Файл: Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине Теория телетрафика мультисервисных сетей, часть 1 Потоки вызовов. Простейший поток. Примитивный поток.pdf

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Кафедра «Сети и системы связи»
Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Теория телетрафика мультисервисных сетей», часть 1
«Потоки вызовов. Простейший поток. Примитивный поток» для студентов заочной и дистанционной форм обучения по направлению подготовки – 11.03.02
«Инфокоммуникационные технологии и системы».
Профиль подготовки «Оптические и проводные сети и системы связи»
Квалификация (степень) - бакалавр
2022, Самара,

2
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Кафедра «Сети и системы связи»
Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Теория телетрафика мультисервисных сетей»
«Потоки вызовов. Простейший поток. Примитивный поток»
Рекомендовано для подготовки
бакалавров направление подготовки – 11.03.02
«Инфокоммуникационные технологии и системы».
Профиль подготовки
«Оптические и проводные сети и системы связи»
Составила: доцент Сутягина Л.Н.

3
Содержание
Практическое занятие №1 Потоки вызовов. Простейший поток. Формула
Пуассона…………………………………………..
4
Практическое занятие №2 Потоки вызовов. Примитивный поток. Формула
Энгсета. Формула Бернулли……………………..
13

4
Практическое занятие №1
Потоки вызовов. Простейший поток. Формула Пуассона
1 Цель практического занятия
Знакомство с определениями и основными свойствами потоков вызовов.
Изучение основных характеристик простейшего потока вызовов.
Получение практических навыков использования формулы Пуассона.
2 Рекомендуемая литература
Основная литература:
1. Иверсен В. Б. Разработка телетрафика и планирование сетей
[Электронный ресурс]/В. Б. Иверсен - Электрон. текстовые данные. - М.:
ИНТУИТ, 2016; Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/57383
Дополнительная литература:
1. Степанов, С. Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей [Текст] / С.
Н. Степанов. - М. : Эко-Трендз, 2010. - 392 с.; 7 экз. НТБ ПГУТИ.
2. Соколов, Н. А. Задачи планирования сетей электросвязи [Текст] :
[монография] / Н. А. Соколов. - СПб. : Техника связи, 2012. - 432 с. : ил.; 61 экз.
НТБ ПГУТИ.
3. Карташевский, В. Г. Основы теории массового обслуживания [Текст] : учебник для вузов / В. Г. Карташевский. - М. : Горячая линия - Телеком, 2013. -
130 с. : ил.; 121 экз. НТБ ПГУТИ.
4.Нормы технологического проектирования. Городские и сельские телефонные сети. НТП 112. 2000,РД 45.120-2000. М.: Информсвязь, 2001.
3 Подготовка к занятию
1.Изучить соответствующий раздел лекций по дисциплине «Теория телетрафика».
2.Изучить соответствующие темы в рекомендованной литературе.
3.Подготовить ответы на контрольные вопросы.
4 Контрольные вопросы

1.Какой поток называется детерминированным?
2.Чем может быть определен (задан) детерминированный поток вызовов?

3.Чем может быть определен (задан) случайный поток вызовов?
4.Что означает понятие «стационарность потока»?
5.Дайте определение понятия «ординарность потока».

6. Что означает понятие «поток с последействием» ?
7. Что определяет интенсивность потока вызовов?
8. Дайте определение простейшего потока вызовов.

9. Какой поток вызовов называется простейшим?

5 10. Что позволяет определить формула Пуассона?
5 Порядок проведения занятия
1.Изучить предложенный теоретический материал по теме занятия.
2.Ответить на предложенные преподавателем вопросы.
3.Решить задачи на изучаемую тему.
6 Методические указания к практическому занятию
6.1 Характеристика и способы задания потоков сообщений
Различные системы телекоммуникаций (сети фиксированной и мобильной связи, в том числе узлы коммутации, контакт-центы различной структуры и назначения и т.д.) являются примерами систем массового обслуживания (СМО).
Мультисервисные сети связи как СМО включают в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (узлов коммутации, приборов, линий) или элементов, которые называют обслуживающими устройствами. Основные элементы СМО изображены на рис. 6.1.
1 2
N
Входящий поток заявок
Вход СМО
Поток не обслуженных
(покинувших очередь) заявок
Поток обслуженных заявок
Выход из СМО
Очередь
Обслуживающие устройства
Рис. 6.1 - Основные элементы СМО
Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:
1) входящий поток заявок;
2) очередь;
3) обслуживающие устройства;
4) выходящий поток, создаваемый обслуженными заявками.
Под входящим
потоком
заявок
понимается последовательность однородных заявок, следующих одна за другой в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на ЦСК, поток клиентов или поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение и т.п.).

6
Время обслуживания каждой заявки является также случайной величиной.
Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное, а случайное время. После обслуживания заявки обслуживающее устройство освобождается и готово к приему следующей заявки. Случайный характер потока и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО.
В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться не обслуженные заявки (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды при свободных обслуживающих устройствах на входе СМО заявок может не быть, что приводит к недогрузке
СМО, т.е. к простаиванию обслуживающих устройств.
Входящий поток заявок характеризуется интенсивностью λ - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в систему массового обслуживания (СМО) в единицу времени. Поток обслуженных системой событий характеризуется интенсивностью μ.
Поток сообщений называется регулярным или детерминированным, если сообщения следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Другими словами, детерминированный поток (ДП) представляет собой поток сообщений, последовательность моментов поступления которых, определена заранее. ДП редко встречается на практике, т.к. сложно обеспечить четкое поступление сообщений по заранее известному расписанию. Примером ДП могут служить потоки моментов начала и окончания передач программ радио и телевещания по канала связи. Поток сеансов связи с искусственными спутниками земли. Однако и здесь возможны случайные, непредвиденные изменения расписания. ДП задается одним из следующих эквивалентных способов (рис.6.2):
Рис. 6.2 - Способы задания детерминированного потока
На рис. 6.2 показаны три основных способа задания ДП:
1) последовательностью моментов поступления заявок (рис.6.2а):
, где k- порядковый номер поступившей заявки;

7 2) последовательностью промежутков между моментами поступления заявок (рис.2.1а):
;
- это промежуток времени предшествующий появлению k-ой заявки
(
3) целочисленной неотрицательной и неубывающей функцией
, характеризующей число заявок, поступивших в промежутке
. Точки скачков функции соответствуют моментам поступления заявок, а величины скачков - числу заявок, поступивших в вызывающий момент (рис. 6.2 б).
Случайный поток сообщений (СП) - это поток, в котором моменты поступления сообщений и промежутки времени между сообщениями являются случайными величинами, поэтому СП задается вероятностным значением распределения соответствующих случайных величин:
1.Законом распределения моментов поступления заявок - t
k
;
2. Законом распределения промежутков между заявками -
3. Законом распределения числа поступающих заявок в промежутке
6.2 Основные свойства потоков сообщений
Случайные потоки сообщений классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия следующих трех свойств:
- стационарности;
- ординарности;
- последействия.
Поток сообщений называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
Стационарность означает однородность процесса поступления сообщений
(заявок), т.е. вероятность поступления некоторого числа заявок за какой - то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.
Стационарный поток характеризуется функциями
- вероятность того, что за промежуток времени
, поступит точно заявок (событий). Реально поступивший в СМО поток событий имеет явно выраженный не стационарный характер, интенсивность потока событий существенно зависит от времени суток, дня недели и даже времени года. Однако внутри суток всегда можно выделить одночасовые промежутки времени, в течении которых поступающий поток событий близок к стационарному.
Интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: λ(t) = λ.
Это не значит, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно. Поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины t может попасть больше, на другой - меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

8
Если в качестве примера СМО рассматривать ЦСК городской сети связи, то реально поступивший в СМО поток заявок имеет явно выраженный не стационарный характер, интенсивность потока заявок существенно зависит от времени суток, дня недели и даже времени года. Однако внутри суток всегда можно выделить одночасовые промежутки времени, в течении которых поступающий поток заявок близок к стационарному.
Поток сообщений называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени Δt двух и более сообщений пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного сообщения:
, при
Последействие - зависимость вероятностных характеристик поступающего потока сообщений от предыдущих событий. Другими словами, вероятность поступления сообщений в промежутке зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания сообщений, поступивших до момента времени .
Поток сообщений, поступающих от достаточно большой группы источников близок по своим свойствам к потоку без последействия (если не учитывать повторные сообщения).
Поток сообщений от малой группы источников наоборот обладает заметным последействием. Так при емкости группы источников вероятность поступления сообщений существенно зависит от числа свободных источников и будет заметно больше, если
, чем при
Число свободных источников в свою очередь зависит от предыдущих событий, что и определяет последствие потока. С ростом емкости группы источников сообщений, постепенно уменьшается доля занятых источников по отношению к общему их числу соответственно и ослабевает последействие потока, и при его уже можно не учитывать.
Последействие может быть:
1) ограниченное - когда промежутки между моментами поступления сообщений
,
,…
,образуют последовательность взаимно независимых случайных величин;
2) простое - означает, что вероятность поступления сообщения за бесконечно малый промежуток времени определяется состоянием СМО в момент времени t.
Соответственно, поток сообщений называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t
1
и t
2
число сообщений, попадающих на один из них, не зависит от числа сообщений попавших на другой.
По сути, это означает, что сообщений, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Например, поток заявок, поступающих на обслуживание в сеть фиксированной или мобильной связи, является потоком без последействия.

9 6.3 Простейший поток сообщений
Поток сообщений, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским).Название «простейший» объясняется тем, что
СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание.
Следует отметить, что самый простой, на первый взгляд, детерминированный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью. Без специальных усилий по поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается.
Простейший поток полностью определяется функцией и подчиняется закону Пуассона:
(6.1)
Пуассоном на основании формулы (6.1) составлены таблицы (см.П.1), которые позволяют определить вероятность поступления не менее k-событий
(заявок) за время [0,t):
)
!
)
(
(
k
k i
k i
t
t
P
t
e
k









(6.2)
Из формул (6.1) и (6.2) видно, что при у.е.в.(условная единица времени) вероятности и зависят только от и . С возрастанием закон Пуассона стремиться к нормальному закону распределения непрерывной случайной величины (при совпадают с нормальным законом распределения случайной величины). На рис. 6.3 показаны изменения в зависимости от значения и
Из приведенных рисунков видно, что максимум достигается:
1. При целом в двух точках и
;
2. При дробном в одной точке когда

10
Рис. 6.3 - Зависимость от значения и
Свойства простейшего потока:
1. При объединении «n» независимых простейших потоков с интенсивностями образуется общий простейший поток с интенсивностью:
1
n
i
i





. (6.3)
2. Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих заявок (сообщений) за промежуток времени равна единице:
0
( ) 1
k
k
P t




. (6.4)
3. Математическое ожидание и дисперсия числа сообщений за промежуток времени совпадают и равны:
. (6.5)
7 Примеры решения задач
Задача 1
В справочную службу через каждые t секунд поступает i заявок. Обработка одной заявки занимает ровно h секунд. Работает V операторов. Определить

11 свойства поступающего потока заявок. Найти необходимое соотношение между величинами t,i,h и V при условии, что к моменту поступления новой партии заявок все операторы будут свободны.
Решение:
Исходя из условия задачи, имеет место детерминированный (т.е. регулярный) поток поступления заявок. Однако, при i > 1 поток будет неординарным.
Работает V операторов независимо друг от друга. Поэтому, чтобы не было задержки, должно быть выполнено одно условие: V ≥ I /
Рассмотрим случай, когда V= i = 1. Поток заявок изобразим на оси

: где:
t - период поступления заявок;
h - время обработки .
Рис. 7.1- График поступления и обслуживания заявок
Выполнение заявок без задержки обслуживания будет при условии: t ≥ h.
Если же будет выполняться условие t < h , то возможна задержка при обслуживании.



Рис. 7.2 - График поступления и обслуживания заявок с задержкой
Задача 2
Построить распределение вероятностей P
k
(t) поступления k вызовов за промежуток t = 180 сек. для простейшего потока с параметром
160
выз
час


Указать максимальные значения вероятностей P
k
(t) и не менее восьми соседних значений. Для приведенных данных построить также распределение вероятностей
( )
k i
P
t

поступления не более i вызовов за промежуток t .
t
t
t
t
t
t
h
h
h
h
h
h


1 2
3 4
5 6
7 заявки