Вариант № 14

1. 
   Исследовать числовой ряд на сходимость: .
   

Так как , то . Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при .В данном случае . Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. 
   Исследовать числовой ряд на сходимость: .
   

Применим признак д^,Аламбера:

.

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. 
   Исследовать числовой ряд на сходимость: .
   

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем

---

. Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. 
   Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .
   

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл расходится, следовательно, расходится и рассматриваемый ряд, т.е. абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

5. 
   Определить область сходимости функционального ряда: .
   

Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Это возможно тогда, когда . Но в таком случае . Применим признак д^,Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т.е. . Или . Следовательно, интервал

---

является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (степень знаменателя больше единицы). Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. 
   Определить область сходимости функционального ряда: .
   

Применим признак д^,Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т.е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости:

---

. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. 
   Определить область сходимости функционального ряда: .
   

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д^,Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т.е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Здесь многократно учтено, что . Этот ряд сходится условно по признаку Лейбница. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. 
   Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .
   

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится на всей числовой оси: . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении экспоненциальной функции положим , получим:

---

Или . Ряд сходится при .

Ответ: .

9. 
   Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .
   

Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

. Этот ряд сходится при условии . В этот ряд подставим , получим: . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. 
    Вычислить приближённо с точностью до 10^-4: .
    

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем

---

Смотрите также файлы

• Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине Компьютерная графика и мультимедиа.doc

• Исходные данные для расчета.docx

• Политические перспективы россйскоамериканских отношений в арктике.docx

• Российской федерации новосибирский государственный университет экономики и управления нинх.docx

• Термическая обработка углеродистых сталей отжиг, нормализация, закалка.doc