ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 3907
Скачиваний: 2
11
б
)
Задана
интенсивность
теплового
потока
через
торцевое
сечение
a
x
:
).
(
,
)
(
a
K
K
q
a
y
K
a
a
a
В
частности
,
если
стержень
теплоизолирован
при
a
x
,
то
0
)
(
a
y
.
в
)
На
конце
a
x
имеет
место
теплообмен
с
окружающей
средой
известной
температуры
a
T
:
K(a).
, K
T
y(a)
α
(a)
y
K
a
a
a
a
Здесь
a
–
коэффициент
теплообмена
на
конце
a
x
.
Последнее
условие
(
условие
Ньютона
)
означает
,
что
тепловой
поток
,
передаваемый
в
единицу
времени
с
единицы
площади
поверхности
в
окружающую
среду
,
пропорционален
разности
температур
поверхности
тела
и
окружающей
среды
.
Аналогичные
краевые
условия
могут
быть
заданы
и
на
правом
конце
стержня
при
b
x
.
Например
,
условие
теплообмена
при
b
x
имеет
вид
).
)
(
(
)
(
b
b
b
T
b
y
b
y
K
В
таблице
1.1
приведены
возможные
варианты
краевых
условий
для
определения
стационарного
распределения
температуры
в
стержне
согласно
уравнению
(1.7).
Таблица
1.1
Варианты
краевых
условий
для
уравнения
(1.7)
x
№
a
x
b
x
1
a
T
y
b
T
y
2
a
T
y
b
b
q
y
K
3
a
T
y
)
(
b
b
b
T
y
y
K
4
a
a
q
y
K
b
T
y
5
a
a
q
y
K
b
b
q
y
K
6
a
a
q
y
K
)
(
b
b
b
T
y
y
K
7
)
(
a
a
a
T
y
y
K
b
T
y
8
)
(
a
a
a
T
y
y
K
b
b
q
y
K
9
)
(
a
a
a
T
y
y
K
)
(
b
b
b
T
y
y
K
Напомним
еще
раз
используемые
в
таблице
1.1
обозначения
:
)
(
),
(
b
K
K
a
K
K
b
a
–
коэффициенты
теплопроводности
;
b
а
α
α
,
–
коэффициенты
теплообмена
на
левом
и
правом
концах
стержня
соответственно
;
b
а
T
T
, –
температуры
,
которые
поддерживаются
на
концах
стержня
при
a
x
и
при
b
x
;
b
а
q
q
, –
интенсивности
тепловых
потоков
при
a
x
и
при
b
x
.
Очевидно
,
что
все
приведенные
в
таблице
1.1
варианты
краевых
условий
можно
записать
в
виде
,
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
0
b
b
y
b
b
y
b
a
a
y
a
a
y
a
(1.8)
12
при
соответствующем
выборе
значений
коэффициентов
.
,
i
i
b
a
Например
,
для
первого
варианта
условий
из
таблицы
1.1
имеем
;
,
0
,
1
,
,
0
,
1
2
2
0
2
1
0
b
a
T
b
b
b
T
a
a
a
а
для
девятого
–
;
,
,
,
,
,
2
1
0
2
1
0
b
b
b
a
a
a
a
a
T
b
K
b
b
T
a
K
a
a
Таким
образом
,
математическая
задача
одномерной
стационарной
теплопроводности
формулируется
следующим
образом
:
требуется
найти
функцию
)
(
x
y
,
удовлетворяющую
на
отрезке
b
a
,
обыкновенному
линейному
дифференциальному
уравнению
(1.7),
а
на
концах
отрезка
–
граничным
условиям
(1.8).
1.3.
Постановка
начально
-
краевой
задачи
нестационарной
одномерной
теплопроводности
В
разделе
1.2
рассмотрена
краевая
задача
для
одномерного
стационарного
уравнения
теплопроводности
(1.7),
которая
представляет
собой
краевую
задачу
для
обыкновенного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
.
В
случае
нестационарной
теплопроводности
к
краевым
(
граничным
)
условиям
(1.8)
добавляется
начальное
условие
в
некоторый
начальный
момент
времени
0
t
t
(
обычно
0
t
)
)
(
)
,
(
0
x
t
x
u
, (1.9)
и
говорят
,
что
задана
начально
-
краевая
задача
для
уравнения
параболического
типа
(1.4).
1.4.
Постановка
краевых
задач
двухмерной
стационарной
теплопроводности
Согласно
(1.6)
стационарное
(
установившееся
во
времени
)
распределение
теплового
поля
в
пластине
описывается
уравнением
)
,
(
y
x
F
y
u
K
y
x
u
K
x
. (1.10)
При
решении
краевых
задач
для
уравнения
эллиптического
типа
(1.10)
наиболее
часто
используются
три
типа
краевых
условий
.
а
)
Краевая
задача
с
граничными
условиями
первого
рода
(
первая
краевая
задача
).
Требуется
найти
решение
уравнения
(1.10)
в
некоторой
области
D
,
принимающее
на
границе
этой
области
заданные
значения
.
Т
.
е
.
нужно
найти
13
(
применительно
к
рассматриваемой
задаче
)
стационарное
распределение
температуры
внутри
области
,
если
задана
температура
на
границе
этой
области
)
,
(
y
x
g
u
D
. (1.11)
Здесь
D
–
граница
области
D
, )
,
(
y
x
g
–
известная
функция
.
б
)
Краевая
задача
с
граничными
условиями
второго
рода
(
вторая
краевая
задача
).
Требуется
найти
решение
уравнения
(1.10)
в
некоторой
области
,
на
границе
которой
задана
внешняя
нормальная
производная
n
u
(
т
.
е
.
на
границе
задана
интенсивность
теплового
потока
)
)
,
(
y
x
q
n
u
K
D
или
0
)
,
(
y
x
q
n
u
D
, (1.12)
где
K
q
q
.
Здесь
D
–
граница
области
D
, )
,
(
y
x
q
–
интенсивность
теплового
потока
.
При
этом
,
если
0
q
,
то
тепловой
поток
направлен
наружу
,
а
если
0
q
,
то
тепловой
поток
направлен
внутрь
области
.
При
0
q
имеем
условие
теплоизоляции
0
n
u
.
в
)
Краевая
задача
с
граничными
условиями
третьего
рода
(
третья
краевая
задача
).
Требуется
найти
решение
уравнения
(1.9)
в
некоторой
области
,
которое
удовлетворяет
на
границе
условию
T
u
n
u
K
D
D
или
T
u
n
u
D
D
, (1.13)
где
K
.
Здесь
D
–
граница
области
D
,
на
которой
задан
теплообмен
с
окружающей
средой
,
температура
которой
равна
T
;
–
коэффициент
теплообмена
.
Если
на
различных
частях
границы
D
заданы
условия
различного
рода
,
то
такие
условия
и
соответствующие
им
задачи
называют
смешанными
.
1.5.
Вывод
уравнений
поперечных
колебаний
струны
Рассмотрим
тонкую
гибкую
упругую
нить
(
струну
),
которая
в
положении
равновесия
занимает
отрезок
b
a
,
оси
Ox
и
концы
которой
закреплены
.
Полагая
струну
тонкой
,
пренебрегаем
весом
струны
по
сравнению
с
внутренними
силами
натяжения
и
внешней
нагрузкой
.
Полагая
струну
гибкой
,
считаем
,
что
внутренние
усилия
,
возникающие
в
струне
,
направлены
по
касательной
к
мгновенному
профилю
в
каждой
точке
,
т
.
е
.
струна
не
14
сопротивляется
изгибу
.
Предполагаем
также
,
что
внешние
силы
лежат
в
вертикальной
плоскости
,
в
которой
совершают
колебания
точки
струны
.
Рассмотрим
элемент
струны
между
точками
x
и
dx
x
(
рис
. 1.1)
и
обозначим
смещение
точек
струны
через
)
,
(
t
x
u
,
а
длину
элемента
струны
через
ds
.
Тогда
dx
x
x
dx
x
u
ds
2
1
2
1
,
откуда
,
предполагая
смещение
струны
)
,
(
t
x
u
малыми
настолько
,
что
1
2
x
u
, (1.14)
получаем
dx
ds
,
т
.
е
.
в
пределах
принятой
точности
удлинения
участков
струны
в
процессе
колебаний
не
происходит
.
Следовательно
,
согласно
закону
Гука
величина
натяжения
в
каждой
точке
струны
не
меняется
со
временем
и
является
функцией
только
x
,
т
.
е
. )
(
x
T
T
.
Рис
. 1.1.
Иллюстрация
к
выводу
уравнения
колебаний
струны
Запишем
условия
динамического
равновесия
элемента
струны
,
на
который
действуют
в
плоскости
Oxu
силы
натяжения
)
(
1
x
T
T
,
)
(
2
dx
x
T
T
,
внешняя
распределенная
по
длине
дуги
с
линейной
плотностью
)
,
(
t
x
F
поперечная
сила
и
сила
инерции
,
направленная
вдоль
оси
Ou
.
Проектируя
силы
на
ось
Ox
,
получаем
.
0
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
1
2
x
T
dx
x
T
(1.15)
Так
как
,
согласно
тождествам
тригонометрии
и
геометрического
смысла
производной
,
,
)
,
(
1
1
)
(
tg
1
1
)
cos(
,
)
,
(
1
1
)
(
tg
1
1
)
cos(
2
1
2
1
2
2
2
2
x
t
x
u
x
t
dx
x
u
(1.16)
15
то
,
учитывая
условие
(1.15),
из
(1.16)
получим
)
(
)
(
x
T
dx
x
T
.
Откуда
,
в
силу
произвольности
выбора
точек
x
и
dx
x
,
следует
,
что
величина
натяжения
не
зависит
и
от
x
,
т
.
е
.
является
постоянной
,
const
T
x
T
0
)
(
.
Проектируя
теперь
все
силы
на
ось
Ou
,
получаем
dx
x
x
dx
x
x
dz
t
z
F
T
T
dz
t
t
z
u
z
,
)
,
(
)
sin(
)
sin(
)
,
(
)
(
1
0
2
0
2
2
(1.17)
где
)
(
x
–
линейная
плотность
струны
.
Аналогично
формулам
(1.16)
устанавливаем
,
)
,
(
1
)
,
(
)
(
tg
1
)
(
tg
)
sin(
2
2
2
2
2
x
t
dx
x
u
x
t
dx
x
u
,
)
,
(
1
)
,
(
)
(
tg
1
)
(
tg
)
sin(
2
1
2
1
1
x
t
x
u
x
t
x
u
откуда
,
согласно
условию
(1.14),
имеем
.
)
,
(
)
sin(
,
)
,
(
)
sin(
1
2
x
t
x
u
x
t
dx
x
u
Теперь
,
применяя
для
входящих
в
формулу
(1.17)
интегралов
теорему
о
среднем
,
а
для
)
,
(
t
dx
x
u
x
–
формулу
Тейлора
первого
порядка
с
остатком
в
форме
Пеано
,
получаем
,
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
2
2
2
0
2
1
2
1
dx
t
F
dx
o
dx
x
t
x
u
T
dx
t
t
u
где
1
и
2
принадлежат
отрезку
dx
x
x
,
.
Почленно
деля
последнее
равенство
на
dx
и
осуществляя
предельный
переход
при
0
dx
,
получаем
уравнение
колебания
струны
следующего
вида
:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
2
2
0
2
2
t
x
F
x
t
x
u
T
t
t
x
u
x
. (1.18)
Если
струна
дополнительно
по
всей
длине
связана
с
вязкоупругим
основанием
,
то
для
описания
ее
колебания
можно
получить
уравнение
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
0
2
2
0
2
2
t
x
F
t
t
x
u
t
x
d
x
u
t
x
Q
t
x
u
t
x
x
t
x
u
T
t
t
x
u
x
t
(1.19)
где
)
,
(
),
,
(
t
x
t
x
–
коэффициенты
жесткости
и
демпфирования
основания
;
)
,
,
(
t
x
Q
–
ядро
релаксации
,
учитывающее
изменение
с
течением
времени
физико
-
механических
свойств
материала
основания
(
т
.
е
.
его
старение
).