Файл: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 10 Кадетский корпус юных спасателей.pdf

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 10
«Кадетский корпус юных спасателей»»
«Курьезы, софизмы и парадоксы в
математике»
Исследовательский проект
Выполнила: Серякова Анна, ученица 6 «А» класса
Руководитель: Касаева Ольга Александровна,
учитель математики
г.Рубцовск, 2022г

2
Содержание
Введение ………………………………………………………..………………………...……...3
Глава 1. Определение понятий «софизм», «парадокс» и «курьез»… ……………..…………5
Глава 2. История софизмов и парадоксов……………………………………………..……….7
Глава 3. Классификация математических Софизмов………………………………..……….10
Глава 4. Математические курьезы……………………………………………………….……13
Глава 5. Парадоксы………………………………………………………………….……….…14
Вывод……………………………………………………………………………………………16
Список использованной литературы……………………………...…………………..………17

3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность
выбранной
темы: услышав выражение
2+2=5, я заинтересовалась, почему это выражение используют в речи, тогда я задумалась о исследовании данного вопроса. В начале своего исследования я познакомилась с понятиями «софизм», «курьез» и «парадокс». Эта тема для меня стала очень интересной.
В школьном курсе математики не используются софизмы и парадоксы, но данный материал можно использовать на уроках математики, что расширит кругозор учащихся и покажет значение парадоксов и софизмов в области математики.
В истории развития математики софизмы, курьезы и парадоксы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов, курьезов и парадоксов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов, курьезов и парадоксов известно очень давно, их можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение. Применение софизмов, курьезов и парадоксов на уроках математики могли бы помочь, на мой взгляд, разнообразить уроки и вызвать интерес учащихся к предмету.
Для написания проекта я использовала различные пособия, также использовались и Интернет- ресурсы. В ходе работы приходилось брать много информации из Интернета, справочной литературы.
Цель исследования: проанализировать курьезы, софизмы и парадоксы в математике.
Чтобы достичь нашей цели мы должны решить ряд необходимых задач:
- дать определение понятиям «софизм» , «курьез» и «парадокс»;
- узнать, в чём их отличие;
- классифицировать математические неожиданности;
- определить практическую значимость исследования.
Объектом исследования данного проекта являются: курьезы, софизмы и парадоксы.
Гипотеза исследования: математика без курьезов, софизмов и парадоксов существовать не может.
Предмет исследования: математические софизмы, курьезы и парадоксы.
Методы, используемые при проведении работы: изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете, синтез полученной информации и ее анализ.

4
Глава 1. Определение понятий «софизм», «парадокс» и «курьез»
СОФИЗМ (От греческого «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») - ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.
Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку, либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выходу. Софистами называли группу древнегреческих философов, 4-5 в. До н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества появляются, так называемые, учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовал себя софистами.
ПАРАДОКС(с греческого «пара» - против, «докса» - мнение) близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общественным мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу.
ПАРАДОКСЫ В МАТЕМАТИКЕ - ситуация, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения, причем каждое из этих утверждений выведено законными с точки зрения данной теории методами. Как правило, свидетельствует о глубоких недостатках математической теории. И неудивительно, что обнаружение парадоксов часто ведет к попыткам существенной перестройки всей теории. Наибольшую известность получили парадоксы «наивной» теории множеств и классической математической теории вероятностей. В обеих теориях обнаружение парадоксов стимулировало дальнейшие исследования и привело к появлению соответствующих аксиоматических теорий.
КУРЬЁЗ (франц.) - что-нибудь странное и забавное, смешное, замечательное, любопытное. Курьёзный франц. странный и забавный, смешной, замечательный, любопытный.
Если проанализировать математические открытия человечества, то можно заметить, что все гениальные находки стали результатом исследования разнообразных природных явлений и желания добиться неизбежной истины. В работе собран занимательный материал, который можно использовать во внеклассной работе по предмету.

5
Глава 2.История софизмов и парадоксов
Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. Тем не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов, философов, учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.
Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов.
Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Другими словами две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин - и диагональ и сторона квадрата - может быть измерена и количественно точно определена.
Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось. Этот парадокс удалось преодолеть путем введения в математику v
(квадратного корня).
Очередная катастрофа произошла в XVII-XVIII вв. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого.
В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же - принималось как значение, отличное от нуля. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин.
В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами. Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши.

6
Бесконечно малые - это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.
Последний кризис имел место на рубеже XIX-XX веков. Понятие «множество» или
«класс», «совокупность» - простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т.д. Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.
С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Однако и здесь нашлось место парадоксу. В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание на противоречивость исходных позиций понятия множества.
Дело в том, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть, принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса? Выяснилось, что есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков. Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т.д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.
Осмысление логических ошибок, которые содержались в софизмах, было важным моментом в развитии логики и культуры вообще. В то же время деятельность софистов сыграла важную историческую роль - в том повороте философской мысли от общих проблем Вселенной (космоса, мироздания) к проблемам человеческой жизни, человеческих отношений.
Этот поворот философской мысли обосновывает Сократ с его положением “Познай самого себя”. Радикальное отличие Сократа от софистов заключается в том, что Сократ убежден в необходимости общих, объективных истин для всех людей. Однако, он не считает себя обладателем подобных истин.
Сократ полагает, что познание сущности вещей - это познание общих понятий. В сократовских диалогах и выявляется некоторое содержание общих понятий. У Сократа

7 нет логической схемы, он отталкивается от обычных представлений, показывая, что они ограничены. Дальше логическая индукция - восхождение от частного к общему.
Какие выводы для логики следуют из существования парадоксов? Прежде всего, наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться. Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.
Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.
Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.
Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.
Значение софизмов и логических парадоксов для развития науки и человеческого мышления очень велико. Именно с их появлением зарождались ростки современной логики, которой посвящено множество различной литературы.

8
Глава3. Классификация математических Софизмов
Разбор и решение разнообразных математических задач, особенно нестандартных, помогает развивать логику и смекалку. Именно к таким задачам относятся математические софизмы. В этом разделе работы я рассмотрю четыре типа математических софизмов: алгебраические, геометрические, арифметические и логические.
Математические софизмы.
Математический софизм - утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные и довольно тонкие ошибки. Это правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату.
1. Арифметические софизмы - выражения чисел, имеющие ошибку, незаметную с первого взгляда.
2. Алгебраические софизмы - ошибки в числовых выражениях и уравнениях, скрытые намеренно.
3. Геометрические софизмы - вывод, заведомо неправильный, который касается геометрических фигур и действий над ними.
4. Логические софизмы - софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.
Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys -- число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
«Дважды два пять».
Возьмем верное числовое равенство: 4 : 4 = 5 : 5, вынесем за скобки в каждой части его общий множитель, получим:
4 * (1 : 1) = 5 * (1 : 1), числа в скобках равны, поэтому 4 = 5 или 2 * 2 = 5
Разбор софизма: Ошибка допущена при вынесении общего множителя за скобки.
Вместо 4 * (1 : 1) = 5 * (1 : 1), должно быть 4 * (1 : 4) = 5 * (1 : 5)
Алгебраические софизмы - ошибки в числовых выражениях и уравнениях, скрытые намеренно.
Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки наряду с арифметикой и геометрией. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности.