ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 3905
Скачиваний: 2
16
Заметим
,
что
при
выводе
уравнения
(1.19)
предполагалось
,
что
реакция
основания
пропорциональна
его
деформации
(
модель
Винклера
).
В
статических
задачах
профиль
струны
)
(
x
u
u
определяется
,
согласно
(1.12),
решением
уравнения
.
)
(
)
(
0
0
T
x
F
u
T
x
u
(1.20)
1.6.
Вывод
уравнений
продольных
и
крутильных
колебаний
стержня
Для
вязкоупругого
тела
при
одномерном
растяжении
(
сжатии
)
связь
между
деформацией
(
относительным
удлинением
) )
,
(
t
x
и
напряжением
)
,
(
t
x
представляется
формулой
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
t
t
x
t
x
d
x
t
x
R
t
x
t
x
E
t
x
t
(1.21)
где
E
–
модуль
упругости
;
R
–
ядро
релаксации
,
учитывающее
старение
материала
тела
;
–
коэффициент
внутреннего
трения
.
Заметим
,
если
0
R
и
0
,
то
получаем
закон
Гука
для
упругого
тела
.
Рассмотрим
элемент
стержня
(
рис
. 1.2),
заключенный
между
поперечным
сечением
с
координатами
x
и
dx
x
.
Рис
. 1.2
Иллюстрация
к
выводу
уравнения
продольных
колебаний
стержня
В
сечении
«
x
»
на
элемент
действует
сила
)
(
)
,
(
)
,
(
x
S
t
x
t
x
N
,
где
)
(
x
S
–
площадь
сечения
,
в
сечении
«
dx
x
» –
сила
))
(
)
,
(
)
,
(
dx
x
S
t
dx
x
t
dx
x
N
.
Предполагая
,
что
на
стержень
действует
внешняя
нагрузка
,
распределенная
по
длине
стержня
с
объемной
плоскостью
)
,
(
t
x
F
,
аналогично
выводу
уравнения
(1.18)
получаем
уравнение
продольных
колебаний
стержня
следующего
вида
:
),
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
2
t
x
F
x
S
t
x
x
S
x
t
t
x
u
x
S
x
(1.22)
где
)
(
x
–
объемная
плотность
материала
стержня
; )
,
(
t
x
u
–
продольное
смещение
сечения
стержня
с
координатой
x
в
момент
времени
t
от
положения
,
которое
занимало
это
сечение
,
когда
стержень
находился
в
ненапряженном
состоянии
.
Учитывая
,
что
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
0
x
t
x
u
dx
t
x
u
t
dx
x
u
t
x
dx
и
подставляя
(1.21)
в
(1.22),
имеем
17
).
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
0
2
2
t
x
F
x
S
t
x
t
x
u
x
S
t
x
d
x
x
u
t
x
R
x
t
x
u
t
x
E
x
S
x
t
t
x
u
x
S
x
t
Если
боковая
поверхность
стержня
скреплена
с
вязкоупругим
основанием
(
модель
Винклера
),
то
приходим
к
следующему
уравнению
:
),
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
0
2
0
2
2
t
x
F
x
S
t
t
x
u
t
x
d
x
u
t
x
Q
t
x
u
t
x
t
x
t
x
u
x
S
t
x
d
x
x
u
t
x
R
x
t
x
u
t
x
E
x
S
x
t
t
x
u
x
S
x
t
t
(1.23)
где
)
,
(
),
,
(
t
x
t
x
–
коэффициенты
жесткости
и
демпфирования
основания
;
)
,
,
(
t
x
Q
–
ядро
релаксации
основания
.
Заметим
,
что
форма
записи
уравнения
(1.23)
не
изменится
,
если
считать
S
и
зависящими
от
времени
t
.
Статические
продольные
смещения
)
(
x
u
сечений
стержня
определяются
,
согласно
(1.23),
решением
уравнения
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
F
x
S
u
x
u
x
E
x
S
(1.24)
Для
вязкоупругого
стержня
,
находящегося
в
состоянии
кручения
(
рис
. 1.3),
связь
между
напряжением
,
вызванным
сдвигом
образующей
на
угол
,
и
этим
углом
может
быть
представлена
формулой
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
t
t
x
t
x
d
x
t
x
R
t
x
t
x
G
t
x
t
(1.25)
где
G
–
модуль
сдвига
;
R
–
ядро
релаксации
стержня
;
–
коэффициент
внутреннего
трения
.
Заметим
,
если
0
,
0
R
,
то
получаем
известный
закон
сдвига
для
упругого
тела
.
Если
обозначить
через
)
,
(
t
x
u
угол
поворота
сечения
с
координатой
x
,
то
(
см
.
рис
. 1.3)
из
равенства
dx
rdu
,
имеем
x
u
r
. (1.26)
Рис
.1.3.
Иллюстрация
к
выводу
уравнения
крутильных
колебаний
стержня
18
Крутящий
момент
)
,
(
t
x
M
,
действующий
в
сечении
S
стержня
,
соответствующем
координате
x
,
определяется
формулой
S
ds
r
t
x
M
)
,
(
.
Отсюда
,
используя
выражения
(1.25), (1.26),
получаем
,
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
2
0
0
0
t
x
t
x
u
x
J
t
x
d
x
x
u
t
x
R
x
t
x
u
t
x
G
x
J
t
x
M
t
(1.27)
где
S
dS
r
J
2
0
–
полярный
момент
инерции
сечения
.
Рассмотрим
элемент
стержня
,
заключенный
между
поперечными
сечениями
с
координатами
x
и
dx
x
(
рис
. 1.3).
В
сечении
«
x
»
действует
крутящий
момент
)
,
(
t
x
M
,
в
сечении
«
dx
x
» –
)
,
(
t
dx
x
M
.
Предполагая
,
что
на
стержень
действует
крутящий
момент
внешних
сил
,
распределенный
по
длине
стержня
с
линейной
плотностью
)
,
(
t
x
F
,
из
уравнения
динамического
равновесия
получаем
,
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
0
1
dx
t
F
dx
o
dx
x
t
x
M
t
t
u
J
где
–
плотность
стержня
;
1
и
2
–
принадлежат
dx
x
x
,
.
Откуда
аналогично
уравнению
(1.18)
получаем
уравнение
крутильных
колебаний
стержня
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
2
2
0
t
x
F
x
t
x
M
t
t
x
u
x
J
x
которое
,
с
учетом
(1.27),
принимает
вид
).
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
0
0
0
2
2
0
t
x
F
t
x
t
x
u
x
J
t
x
d
x
x
u
t
x
R
x
t
x
u
t
x
G
x
J
x
t
t
x
u
x
J
x
t
Если
боковая
поверхность
стержня
скреплена
с
вязкоупругим
основанием
(
модель
Винклера
),
то
для
описания
крутильных
колебаний
приходим
к
уравнению
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
0
2
0
0
0
2
2
0
t
x
F
t
t
x
u
t
x
d
x
u
t
x
Q
t
x
u
t
x
t
x
t
x
u
x
J
t
x
d
x
x
u
t
x
R
x
t
x
u
t
x
G
x
J
x
t
t
x
u
x
J
x
t
t
(1.28)
где
Q
,
,
–
коэффициенты
жесткости
,
демпфирования
и
ядро
релаксации
основания
.
19
Заметим
,
что
форма
записи
уравнения
(1.27)
не
изменится
,
если
считать
и
0
J
функциями
двух
переменных
x
и
t
.
Статические
углы
поворота
)
(
x
u
сечений
стержня
при
кручении
определяются
,
согласно
(1.28),
решением
уравнения
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
x
F
x
u
x
u
x
G
x
J
. (1.29)
1.7.
Постановка
статических
краевых
задач
для
струны
и
стержня
В
статическом
варианте
профиль
струны
,
продольные
и
угловые
перемещения
сечений
стержня
,
согласно
(1.20), (1.24)
и
(1.29),
определяется
решением
уравнения
),
(
)
(
)
)
(
(
)
(
x
g
y
x
y
x
K
y
L
(1.30)
где
b
x
a
x
u
x
y
);
(
)
(
;
),
(
)
(
,
)
(
0
x
F
x
g
T
x
K
если
рассматривается
задача
(1.20);
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
x
F
x
S
x
g
x
E
x
S
x
K
если
–
задача
(1.24);
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
0
x
F
x
g
x
G
x
J
x
K
если
–
задача
(1.29).
Перечислим
основные
типы
граничных
условий
при
a
x
для
уравнений
(1.20), (1.24), (1.29)
в
обозначениях
уравнения
(1.30).
а
) 0
)
(
a
y
;
это
условие
соответствует
жесткому
закреплению
левого
конца
струны
и
стержня
.
б
)
a
q
a
y
a
K
)
(
)
(
;
это
условие
соответствует
заданию
на
левом
конце
стержня
продольной
силы
a
q
a
N
)
(
для
задачи
(1.24)
и
заданию
крутящего
момента
a
q
a
M
)
(
в
случае
задачи
(1.29).
В
частности
,
если
левый
конец
свободен
,
то
0
a
q
.
в
)
)
(
)
(
)
(
a
y
a
y
a
K
a
;
это
условие
соответствует
упругому
закреплению
левого
конца
стержня
,
когда
)
(
a
y
q
a
a
(
a
q
или
равно
)
(
a
N
,
или
–
)
(
a
M
),
где
a
–
соответствующий
задаче
(1.24)
или
(1.29)
коэффициент
закрепления
.
Аналогичные
краевые
условия
могут
быть
заданы
и
на
правом
конце
струны
или
стержня
при
b
x
.
Очевидно
,
что
все
возможные
варианты
краевых
условий
для
уравнения
(1.30)
можно
получить
из
условий
(1.8)
при
соответствующем
выборе
значений
коэффициентов
i
i
b
a
, .
Таким
образом
,
рассматриваемые
статические
краевые
задачи
для
струны
и
стержня
математически
формулируется
так
же
,
как
и
задача
стационарной
теплопроводности
из
раздела
1.2.
1.8.
Краевые
задачи
в
теории
колебаний
струн
и
стержней
Предположим
,
что
геометрические
и
прочностные
характеристики
упругих
тел
(
струны
,
стержня
)
и
оснований
,
на
которые
они
опираются
,
зависят
только
от
x
,
и
запишем
уравнения
движения
без
учета
демпфирования
и
старения
.
20
Уравнение
продольных
колебаний
струны
).
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
2
2
0
2
2
t
x
F
t
x
u
x
x
t
x
u
T
t
t
x
u
x
(1.31)
Уравнение
продольных
колебаний
стержня
).
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
2
t
x
F
x
S
t
x
u
x
x
t
x
u
x
E
x
S
x
t
t
x
u
x
S
x
(1.32)
Уравнение
крутильных
колебаний
стержня
).
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
0
2
2
0
t
x
F
t
x
u
x
x
t
x
u
x
G
x
J
x
t
t
x
u
x
J
x
(1.33)
Уравнения
(1.31)–(1.33)
являются
уравнениями
гиперболического
типа
.
Рассмотрим
гармонические
колебания
упругих
тел
.
В
этом
случае
решение
уравнений
(1.31)–(1.33)
и
приложенную
внешнюю
нагрузку
)
,
(
t
x
F
представим
в
виде
:
),
sin(
)
(
)
,
(
),
sin(
)
(
)
,
(
*
*
t
x
F
t
x
F
t
x
u
t
x
u
(1.34)
где
(
частота
колебаний
)
и
–
постоянные
.
Тогда
для
)
(
)
(
*
x
y
x
u
получим
уравнение
(1.30),
в
котором
)
(
x
F
следует
заменить
на
)
(
*
x
F
,
а
)
(
x
–
на
)
(
*
x
,
где
2
*
)
(
)
(
)
(
x
x
x
соответствует
уравнению
(1.31),
2
*
)
(
)
(
)
(
)
(
x
S
x
x
x
–
уравнению
(1.32),
2
0
*
)
(
)
(
)
(
)
(
x
J
x
x
x
–
уравнению
(1.33).
Приведем
основные
типы
граничных
условий
при
a
x
.
а
) );
(
)
,
(
t
t
x
u
a
это
условие
соответствует
движению
левого
конца
струны
или
стержня
по
закону
)
(
t
a
.
б
)
);
(
)
,
(
)
(
t
q
x
t
a
u
a
K
a
это
условие
соответствует
заданию
на
левом
конце
стержня
продольной
силы
)
(
)
,
(
t
q
t
a
N
a
для
задачи
(1.32)
и
заданию
крутящего
момента
)
(
)
,
(
t
q
t
a
M
a
в
случае
задачи
(1.33).
В
частности
,
если
левый
конец
свободен
,
то
0
a
q
.
в
)
;
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
t
t
a
u
x
t
a
u
a
K
a
a
это
условие
соответствует
упругому
закреплению
левого
сечения
стержня
,
движущегося
(
вращающегося
)
по
закону
)
(
t
a
.
Предполагая
функции
)
(
),
(
),
(
t
q
t
t
a
a
a
периодическими
во
времени
,
аналогично
(1.34)
положим
),
sin(
)
(
),
sin(
)
(
),
sin(
)
(
0
0
0
t
q
t
q
t
t
t
t
a
a
a
a
a
a
где
0
0
0
,
,
a
a
a
q
–
постоянные
.
Тогда
для
)
(
)
(
*
x
y
x
u
будем
иметь
граничные
условия
следующего
вида
:
а
)
;
)
(
0
a
a
y