладных
задач
;
–
классическими
методами
решения
уравнений
математической
физики
(
характеристик
,
разделения
переменных
,
преобразования
Фурье
,
отражения
,
функции
Грина
)
при
анализе
математических
моделей
реальных
систем
.
Б
.3
Профессиональный
цикл
Выписка
из
базовой
части
.
В
результате
изучения
базовой
части
цикла
студент
должен
:
знать
:
–
численные
методы
решения
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
;
уметь
:
–
пользоваться
современным
программным
обеспечением
–
пакетами
MATLAB
и
Mathcad;
–
проводить
моделирование
систем
управления
в
средах
MATLAB
и
Mathcad;
–
решать
задачи
кинематики
,
статики
и
динамики
для
систем
материальных
точек
и
абсолютно
твердых
тел
,
включая
задачи
теории
колебаний
;
решать
статические
и
динамические
краевые
и
вариационные
задачи
теории
упругости
,
решать
задачи
гидро
-
и
аэродинамики
,
решать
задачи
электро
-
и
магнитостатики
,
рассчитывать
процессы
в
квазистационарных
и
быстропеременных
электромагнитных
полях
,
рассчитывать
движение
частиц
в
электромагнитных
полях
;
владеть
:
–
навыками
формализации
прикладных
задач
;
способностью
выбирать
конкретные
методы
анализа
и
синтеза
для
ее
решения
;
–
навыками
решения
формализованных
физико
-
механических
задач
.
8
1.
Математическое
моделирование
физических
задач
1.1.
Вывод
уравнений
одномерной
теплопроводности
Пусть
дано
материальное
тело
,
расположенное
между
точками
a
x
и
b
x
оси
Ox
,
продольный
размер
которого
значительно
превосходит
размеры
поперечного
сечения
,
например
,
тонкий
стержень
,
длинный
трубопровод
и
т
.
д
.
В
дальнейшем
будем
называть
это
тело
стержнем
.
Будем
считать
площадь
)
(
x
S
поперечного
сечения
(
перпендикулярного
оси
Ox
)
настолько
малой
,
что
всем
точкам
одного
сечения
в
момент
времени
t
можно
приписать
одну
и
ту
же
температуру
)
,
(
t
x
u
.
Будем
считать
,
что
стержень
теплоизолирован
вдоль
боковой
поверхности
,
а
внутри
стержня
нет
источников
или
стоков
(
поглотителей
)
тепла
.
Рассмотрим
элемент
стержня
между
его
сечениями
с
абсциссами
x
и
dx
x
.
Найдем
количество
тепла
,
которое
накапливается
в
элементе
за
время
dt
.
Согласно
закону
Фурье
интенсивность
)
,
(
t
x
q
теплового
потока
в
сечении
x
определяется
выражением
:
x
t
x
u
x
K
t
x
q
)
,
(
)
(
)
,
(
,
где
)
(
x
K
–
коэффициент
теплопроводности
)
0
)
(
(
x
K
.
Тогда
разность
Q
d
между
количеством
тепла
,
вошедшим
в
элемент
через
сечение
x
и
вышедшим
через
сечение
dx
x
за
время
dt
,
будет
равна
:
dt
x
t
dx
x
u
dx
x
S
dx
x
K
dt
x
t
x
u
x
S
x
K
Q
d
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
.
Используя
формулу
Тейлора
первого
порядка
с
остаточным
членом
в
форме
Пеано
для
функций
)
,
(
),
(
),
(
t
dx
x
u
dx
x
S
dx
x
K
x
,
имеем
).
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
2
dxdt
o
dxdt
x
t
x
x
S
x
K
x
dt
dx
o
dx
x
t
x
u
x
t
x
u
dx
o
dx
x
S
x
S
dx
o
dx
x
K
x
K
dt
x
t
x
u
x
S
x
K
Q
d
(1.1)
Напомним
,
что
символом
)
(
x
o
обозначается
величина
бесконечно
малая
более
высокого
порядка
,
чем
x
.
С
другой
стороны
,
за
счет
притока
тепла
температура
в
элементе
изменяется
,
и
количество
тепла
dQ
,
поглощаемое
элементом
за
время
dt
,
равно
dx
x
x
dv
t
v
u
dt
t
v
u
v
v
S
v
C
dQ
,
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
где
)
(
x
C
–
теплоемкость
; )
(
x
–
объемная
плотность
вещества
стержня
0
)
(
,
0
)
(
x
x
C
.
9
Откуда
,
на
основании
теоремы
о
среднем
для
определяемого
интеграла
,
получаем
равенство
,
,
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
dx
x
x
dx
t
u
dt
t
u
S
c
dQ
которое
при
помощи
теоремы
Лагранжа
о
конечных
приращениях
преобразуется
к
виду
(0,1).
,
)
,
(
)
(
)
(
)
(
dtdx
t
dt
t
u
S
c
dQ
(1.2)
Приравнивая
,
на
основании
закона
сохранения
энергии
,
выражения
(1.1),
(1.2)
и
осуществляя
предельный
переход
при
0
dt
,
получаем
одномерное
уравнение
теплопроводности
в
виде
.
t
u
S
C
x
u
KS
x
Предположим
теперь
,
что
внутри
стержня
происходит
выделение
или
поглощение
тепла
(
это
имеет
место
,
например
,
при
прохождении
по
телу
электрического
тока
или
вследствие
происходящих
в
нем
химических
реакций
).
Тогда
количество
тепла
,
накопленное
в
элементе
стержня
за
время
dt
за
счет
внутренних
источников
,
будет
равно
dxdt
t
x
SF
dQ
o
)
,
(
,
где
)
,
(
t
x
F
–
плотность
тепловых
источников
внутри
стержня
.
Уравнение
теплопроводности
с
учетом
внутренних
источников
тепла
принимает
вид
o
dQ
Q
d
dQ
или
.
SF
x
u
KS
x
t
u
S
C
(1.3)
Предположим
далее
,
что
на
боковой
поверхности
стержня
происходит
теплообмен
с
окружающей
средой
.
Тогда
тепловой
поток
,
проходящий
за
время
dt
через
боковую
поверхность
элемента
,
согласно
закону
Ньютона
пропорционален
разности
температур
поверхности
тела
и
окружающей
среды
и
определяется
выражением
,
)
,
(
)
,
(
)
(
*
*
dxdt
t
x
T
t
x
u
x
dQ
где
)
,
(
t
x
T
–
температура
внешней
среды
;
)
(
*
x
–
коэффициент
теплообмена
,
зависящий
от
свойств
материала
стержня
и
внешней
среды
,
режима
взаимодействия
(
условий
контакта
)
стержня
с
внешней
средой
,
а
также
от
геометрических
характеристик
поперечного
сечения
.
Уравнение
теплопроводности
с
учетом
внутренних
источников
тепла
и
теплообмена
на
боковой
поверхности
имеет
вид
o
dQ
dQ
Q
d
dQ
*
или
).
,
(
*
t
x
SF
T
u
x
u
KS
x
t
u
S
C
(1.4)
Заметим
,
что
если
тепло
распространяется
в
жидкости
,
которая
движется
со
скоростью
)
,
(
t
x
V
параллельно
оси
x
,
то
уравнение
теплопроводности
запишется
следующим
образом
:
10
).
,
(
)
(
*
t
x
SF
T
u
x
u
KS
x
x
u
V
t
u
S
C
Если
тело
однородно
,
т
.
е
.
K
С
,
,
–
постоянные
,
и
площадь
сечения
S
постоянна
,
то
уравнение
(1.4)
можно
записать
в
виде
,
)
,
(
*
2
2
2
C
t
x
F
S
C
T
u
x
u
a
t
u
где
C
K
a
/
2
–
коэффициент
температуропроводности
.
Аналогично
уравнению
(1.3)
выводится
уравнение
,
описывающее
процесс
распространения
тепла
в
трехмерных
телах
)
,
,
,
(
grad
)
,
,
(
div
t
z
y
x
F
u
z
y
x
K
t
u
C
или
в
развернутой
форме
)
,
,
,
(
t
z
y
x
F
z
u
K
z
y
u
K
y
x
u
K
x
t
u
C
. (1.5)
Для
однородных
тел
уравнение
(1.5)
удобно
представить
в
виде
.
,
)
,
,
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
C
K
a
C
t
z
y
x
F
z
u
y
u
x
u
a
t
u
Для
двухмерных
тепловых
полей
в
пластинах
,
тонких
плитах
уравнение
(1.5)
примет
вид
)
,
,
(
t
y
x
F
y
u
K
y
x
u
K
x
t
u
C
(1.6)
или
для
однородных
пластин
.
,
)
,
,
(
2
2
2
2
2
2
C
K
a
C
t
y
x
F
y
u
x
u
a
t
u
1.2.
Постановка
краевой
задачи
одномерной
стационарной
теплопроводности
Согласно
(1.4)
стационарное
(
установившееся
во
времени
)
распределение
теплового
поля
в
стержне
постоянного
поперечного
сечения
)
)
(
(
const
x
S
описывается
уравнением
).
(
)
(
)
(
x
g
y
x
y
x
K
y
L
(1.7)
В
(1.7)
введены
обозначения
).
(
)
(
)
(
)
(
,
/
)
(
)
(
),
(
)
(
*
x
T
x
x
F
x
g
S
x
x
x
u
x
y
Перечислим
основные
типы
граничных
условий
(
на
примере
левого
конца
стержня
при
a
x
).
а
)
Известная
температура
при
a
x
:
.
)
(
a
T
a
y