Файл: "Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби. Метод верхней релаксации. Метод Зейделя".docx

Семестровая работа по численным методам на тему:“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби. Метод верхней релаксации. Метод Зейделя”ОглавлениеОглавление…………………………………………………………………..2

Постановка задачи

Дана система линейных уравнений следующего вида:Необходимо найти значения Для проверки точности решений системы линейных уравнений используется следующее отношение: .

Решение задачи

Дано: Найдем значения функций:Полученное значение :Для решения системы используем метод прогонки.Рассмотрим метод прогонки для решения системы линейных уравнений вида:Вычисляем по формуле прогонки: Таким образом, получаем равенство:Сравнивая

---

формулы прогонки и последнее равенство, получим рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов прогонки:



Если из первого уравнения системы выразим , то можно найти и :



Зная , найдем все остальные . Вычисление всех коэффициентов прогонки называется прямым методом прогонки.

Необходимо вычислить все по формуле для Для этого понадобится значение , которое мы получим исключением из последнего уравнения системы:



.

Данные вычисления называются обратным ходом метода прогонки. Данный метод применим только для систем уравнений с трёхдиагональной матрицей.

Достаточным условием корректности и устойчивости метода прогонки является условие преобладания диагональных элементов в матрице, то есть должны быть выполнены следующие условия:







Проверим выполнение этих условий для решаемой системы:

---

Таким образом, условие устойчивости метода прогонки выполнено.Результаты вычислений при :Максимальное значение погрешности: 0,0641248905420929.Результаты вычислений при :Максимальное значение погрешности: 0,0636885398077454.Результаты вычислений при :Максимальное значение погрешности: 0,0637485714033385.

Метод Якоби.

Общий вид метода Якоби:Вектор вычисляем путем последовательного вычисления каждой следующей итерации на основе предыдущей. Для системы (1) метод Якоби запишем следующим образом: Будем искать каждую следующую итерацию, пока не выполнится условие:где В качестве начального приближения берём нулевой вектор: Теорема сходимости: если в системе выполняется диагональное преобладание, то метод Якоби сходится от любого начального приближения. Матрица А называется матрицей с диагональным преобладанием, если:Результаты вычислений для системы (1) при :

---

Количество итераций: 26Максимальная погрешность: 0,0587307781342732Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 68Максимальная погрешность: 0,0635788881625071Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 75 Максимальная погрешность: 0,039309310580449904Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 222Максимальная погрешность: 0,049460828748177Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 1243Максимальная погрешность: 0,0621848973450342Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 2314Максимальная погрешность: 0,0635383497725728Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 14Максимальная погрешность: 0,0350321873013994Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 2380Максимальная погрешность: 0,0576423968520161Результаты вычислений для системы (1) при :Количество итераций: 6670Максимальная погрешность: 0,0631435175839205 Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.Метод Зейделя.Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода Якоби. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x₁, x₂, …, x_{i - 1}.Общая формула:

---

Пусть получена эквивалентная система (4.5). Выберем произвольно начальные приближения корней  . Далее, предполагая, что k-ые приближения  корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:  (4.5)Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.Результаты вычислений при :Количество итераций: 12Максимальная погрешность: 0,058319817675039Результаты вычислений при :Количество итераций: 33Максимальная погрешность: 0,0635402535885495Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.Результаты вычислений при :Количество итераций: 112Максимальная погрешность: 0,0495658385769455Результаты вычислений при :Количество итераций: 615Максимальная погрешность: 0,0621556241400929Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.Результаты вычислений при :Количество итераций: 7Максимальная погрешность: 0,03503260655369Результаты вычислений при :Количество итераций: 1177Максимальная погрешность: 0,0575808416386456Результаты вычислений при :Количество итераций: 999Максимальная погрешность: 0,03858973176411326 Дальше менять нет смысла, поскольку погрешность меняется не сильно.

Метод верхней релаксации.

---