Файл: Программа Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки.pdf

42
Накаленные твердые тела испускают сплошной спектр излучения, состоящий из электромагнитных волн различной длины. Видимое человеческим глазом элек- тромагнитное излучение, называемое светом, представляет собою лишь весьма уз- кий диапазон спектра шириной 0,35 мкм с длинами волн от 0,40 до 0,75 мкм. Неви- димые лучи с большей длиной волны (более 0,75 мкм) относятся к инфракрасному участку спектра излучения, охватывающему диапазон от 0,75 до 400 мкм, за кото- рым инфракрасный участок спектра постепенно переходит в диапазон радиоволн.
Невидимые лучи с меньшей длиной волны (менее 0,40 мкм) относятся к ультрафио- летовому участку спектра излучения.
В области температурных измерений используют в основном диапазон инфра- красных и видимых лучей.
Термометры, действие которых основано на измерении теплового излучения, называют пирометрами. Они позволяют контролировать температуру от 100 до
60000С и выше. Одним из главных достоинств данных устройств является отсутст- вие влияния измерителя на температурное поле нагретого тела, так как в процессе измерения они не вступают в непосредственный контакт друг с другом. Поэтому данные методы получили название бесконтактных.

43
Лекция № 8
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИЗМЕРЕНИЙ
Общая погрешность измерений в основном определяется случайной погреш- ностью, учет которой очень важен. Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок. В основе теории случайных ошибок лежит предполо- жение о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинако- вой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто. Большие погрешно- сти встречаются реже, чем малые, или вероятность появления погрешности умень- шается с ростом её величины. При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех ре- зультатов измерений, а появление того или иного результата как случайного собы- тия описывается нормальным законом распределения.
Различают генеральную и выборочную совокупность измерений. Совокуп- ность всех возможных значений случайной величины в рассматриваемых условиях представляет собой генеральную совокупность. Некоторая часть этих эксперимен- тов, которая имеет место в действительных условиях, является выборочной или выборкой. Число экспериментов, составляющих выборку, представляет её объем.
Обычно считают, если число измерений n > 30, то среднее значение данной сово- купности х приближается к его истинному значению.
Теория случайных ошибок позволяет решить две основные задачи: оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров; определить ми- нимальное количество замеров, гарантирующее требуемую точность и надежность измерения. Наряду с этим возникает часто необходимость исключить грубые ошибки, определить достоверность полученных данных и др.
Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Для большой вы- борки и нормального закона распределения характеристикой измерения являются дис- персия Д или коэффициент вариации












 



x
k
n
x
x
Д
в
n
i
i
/
;
1
/
1 2
2


, (8.1)
Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем она выше, тем больше разброс. Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше kв, тем боль- ше изменчивость измерений относительно средних значений. Коэффициент вариации оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.
Доверительным называется интервал значений хi, в который попадает истин- ное значение хд измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной ве- роятностью измерения называют вероятность Рд того, что значение хд измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах.
Пусть необходимо установить вероятность того, что хд попадет в диапазон
а ≤ хд ≤ b. Доверительная вероятность Рд описывается выражением




]
/
)
[(
]
/
)
[(
2 1
)
(


x
a
Ф
x
b
Ф
b
x
m
a
P
P
д







, где Ф(t) – функция Лапласса, аргументом которой является

44


/

t
, (8.2) здесь
);
(
);
(
x
a
x
b







t – гарантийный коэффициент.
Функция Лапласса Ф(t) является интегральной, ее численные значения Ф(t) табулированы и изменяются (при t от 0 до t = 4,0) соответственно в пределах Ф(t) =
0 до Ф(t) = 0,9999.
Возможна и иная задача. На основе установленной доверительной вероятно- сти (очень часто ее принимают равной 0,9 - 0,95) необходимо установить точность измерений, т.е. доверительный интервал

2
Поскольку
)
/
(


Ф
P
д

, то по таблице обратным интерполированием можно определить половину доверительного интервала
t
P
Ф
д







)
(
arg
, (8.3) где t = arg Ф(Р
д
) – аргумент функции Лапласса или при малом числе измерений (n <
10) аргумент функции Стьюдента, которая также табулирована в зависимости от числа измерений n и вероятности Р
д
Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.
8.1. Установление минимального количества измерений
Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа изме- рений) N
min
при заданных значениях доверительного интервала

2
и доверительной вероятности Р
д
. При выполнении измерений необходимо знать их точность Δ, кото- рую обычно характеризуют с помощью среднего значения среднеквадратичного от- клонения
0

x
0



, (8.4) где
n
n
/
/
2 0





Значение
0

также называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки измерения Δ определяется аналогично тому, как и для измерений
0




t
Зная t, по таблице легко определить доверительную вероятность ошибки измерения.
Часто возникает необходимость в определении минимального количества из- мерений по заданной точности и доверительной вероятности. В этом случае анало- гично выражению (8.3) и с учетом условия (8.4) запишем
t
n
P
Ф
д




)
/
(
)
(
arg
0



. (8.5)
Отсюда, полагая N
min
= n, имеем
2 2
2 2
0 2
2
min





t
k
t
N
в


, (8.6) где k
в
– коэффициент вариации, %;
Δ – точность измерения, %.
Параметр N
min
вычисляется в следующей последовательности:
– проводят предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50;

45
– вычисляют среднеквадратичное отклонение
2



;
– в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают тре- буемую точность измерений




,
, которая должна быть не менее точности прибора;
– устанавливают нормированное отклонение t, которое также задают в зави- симости от точности измерений, например, при большей точности t = 3,0, при малой
– t = 2,0;
– из выражений (8.5) и (8.6) определяют N
min
. В дальнейшем в процессе экс- перимента число измерений не должно быть меньше N
min
Оценки измерений с помощью

и
0

по приведенным методам справедливы при n >30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых выборках применяют метод, предложенный английским математиком В.С. Госсетом (псевдо- ним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае


n
(практически при
n >20) переходят в кривые нормального распределения.
Для малой выборки доверительный интервал
, (8.7) где
ст

– коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблице в зависимости от зна- чения доверительной вероятности
ст
Ф
Зная
ст

, можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:
ст
д
x
x




. (8.8)
Возможна иная постановка задачи. Пусть известны n известных измерений ма- лой выборки. Необходимо определить доверительную вероятность Р
д
при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы
ст


. Задачу решают в такой последовательности. Вначале вычисляют
ст
x


,
,
0

, а затем, с помощью вели- чины
ст

, известного n и таблицы определяют доверительную вероятность.
8.2. Исключение грубых ошибок
Появление этих ошибок ощутимо влияет на результат измерений. При анализе эксперимента необходимо, прежде всего, исключить грубые ошибки. Однако, до то- го как исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действи- тельно грубая ошибка.
Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ря- да. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измере- ния является правило трех сигм, поскольку разброс случайных величин от среднего значения не превышает

3
min max,



x
x
. (8.9)
Более достоверными являются методы, базирующиеся на использовании дове- рительного интервала. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчи- няющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок крите- рии их появления вычисляют по формулам
ст
СТ





0

46
n
n
x
x
n
n
x
x
1
;
1
min
2
max
1












, (8.10) где min max
, x
x
– наибольшее и наименьшее значения из n измерений.
Установленные критерии сопоставляют с максимальным значением max

, при- веденным в таблице в зависимости от доверительной вероятности и числа измере- ний. После исключения грубых ошибок определяют новые значения

x
и

Методика выявления грубых ошибок с использованием критерия В.И. Рома- новского сводится к следующему. Задаются доверительной вероятностью Р
д
, и по таблице в зависимости от n находится коэффициент q. Вычисляют предельно до- пустимую абсолютную ошибку отдельного измерения
q
пр




. (8.11)
Если
пр
x
x




max
, измерение x
max
исключают из ряда наблюдений.
Для приближенной оценки можно применять такую методику:
– вычислить по (8.1) среднеквадратичное отклонение

;
– определить с помощью (8.4) среднюю ошибку
0

;
– принять доверительную вероятность

д
Р
и найти доверительный интервал
ст

из формулы (8.7);
– окончательно установить действительное значение измеряемой величины по формуле (8.8).
Определение ошибки функции. Во многих случаях в процессе экспериментальных исследований приходится иметь дело с косвенным измерениями. При этом неизбежно в расчетах применяют функциональные зависимости типа
)
,...,
,
(
2 1
n
x
x
x
f
y

. Поскольку в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и оконча- тельный результат также будет приближенным. В связи с этим одной из задач исследо- ваний является определение ошибки функции, если известны ошибки их аргументов.
При исследовании функции одного переменного предельные абсолютные
пр

и относительные
пр

ошибки (погрешности) вычисляют по формулам
)
(
'
x
f
x
пр





, (8.12)
)
ln(x
d
пр



, (8.13) где
)
(
'
x
f
– производная функции f(x);
)
ln(x
d
– дифференциал натурального логарифма функции.
Если исследуется функция многих переменных, то
;
)
,...,
,
(
1 2
1






n
i
i
n
пр
dx
x
x
x
x
f
(8.14)
)
,...,
,
ln(
2 1
n
пр
x
x
x
d



. (8.15)
В формулах (8.14) и (8.15) под знаком суммы и дифференциала понимают аб- солютные величины. Порядок определения ошибок с помощью этих уравнений сле- дующий:

47
– определяют абсолютные и относительные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина


д
x
каждого пере менного измерена, следователь- но, абсолютные ошибки для аргументов известны, т.е.
n
x
x
x



,...,
,
2 1
;
– вычисляют относительные ошибки независимых переменных
д
x
x
д
x
x
д
x
x
x
x
x
n
n









...;
;
;
2 2
1 1
; (8.16)
– находят частные дифференциалы функции и по формуле (8.14) вычисляют
пр

в размерностях функции f(y);
– вычисляют по (8.15) относительную погрешность
пр

, %.