Файл: О. В. Музычукфизика часть Колебания и волны.pdf

электромагнитных волн существенно зависят от их частоты. Однако, как и в случае колебаний, в математическом описании волн разных видов много общего.
По направлению колебаний различают волны продольные и
поперечные. Для первых направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, для вторых - эти направления взаимно перпендикулярны. Например, звук в газах - это продольные волны, электромагнитные волны - поперечные
2.2 ПЛОСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.
Предположим, что в плоскости x = 0 имеется источник совершающий колебания; например, для звуковых волн, это может быть плоскость диффузор громкоговорителя. Считаем эти колебания гармоническими с амплитудой A и циклической частотой

p
t
A
t
( ; )
sin(
)
0


(42)
При этом в упругой среде (газе, жидкости) колебания давления (или плотности), вызванные колебаниями источника
p
t
( ; )
0
, передаются от точки к точке, и вдоль оси x побежит плоская волна
p x t
( ; )
, см. рис.13.
Рис.13. Распространение плоской волны.
Пренебрегая затуханием колебаний по мере их распространения, считаем, что колебание, которое пришло в точку x в момент времени t - это то же, что было в точке x = 0 в момент времени t -

, где


x c
/
- время пробега волны от нуля до точки x . Таким образом, с учетом (42) имеем
p x t
p
t
A
t
A
t
kx
( ; )
( ;
)
sin[ (
)]
sin(
)






0




, где
k
c



 
/
/
2
(43)

называется волновым числом (напомним, что

- длина волны). Итак, плоская гармоническая волна, распространяющаяся вправо вдоль оси x со скоростью c описывается формулой
p x t
A
t
kx
( ; )
sin(
)



(44)
Ясно, что для волны, бегущей влево в выражении (44) следует поставить знак + (т.к. изменится знак скорости).
Наблюдая волну (44) в фиксированной точке
x
x

1
, мы имеем гармоническое колебание, фаза которого зависит от выбранной точки
p x t
A
t
x
( ; )
sin(
) ,
/
1 1
1 1
2



 



(44а) это осциллограмма плоской волны. Зафиксировав в (44) момент времени
t
t

1
, получим гармоническую функцию координаты, называемую
мгновенный снимок волны
p x t
A
t
x
( ; )
sin(
/
)
1 1
2



 
(44б)
Период этой функции равен длине волны

Предположим теперь, что в начале координат имеется точечный источник, совершающий гармонические колебания. Проводя аналогичные рассуждения, запишем уравнение вызванной им сферической волны в виде
p r t
A r
t
kr
( ; )
( ) sin(
)



,
(45) где r - длина радиуса - вектора в точку наблюдения. Существенным отличием формулы (45) от (44) является то, что амплитуда здесь будет убывать по мере распространения даже в отсутствии потерь. В самом деле, площадь волнового фронта (сферы радиуса r ) растѐт пропорционально квадрату радиуса, а энергия колебаний на каждой такой сфере должна быть одинакова. Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , отсюда следует, что
A r
const
2 2

, а значит амплитуда сферической волны (45) должна меняться по закону
A r
A
r
( )
/

0
,
(46) где
A
0
- амплитуда колебаний источника.

2.3 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН.
Напомним, что гармоническое колебание является общим решением дифференциального уравнения
(8), называемое уравнением гармонического осциллятора. Плоская волна (44) является общим решением дифференциального уравнения в частных производных




2 2
2 2
2 1
0
p
x
c
p
t


,
(47) которое называется волновым уравнением ( с - скорость распространения волны в данной среде). Действительно, дифференцируя (44) по x и по t , имеем







2 2
2 2
2 2
p
x
A k
t kx
p
t
A
t
kx
 

 

sin(
),
sin(
)
(48)
Подставив (48) в (47) и учтя, что волновое число
k
c


/
, получим тождество.
Уравнение (47) возникает при решении многих физических проблем: оно получается из законов механики в задаче распространения колебаний смещения среды в твердом теле, из газовых законов при исследовании распространения колебаний давления в газе, из уравнений электродинамики в задачах распространения электромагнитных волн.
Конечно, в разных задачах физический смысл переменной p скорости c
различен.
Отметим, что гармоническая волна (44) это лишь одно из его решений. Оказывается, ему удовлетворяет колебание любой формы, бегущее со скоростью с. В самом деле, пусть колебание источника представляет собой любую функцию времени , т.е.
p
t
f t
( ; )
( )
0

. Тогда в точке x оно имеет вид
p x t
f t x c
( ; )
(
/ )


Обозначим
z
t
x c
 
/
и дифференцируя, имеем
  
p
f
tt
zz
,
 

p
c f
xx
zz
1 2
/
(49)
Подставляя (49) в (44), мы вновь получаем тождество.
2.4 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ.

Звуковые волны в газе представляют собой бегущие колебания давления
p
(или плотности

, поскольку, согласно уравнению состояния газа,
p


). Если атмосферное давление равно
p
A
, то полное давление в точке x , которую достигла плоская волна в момент времени t , будет
)
;
(
)
;
(
t
x
p
p
t
x
P
A


, где
)
;
( t
x
p
- малая добавка, определяемая формулой (44).
Человек слышит не любой звук, а примерно, в диапазоне частот от 20 герц до 20 килогерц. Колебания более низких частот называют
инфразвуком, а более высоких - ультразвуком.
Скорость распространения звуковых волн в газе зависит от плотности среды (а она связана с температурой) и определяется формулой
c
p
RT






,
(50) где

- показатель адиабаты (для воздуха он равен 1,4), R - газовая постоянная,

- молярная масса (для воздуха - 0,029 кг/моль). При нормальных условиях формула (50) даѐт значение скорости звука
c

330
м/с .
Звуковые волны в твердых телах могут быть как продольными, так и поперечными (сдвиговыми). Скорость распространения звука в твердых телах зависит от их упругости и плотности и она значительно выше скорости звука в газах. В частности, скорость продольных волн в стержнях определяется формулой
c
E

/

,
(51а) а поперечных - формулой
c
G

/

,
(51б) где E - модуль упругости (модуль Юнга), G - модуль сдвига,

- плотность материала. Например, для железа формула (51а) дает значение c = 5170 м/с.

Слуховое восприятие звуковых волн - громкость зависит от
интенсивности колебаний
I
p S

/
, где p - средняя мощность колебаний, переносимая через площадь
S. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, а наше восприятие громкости - логарифму интенсивности. Принятая в акустике единица измерения интенсивности звука
-
децибел ориентирована именно на логарифмическое восприятие. Скажем, если интенсивность в единицах системы СИ равна I (вт
/ M
2
), то в децибелах она равна
I
I
I
dB

10 0
lg( /
)
(дБ) ,
(52) где
I
0
- минимальная интенсивность, соответствующая порогу слышимости (примерно 10 12

вт
/ M
2
).
2.5 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
Электромагнитные волны представляют собой взаимно связанные колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве. Источником электромагнитных волн являются движущиеся с переменной скоростью электрические заряды. Это могут быть хаотически движущиеся свободные электроны или ионы (в случае теплового излучения), переменный ток достаточно высокой частоты в проводнике (при излучении радиоволн), электроны, переходящие с верхних энергетических уровней на нижние (при излучении света газоразрядными трубками и лазерном излучении).
Электромагнитные волны могут распространяться в свободном пространстве (вакууме) или в средах не проводящих электрический ток. В проводящей среде они вызывают движение зарядов, следовательно, их энергия превращается в тепло и волны быстро затухают. Скорость электромагнитных волн в вакууме
c
 
3 10 8
M
/c , еѐ принято называть скоростью света. В среде с показателем преломления

n скорость их меньше
n
c
V
/

,
n

 
/
(53)

Здесь

- диэлектрическая, а

- магнитная проницаемость. В диэлектрических средах, где, собственно, и могут распространяться волны,

= 1 .
Электромагнитные волны поперечные: если, например, волна бежит вдоль оси x , то колебания вектора напряженности электрического поля E
направлены вдоль оси y , а колебания напряженности магнитного поля H
- вдоль оси z (или наоборот). Соответствующие формуле (47) волновые уравнения здесь имеют вид
0 1
2 2
2 2
2


t
E
V
x
E
y
y




,
0 1
2 2
2 2
2


t
H
V
x
H
z
z




,
(54) где

/
c
V

Существование электромагнитного поля и связанных с ним электромагнитных волн было теоретически обосновано Максвеллом в 1860 году, а экспериментально обнаружены они были спустя примерно полвека
Герцем. Практическое использование электромагнитных волн в современном мире постоянно растет.
Приведем в заключение шкалу электромагнитных волн, где длине волны примерно соответствует указанный характер электромагнитного излучения.
Рис.14. Шкала электромагнитных волн.
Отметим, что видимый свет ограничен диапазоном длин волн
3 6 10 7 7 10 7
7







(м)
Нижняя граница соответствует фиолетовому цвету, верхняя - красному.
Излучение на длинах волн справа от этого интервала называется
инфракрасным (воспринимается, как тепло), а слева от него -
ультрафиолетовым.

Электромагнитное излучение с длинами волн, примерно от
10 3

м до
10 4
м, называют
радиоволнами
различных диапазонов.
Они чрезвычайно широко используются в современной технике. Радио, телевидение, радиолокация - основные сферы их применения.
2.6 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
1.Звуковая волна с частотой 500 гц распространяется в воздухе.
Амплитуда колебаний равна 0,25 мм. Найти длину волны и максимальную скорость частиц воздуха.
Запишем данные:


500 гц, A



0 25 10 3
,
м .



? ,
?
max
v
Используя формулу (41) и зная величину скорости звука в воздухе, находим:





c /
/
,
330 500 0 66
(м) .
Для нахождения скорости колебаний используем формулу (44) и дифференцируем еѐ по времени:
p x t
A
t
kx
( ; )
sin(
)



,
v
p
x t
A
t
kx
tt
 
 

( ; )
sin(
)


2
,



2
Максимальная скорость есть модуль коэффициента при синусе в последнем выражении т.е.
v
A
max
(
)




2 2
2
. Подставляя значения, находим
v
max
,

0 785
(м/с).
2. Найти разность фаз колебаний двух точек волны, отстоящих от источника на расстояниях 10 м и 16 м . Период колебаний равен 0,04с, скорость волны - 300 м/с.
Запишем данные:
x
x
1 2
10 16


,
м , Т = 0,04 с, c =
300 м .



?
Запишем уравнение плоской волны
p x t
A
t
kx
( ; )
sin(
)



Разность фаз колебаний - это разность значений аргументов «синусов» в точках
x
2
и
x
1
:


 




k x
x
x
x
(
)
(
/
) (
)
2 1
2 1
2

Учтя, что длина волны


cT
и подставляя данные, находим




, т.е. колебания в этих точках противофазные.
Контрольная работа по теме «Колебания и волны»
Вприведѐнной таблице номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки.
Вариант
Задача 1
Задача 2
Задача 3
0 1
11 21 1
2 12 22 2
3 13 23 3
4 14 24 4
5 15 25 5
6 16 26 6
7 17 27 7
8 18 28 8
9 19 29 9
10 20 30
1.
Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно 2 см, начальная скорость равна нулю. Найти амплитуду и начальную фазу.
Построить график, считая, что период равен 8 с.
2.
Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно нулю, начальная скорость 10 см/с, период 1с. Найти амплитуду и начальную фазу. Построить график.
3.
Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно нулю, начальная скорость 10 см/с, частота 10 герц. Найти амплитуду и начальную фазу. Построить график.
4.
Точка совершает синусоидальные свободные колебания. Начальное отклонение равно 2 см, начальная скорость 10 см/с, частота 10 герц. Найти амплитуду и начальную фазу.
5.
Скорость колеблющейся материальной точки меняется по закону
v v
t

max cos(
)

. Максимальная скорость
v
max
= 5 см/с, период равен 0,1 с.
Найти ускорение точки в момент времени t = 0,25 c.
6.
Скорость колеблющейся материальной точки меняется по закону
v v
t


max cos(
)
 
. Максимальная скорость
v
max
= 10 см/с, период равен 0,1 с, начальная фаза равна

/ 2
. Найти смещение точки в момент времени t = 0,25 c.
7.
Точка совершает колебания по закону
x
A
t


sin(
)
 
. Амплитуда 2 см, период равен 0,1 с, начальная фаза равна

/ 2
. Найти скорость точки в момент времени t = 0,25 c.

8.
Точка совершает колебания по закону
x
A
t


sin(
)
 
. Амплитуда 2 см, период равен 1 с, начальная фаза равна

/ 2
. Найти ускорение точки в момент времени t = 2,5 c.
9.
Точка совершает колебания по закону
x
A
t

sin(
)

. Амплитуда 1 см, частота равна 10 герц. Найти скорость точки в момент времени t = 0,75 c.
10.
Точка совершает колебания по закону
x
A
t

sin(
)

. Амплитуда 10 см, частота равна 5 герц. Найти ускорение точки в момент времени t = 0,05 c.
11.
Найти частоту колебаний однородного стержня длиной 1м, подвешенного за один из концов.
12.
К пружине подвешен груз массой 10 кг. Зная, что под действием силы 10 Н пружина растягивается на 1,5 см, найти частоту колебаний груза.
13.
Какова длина математического маятника, частота колебаний которого равна частоте колебаний однородного стержня длиной 1 м, подвешенного за один из концов?
14.
При сложении колебаний двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одинаковой амплитуды получилось колебание такой же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.
15.
Груз массы 5 кг положен на пружинные весы с жесткостью пружины к = 500 Н/м.
Найти период и начальную фазу колебаний.
16.
Найти период и энергию колебаний пружинного маятника массы 2 кг с начальным отклонением 5 см, если под действием этого груза растяжение пружины в положении равновесия равно 2 см.
17.
Математический маятник длины 1 м, отклонѐн на малый угол и отпущен. Через какую часть периода амплитуда колебаний уменьшится в два раза, если коэффициент затухания

= 0,5 (1/с)?
18.
Математический маятник, отклонѐн на некоторый малый угол и отпущен. Через какой промежуток времени амплитуда колебаний уменьшится в три раза, если коэффициент затухания

= 0,1 (1/с)?
19.
Складываются два гармонических колебания
x
t
1

sin и
x
t
2

cos
. Найти амплитуду результирующего колебания и построить графики колебаний.
20.
Складываются два перпендикулярных колебания
x
t

2sin и
y
t

cos
Построить траекторию результирующего колебания.
21.
Человек воспринимает звуковые колебания в интервале частот 20 Гц - 20 кГц.
Найти диапазон слышимых длин волн, считая скорость звука равной 330 м/с.
22.
Колебательный контур состоит из конденсатора C = 400 нФ и катушки индуктивности L = 10 мГн с сопротивлением R = 2 Ом. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за один период?
23.
Колебательный контур состоит из конденсатора C = 100 нФ и катушки индуктивности L = 10 мГн с сопротивлением R = 2 Ом. Через какое время амплитуда собственных колебаний в нѐм уменьшится в 10 раз?
24.
Колебательный контур с индуктивностью 1 мГн настроен на длину волны 300 м.
Чему равна при этом ѐмкость конденсатора?
25.
Колебательный контур с конденсатором ѐмкости 100 пФ настроен на длину волны
30 м. Чему равна при этом индуктивность катушки?