Файл: Вариант 14 Исследовать числовой ряд на сходимость Так как, то. Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при. В данном случае. Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 24
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. В данном случае 
. Очевидно, что 
. Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: 
. Ответ: 
Известно, что
. Так как 
, то 
.. Следовательно,
Ответ: 
.
Преобразуем ряд:
. Но 
, т.е. это разложение в ряд функции 
без двух первых членов. Следовательно, 
. Ответ: 
.
Обозначим сумму ряда через S(x). Тогда
. Но 
есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при
. Следовательно, 
. Ответ: 
.
Будем искать решение уравнения в виде
, где 
. Будем последовательно вычислять производные 
: 
, 
. Таким образом, 
. Ответ: 
.
Ищем решение уравнения в виде
. Тогда 
. Подставляя это в исходное уравнение, получим: 
. Первую сумму можно записать в следующем виде: 
, вторую сумму – в виде 
. Тогда 
. Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые:
. Это равнество должно выполняться для различных значений x. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях x будут равны нулю, т.е. 
и 
. Отсюда получаем рекуррентную формулу: 
Следовательно, 
. Выразим все коэффициенты через 
и 
. Получим: 
. Таким образом, 
. Положим 
и 
.
Ответ:
.
По графику определяем
.
Ф
ункция является нечётной. Поэтому в разложении функции в ряд Фурье
все коэффициенты 
. Вычислим коэффициенты 
: 
. Если 
чётное, то
и 
, если 
нечётное. Положим 
. Для нечётных получим 
Таким образом, 
.
Ответ:
.
Вычисляем коэффициенты разложения
данной функции в ряд Фурье. Так как функция нечётная, то все 
, 
. Таким образом,
. Ответ: 
.
В комплексной форме ряд Фурье функции
периода 
имеет вид: 
где 
. В данном случае 
. Таким образом, 
.
Ответ:
.
.
Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид
, где 
. Заданная функция является чётной и, следовательно, 
. Таким образом, 
.
Ответ:
.
Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид
, где 
. Вычислим 
: 
. Таким образом, 
. Ответ: 
. Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять три первых слагаемых: . Ответ: -
Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора:
.
Известно, что
. Так как , то .. Следовательно, Ответ: .-
Найти сумму ряда:
.
Преобразуем ряд:
. Но , т.е. это разложение в ряд функции без двух первых членов. Следовательно, . Ответ: .-
Найти сумму ряда:
.
Обозначим сумму ряда через S(x). Тогда
. Но
есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при
. Следовательно, . Ответ: .-
Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Будем искать решение уравнения в виде
, где . Будем последовательно вычислять производные : , . Таким образом, . Ответ: .-
Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Ищем решение уравнения в виде
. Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде . Тогда
. Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые:
. Это равнество должно выполняться для различных значений x. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях x будут равны нулю, т.е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Выразим все коэффициенты через и . Получим: . Таким образом, . Положим и .Ответ:
.-
Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:
По графику определяем
.Ф
ункция является нечётной. Поэтому в разложении функции в ряд Фурье
все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Если чётное, то
и , если нечётное. Положим . Для нечётных получим Таким образом, . Ответ:
.-
Разложить функцию в ряд Фурье на
: 
Вычисляем коэффициенты разложения
данной функции в ряд Фурье. Так как функция нечётная, то все , . Таким образом, . Ответ: .-
Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : 
.
В комплексной форме ряд Фурье функции
периода имеет вид: где . В данном случае
. Таким образом, .Ответ:
.-
Функцию
представить интегралом Фурье в действительной форме:
.Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид
, где . Заданная функция является чётной и, следовательно, . Таким образом, . Ответ:
-
Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:
.Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид
, где . Вычислим : . Таким образом, . Ответ: