Файл: 1. 10. Токи в полупроводниках.pdf

1.10. Токи в полупроводниках
При воздействии на полупроводник внешних полей (электрического, магнитного, теплового и т.д.) нарушается состояние термодинамического равновесия, и носители заряда приобретают ненулевую скорость упорядоченного движения.
Процессы упорядоченного движения носителей заряда являются неравновесными и называются процессами переноса или кинетическими явлениями.
Хаотическое тепловое движение средняя тепловая скорость
При T = 300 K и m* = m
e
= 9,11
⋅10
-31
кг  υ
T
≈10 5 м/с.
Рассеяние: из-за дефектов кристаллической решетки, присутствия в ней различных примесей, столкновений с другими носителями заряда, нарушений периодичности потенциала решетки в результате тепловых колебаний решетки (рассеяние на фононах) и т. д.
Время свободного пробега
- среднее время между двумя последовательными актами рассеяния
Длина свободного пробега
- среднее расстояние, которое проходит носитель заряда за время свободного пробега

При хаотическом тепловом движении направления скоростей носителей заряда равновероятны и электрический ток равен нулю.
• Электрическое поле (разность потенциалов)
• Пространственная неоднородность концентраций носителей заряда (градиент концентраций носителей заряда).
Направленное движение носителей заряда (электрический ток)
Дрейф - направленное движение носителей заряда под действием электрического поля
(1.179)
(1.180)
Скорость дрейфа
μ
p и μ
n
-
подвижности дырок и подвижности электронов соответственно

Подвижность - скорость дрейфа, приобретаемая свободными носителями заряда в электрическом поле единичной напряженности.
(1.181)
(1.182)
(1.183)
(1.184)
где
- полная средняя скорость свободных носителей заряда, которая определяется как тепловым, так и дрейфовым движением носителей заряда.
В слабых электрических полях дрейфовая составляющая полной средней скорости намного меньше тепловой составляющей

(1.185)
(1.186)
T
1
< T < T
2
Правило Матиссена
(1.187)
где μ
L
- подвижность относительно рассеяния носителей заряда на фононах; μ
I
- подвижность относительно рассеянием носителей заряда на ионах примеси.
Согласно теоретической формуле Конуэлл-Вайскопфа
(1.188)
где N - концентрация ионизированной примеси.
В соответствии с соотношением Принса
(1.189)

Ge:
GaAs:
Si:
При невысокой концентрации примеси
(1.187):
(1.189):
(1.190)
где Т
0
- произвольная фиксированная температура, например, Т
0
= 300 К ; μ
0
- подвижность носителей заряда при температуре T
0
(1.191)
На практике:
Для n-Si c = 2,6; p-Si c = 2,3; n-Ge c =1,66; p-Ge c = 2,33; n-GaAs c =1,0; p-GaAs c = 2,1.
T
→0
(1.187),(1.188)
(1.188):
μ(N)
(рис. 1.21,б)
(рис.1.21,а)
μ
I
↓  μ ↓
N
↑ 

Рис. 1.21. Зависимость подвижности носителей заряда в кремнии от температуры при разных концентрациях примеси (а) и от концентрации примеси при T=300K (б)
N > 10 16
см
-3

(1.192)
где μ
0
- подвижность, соответствующая концентрации примеси N
0
μ
L
Зависимость подвижности носителей заряда от напряженности электрического поля
(1.185), (1.186
): в слабых э/п – в основном ср.тепл.скорость, т.е. слабо зависит от напряженности э/п
(1.179) и (1.180): дрейфовые скорости носителей заряда пропорциональны напряженности электрического поля
В сильных электрических полях (E 10 4
−10 5
В/см) дрейфовая составляющая полной средней скорости НЗ, которая зависит от напряженности поля, приближается к тепловой составляющей.
Так как с ростом напряженности э/п полная ср. скорость НЗ увеличивается, то из (1.183) и
(1.184) следует, что подвижность НЗ будет уменьшаться.
Критическая напряженность E
кр
-
напряженность электрического поля, при которой дрейфовая составляющая полной средней скорости носителей заряда становится сравнимой с тепловой составляющей.

При дрейфовом движении свободные носители заряда на длине свободного пробега приобретают кинетическую энергию, которую практически полностью отдают в актах рассеяния.
Максимальное значение кинетической энергии не может превысить энергию W
оф
возбуждения оптических фононов, потому что как только энергия достигнет величины W
оф
, возбуждается оптический фонон и энергия теряется. В этих условиях дрейфовая скорость перестает зависеть от напряженности электрического поля, достигая предельной величины – максимальной скорости υ
max носителей заряда.
Значение максимальной скорости можно определить из закона сохранения энергии:
Из физики твердого тела известно, что энергия возбуждения оптического фонона близка к величине

Зависимость μ(E)  ВАХ полупроводников

Рис.1.22. Зависимость дрейфовой скорости носителей заряда от напряженности электрического поля

Плотность дрейфового тока.
(1.193)
(1.194)
где
σ
n
,
σ
p
- удельные проводимости полупроводника при наличии в нем носителей заряда одного вида – электронов и дырок соответственно.
– удельная электрическая проводимость полупроводника с учетом свободных электронов и дырок

Знак «-»  диффузионный дырочный ток направлен в сторону уменьшения концентрации дырок
C
оотношения Эйнштейна:
Плотность полного тока
Диффузионный ток
Диффузия – движение носителей заряда из-за градиента их концентрации.
Поток частиц где D
n
, D
p
- коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно.

1.11. Уравнение непрерывности
• Расчет токов в полупроводниках
• Концентрация свободных носителей заряда, которые зависят от времени и пространственных координат - решения уравнений непрерывности потока частиц, лежащих в основе анализа и расчета электрических характеристик и параметров полупроводниковых приборов.
• Уравнения непрерывности – дифференциальные уравнения в частных производных, которые связывают изменения концентраций свободных носителей заряда в полупроводнике с их генерацией, рекомбинацией, дрейфовым и диффузионным движением.
Рис. 1.23. Факторы, вызывающие изменение числа носителей заряда в элементарном объеме полупроводника в момент времени t

• Однородный образец полупроводника,
• Одномерное изменение концентрации электронов в направлении оси х.
• Слой толщиной dх и сечением единичной площади. Объем этого слоя dх.
• n(t, x) - концентрация электронов в момент времени t
• В объеме dх в момент времени t находится n(t, x)dx электронов.
• Концентрация электронов в момент времени t+dt - n(t + dt, x), а количество электронов в объеме
dx - n(t + dt, x)dx .
• Изменение числа электронов за время dt в объеме dх:
Изменение числа электронов может происходить в результате процессов генерации, рекомбинации, диффузии и дрейфа свободных носителей заряда.
G - скорость генерации носителей заряда - в единичном объеме полупроводника в единицу времени возникает G электронно-дырочных пар. В объеме dх за время dt будет образовано Gdxdt электронов.
R -
скорость рекомбинации носителей заряда
Если Δn << n
0
 τ
n не зависит n и справедливо уравнение рассасывания (1.149).
Вызванное рекомбинацией изменение количества электронов в объеме dх за время dt:

Φ
n
(t, x) - поток электронов, проходящих за единицу времени через левую границу выделенного слоя, тогда внутрь объема dх за интервал времени dt войдет Φ
n
(t, x)dt
электронов.
Φ
n
(t, x + dx) - поток электронов, проходящих за единицу времени через правую границу слоя,
тогда за интервал времени dt из объема dx выйдет Φ
n
(t, x + dx)dt
электронов.
Следовательно, изменение числа электронов в объеме dх за время dt составит:
Полное изменение количества электронов внутри рассматриваемого слоя объемом dx за интервал времени dt, обусловленное действием всех факторов
(1.204)
уравнение непрерывности для электронов
Поток электронов  плотность тока

х, у, z:
(1.205)

- дивергенция вектора плотности тока электронов;
- проекции вектора плотности тока электронов на оси пространственной системы координат
Уравнение непрерывности для дырок с учетом
Физический смысл: эти уравнения выражают условия сохранения количества носителей заряда.
В одномерном случае из (1.200) и (1.201):
 (1.205) и (1.206)

Одномерные уравнения непрерывности для электронов и дырок:
Частный случай уравнений непрерывности - уравнения диффузии
Диффузионное движение свободных носителей заряда при отсутствии в полупроводнике электрического поля (E = 0), без учета действия внешних энергетических факторов (G = 0), но с учетом процессов рекомбинации:
В стационарном режиме, когда


(1.207)-(1.210) - достаточно строгий анализ процессов во многих типах полупроводниковых приборов.
Пример:
стержень из полупроводника p-типа, который простирается от x = 0 до x →∞.
( x = 0)
Δn(0) = Δp(0) Диффузия из точки
x = 0  увеличение концентрации неравновесных носителей заряда при x > 0
Концентрация избыточных носителей будет уменьшаться с ростом х вследствие рекомбинации:
Решение с указанными ГУ:
где
- диффузионная длина электронов
Диффузионная длина определяет расстояние от источника избыточной концентрации носителей заряда, на котором избыточная концентрация уменьшается в e раз

Стационарное распределение электронов (1.213) поддерживается непрерывным поступлением электронов извне через границу в точке x = 0
(1.197) и (1.213):
В тех случаях, когда электрическим полем пренебречь нельзя, для анализа процессов в полупроводниках используют полные уравнения непрерывности (1.205) и (1.206).
Если в полупроводнике присутствует существенный объемный заряд, то есть напряженность электрического поля не остается постоянной, а является функцией пространственных координат, совместно с уравнениями непрерывности применяют уравнение Пуассона:
где λ - объемная плотность заряда;
- оператор Лапласа (лапласиан) от потенциала ϕ электрического поля.

В общем случае
В условиях электрической нейтральности
Полные уравнения непрерывности (1.205) и (1.206) совместно с уравнением Пуассона решить аналитически в общем случае невозможно. Требуются дополнительные допущения или численные методы с применением ЭВМ.
Для приближенного анализа нестационарных (переходных) процессов накопления и рассасывания неравновесных носителей заряда: уравнение заряда - следствие уравнений непрерывности где Q
n
- абсолютная величина полного заряда неравновесных электронов в рассматриваемой области; I
n
- полный ток электронов через поверхность, ограничивающую рассматриваемую область, который считается положительным, если движение электронов происходит внутрь области.
Уравнение заряда для электронов:
Уравнение заряда для дырок:

Уравнение заряда – линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Начальные условия
В стационарном состоянии
Если Q
n0
= 0, то время накопления заряда Q
n
=
τ
n
I
n
определяется от момента времени t
1
, когда
Q
n
(t
1
) = 0,1τ
n
I
n
до момента времени t
2
, когда Q
n
(t
2
) = 0,9τ
n
I
n
, и составляет t
нак
≈ 2,2τ
n

При Q
n0
> 0 и I
n
< 0 (1.220) и (1.222) - процесс рассасывания неравновесного заряда внутри рассматриваемой области.
(1.222):
I
n
= const
1.12. Объемные заряды и поля в полупроводниках
Диэлектрическая релаксация (релаксация Максвелла) - рассасывание объемного заряда под действием собственного поля
(1.205), (1.206):
Анализ диэлектрической релаксации: уравнения непрерывности для электронов и дырок без учета генерации, рекомбинации и диффузии носителей заряда.
(1.224)
(1.225)
(1.224)-(1.225) с учетом (1.213), (1.215)
(1.226)

Решение уравнения релаксации:
(1.227)
где Δp(0) − Δn(0) - начальная избыточная концентрация носителей заряда; τ
рел.
- время диэлектрической релаксации
(1.228)
Временной интервал, за который объемный заряд, нарушающий электрическую нейтральность полупроводника, уменьшается в e раз.
- полное рассасывание объемного заряда и восстановление электрической нейтральности полупроводника
Si и Ge ρ =1Ом⋅см
τ
рел.
≈ 10
-12
с.
Эффект модуляции проводимости - изменение удельного сопротивления участка полупроводника, вызванное накоплением избыточных концентраций носителей заряда.
Важная роль в полупроводниковых приборах, особенно в режимах большого сигнала.
Пример: полупроводник p-типа
Δp(0) Δn(0) = 0 Δn = Δn(0) = 0
(1.229)
Δn(0)
Δp(0) = 0 Δn = Δn(0)
(1.230)