Правильность выполненного расчета контролируется по совпадению полученных результатов расчета массы смеси газов в сечении (3-3) со значением величины массы в сечении (2-2), т.к. для закрытой термодинамической системы должен выполняться закон сохранения материи. Для выполнения закона сохранения энергии энтальпия в сечении 3-3 для равновесного состава и температуры Т₃ в состоянии равновесия термодинамической системы должна быть равна энтальнии смеси газов в сечении 2-2камеры сгорания ЖРД. Если такого совпадения не наблюдается, то расчет выполнен неправильно и требуется найти ошибку в расчете. В ряде случаев ошибка может быть связана с неправильным определением температуры Т₃, или если не выполнена операция интерполяции табличных данных. Процесс сгорания топлива в камере сгорания ЖРД идет практически до конца и, при правильном и точном определении термодинамических параметров строго выполняются условия проверки расчета: m₃=m₂ иH₃=H₂.

Расчет параметров в выходном сечении сопла 4-4.

Процесс истечения смеси газов из сопла является адиабатным, т.е. теплообмен с окружающей средой отсутствует (Q=0). При этом предполагается отсутствие трения и других видов потерь энергии при течении в сопле, т.е. процесс является изоэнтропийным (dS =0) и энтропия в выходном сечении 4-4 сопла S₄ равна энтропии в сечении 3-3 на входе в сопло S₃.

Принимается, что сопло работает на расчетном режиме истечения газа и давление на срезе сопла р₄ равно давлению окружающей среды на расчетной высоте у, т.е. р₄=р_у. Давление р₄=р_у определяется по таблицам международной стандартной атмосферы.

Таким образом, для простой закрытой системы фиксированными параметрами в сечении 4-4 сопла являются два параметра: энтропия S₄ и давление р₄. Принимается также, что химический состав продуктов сгорания при течении в сопле равен составу продуктов сгорания в сечении 3-3 на входе в сопло, т.е. химических реакций в сопле не происходит, и величины, характеризующие состав смеси газов, являются известными величинами:
(n_i)₄=(n_i)₃ , n₄=n₃, (x_i)₄=(x_i)₃, (m_i)₄=(m_i)₃, m₄=m₃, (_i)₄=(_i)₃, ₄()₃ как показано в сводной таблице расчетов.

Неизвестной величиной при такой постановке задачи является только температура в выходном сечении сопла Т₄.

Температура Т₄ определяется графоаналитическим способом из уравнения баланса энтропий:

(29)

где - относительное парциальное давление i-ой компоненты смеси газов.

(30)

где - относительное давление смеси газа в сечении 4-4, р⁰=101325Па; x_i=n_i/n₄.

Задаваясь табличными значениями температуры Т строится график зависимости S=S , где S=. При выборе этих значений температур используется оценка температуры в предположении адиабатного процесса расширения для идеального газа при C_p=constи при постоянном показателе адиабаты к в течение всего процесса расширения по формуле:

(31)

---

где к=к₃ – показатель адиабаты в сечении 3-3.

Абсцисса в точке пересечения прямой S₄=S₃ с зависимостью S=S , определяет искомую температуру смеси газа в сечении 4-4 сопла Т₄, получаемой с учетом переменности теплоемкости С_р и показателя адиабаты к при течении в сопле ЖРД, которая численно отличается от значения температуры , рассчитанной по формуле (31).

По известному химическому составу смеси газов и известным значениям температуры T₄ и давления р₄ рассчитываются все параметры рабочего тела на срезе сопла по формулам (7)(16), которые заносятся в сводную таблицу результатов термодинамического расчета ракетного двигателя.

Расчет считается правильным если S₄, рассчитанная по формуле (12) при температуре Т₄ и давлении р₄, совпадает со значениями энтропии S₃.

Расчет скорости истечения продуктов сгорания из сопла ЖРД, числа Маха и тяги двигателя.

Скорость истечения смеси газов из сопла Лаваля определяется по результатам расчета энтальпий в сечениях 2-2 и 4-4 двигателя с использованием таблиц индивидуальных веществ:

(32)

где m₄=m₃=m₂ [кг] в соответствии с законом сохранения массы; H₂=H₃ [Дж] в соответствии с законом сохранения энергии.

Определяется число Маха на выходе из сопла:

M_c= (33)

где [м/с] скорость звука в сечении 4-4 сопла.

Тяга двигателя на расчетной высоте у(р₄=р_у):

, Н (34)

где [кг/с] - секундный расход топлива (заданная величина).

Интерполяция табличных данных.

При расчете параметров в сечениях 3-3 и 4-4 двигателя табличные значения температуры могут не совпадать с рассчитанными значениями температуры в рассматриваемых сечениях, поэтому возникает необходимость проводить линейную интерполяцию при определении из таблиц, например, избыточной энтальпии , теплоемкости , энтропии .

Интерполяция может проводиться либо графически, либо расчетным путем. Например, при определении некоторого параметра Y_x при температуре T_xстроится график искомой функции Y=Y(T) по двум значениям температуры T₁ и Т₂ :

Тогда искомое значение функции Y_x=Y(T_x) определяется либо графически по пересечению прямой T=T_x=const с зависимостью Y=Y(T), либо расчетным путем из соотношения:

Тогда (35)

Пример термодинамического расчета ракетного двигателя с учетом одной химической реакции

Исходные данные:

Высота полета y=5км; давление в камере сгорания ; горючее – метан СН₄; окислитель – смесь дикислорода и диазота ; коэффициент избытка окислителя , секундный расход топлива кг/с.

Уравнение химической реакции

CH₄+2O₂=CO₂+2H₂O

,

или CO₂+2H₂O-CH₄-2O₂-ON₂=0,

,

В этом случае =0,5моль, =0.

Результаты расчета ЖРД с учетом одной химической реакции представлены в следующей таблице.

обозначения	ед. измерения	сечение 2-2	сечение 3-3	сечение 4-4
T	K	298,15	2921,36	1038
p	Пa	11145750	11145750	54048,3
V	м3	0,0008383	0,0082108	0,6018740
n	моль	1	0,0000001	0,0000001
n	моль	2,225806	2,225806	2,225806
n	моль	0,543478	0,043478	0,43478
n	моль	0	0,49999995	0,49999995
n	моль	0	0,9999999	0,9999999
n	моль	3,769284	3,769284	3,769284
m	кг	0,032	0,00000000032	0,00000000032
m	кг	0,062323	0,062323	0,062323
m	кг	0,0086944	0,0006956	0,0006956
m	кг	0	0,021999997	0,021999997
m	кг	0	0,017999998	0,017999998
m	кг	0,103017	0,103017	0,103017
	кг/моль	0,02733	0,02733	0,02733
	кг/м3	122,8880	12,5465	0,17116
R’	Дж/(кгK)	304,272	304,272	304,272
H	Дж	-2790,7	-2790,7	-306278,7
S	Дж/K	614,728	941,942	941,942
Cp	Дж/K	113,602	175,173	145,895
Cv	Дж/K	82,263	143,834	114,556
к	-	1,381	1,218	1,274
a	м/c	353,949	1040,278	634,148
Wc	м/c	-	-	2427,330
Mc	-	-	-	3,828
P	Н	-	-	84956,554

---

Изложенный метод термодинамического расчета позволяет наряду с расчетом реального процесса сгорания в ЖРД использовать модели смесей идеальных газов для характерных точек цикла для простой, закрытой термодинамической системы, а использование таблиц индивидуальных веществ позволяет учесть зависимость термодинамических свойств реагентов от температуры, что увеличивает точность термодинамических расчетов ракетных двигателей.

11.5. Решение СУХР для систем с одной химической реакцией методом Ньютона

Для решения СУХР системы с одной химической реакцией методом Ньютона будем использовать условие равенства нулю химического сродства в состоянии химического равновесия:

[Дж/моль]

Введем безразмерные величины для химического сродства и свободной энергии Гиббса

Тогда в состоянии химического равновесия имеем: ,

и СУХР в канонической форме записи примет вид:

СУХР= (1)

где - непрерывные функции от 3-х независимых переменных Введем новые переменные: . Тогда

СУХР= . (2)

Система уравнений (2) решается приближенным итерационным методом Ньютона. При этом нелинейные уравнения (2) заменяются подходящим линейным отображением, используя линеаризацию через разложение функций по формуле Тейлора.

(3)

При решении системы линейных уравнений (3) в (к+1) - ом приближении определяются поправки:

Если при к-ом приближении значения известны, то при
(к+1) -ом приближении значения этих параметров будут равны:

(4)

Решение (4) оказывается подходящим приближением к решению системы уравнений (3) при условии, что поправки в (к+1) –ом приближении будут менее заданной величины погрешности , т.е.

(5)

где погрешность - малое число (10^-3,….., 10^-6). Итерации продолжаются до выполнения условия (5).

Последовательность расчета:

1) Выбираются величины к-го приближения: .

2) Вычисляется матрица коэффициентов уравнений системы (3) (матрица Якоби): . Эти коэффициенты являются частными производными величин и .

3. Решается система уравнений (3) для определения величин в (к+1)-ом приближении. Процесс итераций продолжается до тех пор, пока изменение величин (к+1)-го приближения не окажется в пределах погрешности .

Коэффициенты системы уравнений (3) представлены в таблице для ряда задач, решаемых в авиационно-космической технике.

Таблица коэффициентов системы (3)

№ п/п	Независимый параметр для построения функции
0
1	T	0	1	0
2	P	0	0	1
3	V
4	H			0
5	U			0
6	S

где , , .

Величины в таблице приведены к безразмерному виду путем деления на одну из следующих величин : , , , .

Если заданы Н_с, р_с, то матрица коэффициентов левой и правой частей уравнений системы (3) принимает вид:

---

.

11.6. Расчет производных от состава

Производные от состава используются при расчете дифференциальных свойств ТС.

Из выражения: , (1)

следует, что , (2)

где .

После дифференцирования (1) и (2) имеем:

, (3)

, (4)

. (5)

Закон действующих масс имеет вид:

. Тогда .

Учитывая, что , получим соотношение для производной пробега ХР по lnT:

. (6)

Соотношение для производной пробега ХР по давлению определяется аналогично, учитывая, что

, а .

Тогда получим: , (7)

где производная равна

, (8)

где ; .

Соотношение (8) можно получить, используя «цепное правило» дифференцирования, из выражения

.

Обозначим 1ое слагаемое , а второе - . Тогда

,

где - суммарное количество веществ в -ой фазе; - список веществ в фазе с номером ; - номер фазы, где находится i-ое вещество.

11.7. Расчет давления, температуры и состава термодинамических систем с произвольным числом химических реакций

Рассмотрим ТС, в которой присутствуют кс – веществ в различных агрегатных состояниях, распределенных по кf фазам. Искомыми величинами являются:

1. Величины, определяющие состав ТС (количества веществ: n₁, n₂, …, n_i, …, n_кс, моль. или молярные доли х₁, х₂, …, х_i, …,x_кс, i=1, 2, …, кс и количество веществ в фазах: моль, ). При этом , где - номер фазы, где находится i-ое вещество, а где - список веществ в фазе .

2. Молярные свободные энергии Гиббса атомов химических элементов, находящихся в ТС : , где j=1, 2, …, кх. Индекс кх означает число химических элементов, присутствующих во всех соединениях термодинамической системы. При этом в расчете используются химические реакции распада веществ системы на атомы.

3. Температура и давление, или . Для нахождения неизвестных величин решается СУХР:

СУХР=

В качестве уравнений (2) и (3) используются уравнения баланса заданных независимых параметров, которые были рассмотрены нами ранее. Система уравнений (1) –(3) решается методом Ньютона или методом простой итерации. В СУХР1 для ТС с произвольным числом ХР входят:

• уравнения нормировки,

• уравнения материального баланса,

• уравнения химического равновесия химических реакций распада веществ системы на атомы.

Последовательность решения задачи:

1. Решается СУХР (1)-(3) и находится состав, давление и температура.

2. Определяются производные от состава с помощью СУХР1.

3. Рассчитываются интегральные и дифференциальные свойства ТС.

Рассмотрим уравнения, входящие в СУХР 1.

1. Уравнение нормировки записывается в виде положения, что количество веществ в -ой фазе равно:

(4)

или , (5)

где i(φ) –список веществ, входящих в φ-ую фазу; φ =1, 2, ….кf.

Число уравнений нормировки равно числу фаз термодинамической системы кf.

2. Уравнение материального баланса (УМБ). В случае протекания химических реакций в закрытых термодинамических системах для каждого химического элемента суммарное число атомов, входящих во все вещества системы, является величиной постоянной. Тогда для каждого химического элемента j имеем уравнение материального баланса в виде

---

(6)

где j =1, 2,…, кх, i=1, 2,…, кс, α_ji –число атомов j –го химического элемента в молекуле i – го вещества; Ψ_j - материальная постоянная, равная числу молей атомов j –го химического элемента во всех соединениях закрытой термодинамической системы, [моль].

Число уравнений материального баланса равно числу различных химических элементов (ХЭ), присутствующих в ТС-кх.

Набор коэффициентов α_ji для всех веществ системы образует матрицу размером кх·кс:

Суммарное количество вещества во всех соединениях закрытой системы при протекании ХР можно представить также в виде:

, . (7)

Уравнения (6), (7) можно записать в матричной форме: ,

где вектор - набор n_i, i=1, 2, …, кс; вектор - набор материальных постоянных , j=1, 2, …, кх.

4. Уравнения химического равновесия (УХР). Для получения УХР удобно использовать уравнения химических реакций распада на атомы веществ, присутствующих в термодинамической системе:

, где - символ j-го атома, - символ i-го вещества.

Условие равенства нулю химического сродства этой химической реакции в момент равновесия примет вид:

или: (8)

где - мольная свободная энергия Гиббса i –го вещества (для левой части уравнения ХР распада вещества ); λ_j – мольная свободная энергия Гиббса атомов j –го химического элемента (для правой части уравнения ХР распада веществ ), является искомой величиной, наряду с составом ТС.

Для многофазной системы (газа и конденсата) имеем:

, (9)

где - для газа; - для конденсата.

После подстановки (9) в (8) получим:

. (10)

Обозначим безразмерные величины : . Тогда

получим уравнения химического равновесия в безразмерной форме

(11)

Таким образом, в систему уравнений химического равновесия СУХР1 для ТС с произвольным числом химических реакций входят следующие уравнения:

, (12)

где . В СУХР1 (12) неизвестными величинами являются: мольные доли составляющих ; количества молей веществ в каждой фазе , мольные безразмерные свободные энергии Гиббса атомов .

Таким образом, число неизвестных kc+kf+kx равно числу уравнений (kf+kx+kc) (12).

Рассмотрим пример расчета состава веществ для термодинамической системы с произвольным числом химических реакций. Набор величин образует матрицу (выделенные цифры) размером кхкс, причем кх=3, кс=7, а кf=2, как представлено в следующей таблице.

i(кс)			1	2	3	4	5	6	7
Символ вещества			e-	C	O	CO2+	СO	C3O2	C(T)
j (кх)	1	e-	1	0	0	-1	0	0	0	=
	2	C	0	1	0	1	1	3	1
	3	О	0	0	1	2	1	2	0
ni			n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7

Тогда для рассматриваемого примера система уравнений химического равновесия СУХР-1 будет включать уравнения нормировки :

---

Смотрите также файлы

• 12-13.doc

• appendix.doc

• 09.doc

• 14.doc

• 15.doc