Вариант № 9.Найдите решение матричной игры: p1, p2, q1, q2, v
Таблица 1.
|
B1
|
B2
|
А1
|
5
|
2
|
А2
|
4
|
1
|
А3
|
1
|
1
|
А4
|
6
|
4
|
А5
|
1
|
9
|
Решение:1. Проверим, имеет ли платежная матрица седловую точку.Определим оптимальные стратегии игроков. Начнем со стратегии первого игрока, который стремится максимизировать свой выигрыш, учитывая то, что второй игрок будет пытаться свести выигрыш первого игрока к минимуму.Запишем минимальные выигрыши в правый столбец:
Таблица 2.
|
B1
|
B2
|
|
А1
|
5
|
2
|
2
|
А2
|
4
|
1
|
1
|
А3
|
1
|
1
|
1
|
А4
|
6
|
4
|
4
|
А5
|
1
|
9
|
1
|
Первый игрок выбирает стратегию А4, при которой его минимальный выигрыш максимален:max min = 4Таким образом, если первый игрок выберет стратегию А4, ему гарантирован выигрыш не меньший, чем 4, при любом поведении второго игрока.Рассмотрим теперь поведение второго игрока. Запишем максимальные выигрыши в нижней строке.
Таблица 3.
|
B1
|
B2
|
|
А1
|
5
|
2
|
2
|
А2
|
4
|
1
|
1
|
А3
|
1
|
1
|
1
|
А4
|
6
|
4
|
4
|
А5
|
1
|
9
|
1
|
|
6
|
9
|
|
Второй игрок выбирает стратегию B1, при которой максимальный выигрыш первого игрока минимален:min max = 6.То есть, если второй игрок будет придерживаться стратегии B1, то при любом поведении первого игрока он не проиграет больше, чем 6.В данной задаче max min и min max не совпали, что свидетельствует об отсутствии седловой точки. Тогда цена игры находится в пределах 4≤v≤6.Находим решение игры в смешанных стратегиях.2. Проверим платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.Стратегия A
1 доминирует над стратегией A
2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно, исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p
2= 0.Стратегия A
1 доминирует над стратегией A
3 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 3-ой строки), следовательно, исключаем 3-ую строку матрицы. Вероятность p
3= 0.Стратегия A
4 доминирует над стратегией A
1 (все элементы строки 4 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно, исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p
1= 0.
Таким образом, свели игру 5 x 2 к игре 2 x 2.Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом
, то выигрыш игрока А будет случайной величиной. В этом случае игрок А должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок В должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока А.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Запишем систему уравнений.
Для игрока А:
Для игрока В:
Решая эти системы методом Гаусса, находим
v = 5
p1 = 4/5 (вероятность применения 1-ой стратегии).
p2 = 1/5 (вероятность применения 2-ой стратегии).
Оптимальная смешанная стратегия игрока А: P = (4/5; 1/5)
q1 = 1/2 (вероятность применения 1-ой стратегии).
q2 = 1/2 (вероятность применения 2-ой стратегии).
Оптимальная смешанная стратегия игрока В: Q = (1/2; 1/2)
Цена игры:
v = 5
Ответ: p1 = 4/5, p2 = 1/5, q1 = 1/2, q2 = 1/2, v = 5