Файл: Программа Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки.pdf

8.3. Правила округления приближенных чисел
Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округле- ния. Остальные цифры называются значащими.
Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в раз- ряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешно- сти. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными, а справа – невер- ными. Например, числа
;
03
,
0 00
,
1
;
0002
,
0 00234
,
0
;
6 586



30 2000

содержат по три значащие цифры. При округлении числа
1 299793

до значения
5 10 3

допущена по- грешность 207, поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля – незначащие.
Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя.
Округление погрешности и действительного значения. Погрешность округля- ется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной, так как значение погрешности не имеет верных цифр.
Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разря- ду значащей цифры погрешности. Последняя цифра действительного значения со- мнительная, остальные цифры – верные.
При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая из них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше
3-х. Иногда в качестве второй цифры оставляют 0 или 5.
В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой опреде- ляется по значению инструментальной погрешности прибора.
Округление чисел. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у де- сятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяе- мая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следую- щим образом: последняя цифра в округлённом числе остаётся без изменения, если она чётная, и увеличивается на 1, если она нечётная.

48
Округление при вычислениях. При записи результатов промежуточных вы- числений сохраняется одна запасная цифра – цифра, стоящая справа от сомнитель- ной. При сложении и вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Ре- зультат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в ис- ходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в сте- пень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько зна- чащих цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмиро- вании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном чис- ле. Если один из операндов точное число, то количество его цифр не влияет на ок- ругление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.

49
Лекция № 9
ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
9.1. Графический анализ результатов эксперимента
После получения результатов измерений и оценки их точности, данные сводят в таблицы. Однако по табличным данным трудно установить закономерности, при- сущие изучаемым явлениям, поэтому результаты обрабатывают графическими ме- тодами. Графическим методом особенно удобно исследовать зависимости одного параметра от другого. Кроме того, метод получил широкое распространение при оценке степени согласования экспериментальных и теоретических исследований.
При обработке результатов измерений необходимо иметь в виду, что связи между изучаемыми параметрами имеют не только функциональный, но и стохасти- ческий (вероятностный) характер. В этом случае для изучения зависимости между исследуемыми величинами необходимо использовать методы корреляционного ана- лиза, с помощью которых можно оценить степень близости корреляционной зави- симости к функциональной.
Чтобы графически установить зависимость одних величин от других, необхо- димо нанести опытные данные на график. Большую роль при графическом изобра- жении играет выбор системы координат. Масштаб выбирается так, чтобы размеры по горизонтали и вертикали были приблизительно одинаковыми.
Каждую пару табличных значений хі, уі, принимают за координаты точки, ко- торые наносят на график. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ло- маную, характеризующую непосредственные результаты эксперимента, а границы разброса данных дают представление о погрешности измерений. Для получения ап- проксимационной зависимости точки нужно соединить плавной кривой, чтобы она по возможности проходила наиболее близко ко всем экспериментальным точкам.
9.2. Методы подбора эмпирических формул
В процессе экспериментальных исследований получают статистический ряд измерений. На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Они имеют ограничен- ную область применения, которая не должна выходить за пределы эксперимента.
Эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитиче- ских зависимостей. Замену точных аналитических выражений называют аппрокси- мацией, а функции – аппроксимирующими.
Процесс подбора эмпирических формул состоит в следующем. Вначале на сет- ку прямоугольных координат наносят данные измерений, соединяет точки плавной кривой, и выбирают её вид, а затем вычисляют параметры формул. Наиболее часто встречающиеся виды графиков эмпирических формул представлены на рис. 9.1.
При подборе эмпирических формул широко используют полиномы
n
n
x
A
x
A
x
A
A
y





2 2
1 1
0
, (9.1) где А
0
,…, А
n
– постоянные коэффициенты.

50 а – линейная функция (y=a+b x, b=tg ); б – степенная функция (y=a xb; 1 – b= –1;
2 – b= –0,4; 3 – b= 0; 4 – b= 0,4; 5 – b= 1); в – экспоненциальная функция (y=a еbx;
1 – b= –0,4; 2 – b= –0,1; 3 – b= 0; 4 – b= 0,1; 5 – b= 1)
Рисунок 9.1 - Основные виды графиков эмпирических формул
Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически представляют собой непрерывные функции. Даже при неизвестном выражении (9.1), ее функции можно определить, применяя методы средних и наи- меньших квадратов.
Метод средних. Метод средних основан на следующем предположении. Если по экспериментальным точкам можно построить несколько плавных кривых, то наилучшей будет та кривая, у которой разностные отклонения наименьшие. Следо- вательно, подбор эмпирической формулы по методу средних основывается на усло- вии равенства нулю всех отклонений функции от среднего значения, т.е.
0 1



m
i
i

, (9.2) где



y
y
i
i

– единичное отклонение.
Последовательность нахождения коэффициентов эмпирической формулы по методу средних сводится к следующему: а) на основании предварительного анализа результатов эксперимента устанав- ливают вид функции, в качестве которой чаще всего используют многочлен; б) определяют число членов ряда, обычно ограничиваясь 3-4; в) в принятое выражение подставляют все пары измеренных значений х
і
и у
і
для определения отклонений
1 1
1 2
1 2
1 1
0







y
x
A
x
A
x
A
A
n
n
; .
2 2
2 2
2 2
2 1
0







y
x
A
x
A
x
A
A
n
n
; (9.3)
m
m
n
m
n
m
m
y
x
A
x
A
x
A
A







2 2
1 0
; . г) обычно число уравнений больше количества коэффициентов А, поэтому от- клонения распределяют на столько групп, сколько неизвестных коэффициентов в уравнении; д) приравнивая к нулю сумму отклонений для каждой из групп, получают систе- му линейных уравнений относительно искомых параметров А. Для решения систем уравнений в математическом обеспечении ПЭВМ имеются стандартные программы; е) после определения численных значений коэффициентов проверяется каче- ство аппроксимации сопоставлением знаний функции и экспериментальных точек.

51
Метод наименьших квадратов. Наилучшие результаты при определении пара- метров заданного уравнения дает использование метода наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в следующем. Если все измерения функции у
1
, у
2
, ... произ- ведены с одинаковой точностью, а ошибки измерения соответствуют нормальному закону распределения, то параметры исследуемого уравнения определяются из усло- вия, что сумма квадратов отклонений измеренных значений от расчетных принимает наименьшее значение.
Если аппроксимирующее уравнение записать в виде
n
n
x
b
x
b
b
x
y




)
(
2 1
, (9.4) а имеющиеся данные в точках х
i
обозначить через у
i
, то условием минимума суммы квадратов будет равенство




min
)
(
,...,
,
,
1 2
2 1
1





n
i
i
n
x
y
b
b
b
x
y
S
, (9.5) где n – число экспериментальных точек.
В математическом обеспечении современных ЭВМ имеются стандартные про- граммы для аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадра- тов. Метод наименьших квадратов обеспечивает результаты высокой надежности.
9.3. Применение методов корреляционного анализа
Зависимость между одной случайной переменной и условным средним значе- нием другой случайной переменной называется корреляционной. Под корреляцион- ным анализом понимают исследование закономерностей между явлениями (процес- сами), которые зависят от случайных факторов. Суть корреляционного анализа сво- дится к установлению уравнения регрессии, т.е. зависимости между случайными ве- личинами, аргументом х и функцией у, оценке тесноты связи между ними, досто- верности и адекватности результатов измерений. Чтобы определить наличие связи между х и у строят так называемое корреляционное поле (см. рис. 9.2).
1 - экспериментальная регрессионная зависимость;
2 - теоретическая регрессионная зависимость
Рисунок 9.2 - Корреляционное поле
По расположению точек и наклону средней линии уже визуально можно су- дить о наличии корреляционной связи. Так, очевидно, что с увеличением значений х на рис. 1 значения у увеличиваются. Следовательно, можно сделать вывод, то име- ется положительная связь между х и у. Если на корреляционном поле осреднить точки, т.е. определить

i
x
и
)
(x
y
i

, нанести эти точки на график и соединить их между

52 собой, то получим ломаную линию (1), по виду которой можно судить, как в сред- нем меняется у в зависимости от изменения х. Такая линия называется эмпириче- ской линией регрессии. По ее виду можно сделать предположение о форме связи. В данном случае ломаную линию можно аппроксимировать прямолинейной или кри- волинейной зависимостями.
Если на корреляционном поле провести плавную линию, которая равноудале- на от средних точек, то получим теоретическую регрессионную зависимость. Такую зависимость называют парной или однофакторной. В общем случае парная зависи- мость может быть аппроксимирована линией, параболой, логарифмической, степен- ной и показательной функциями, полиномом и др.
Линейная регрессия, или линейная форма связи между случайными переменными, занимает особое место в корреляционном анализе. При такой связи
)
(x
y

есть линейная функция
x
a
a
x
y
1 0
)
(



, (9.6) где а
0
и а
1
– коэффициенты регрессии;
х – независимая случайная переменная.
Параметры в уравнении регрессии (коэффициенты регрессии) определяются по способу наименьших квадратов, т.е. при построении теоретической регрессионной зависимости оптимальной будет такая функция, у которой соблюдается условие min
)
(
2






 


x
y
y
i
, (9.7) где
i
y
– фактические ординаты поля;
)
(x
y

– среднее значение ординаты с абсциссой х.
В случае линейной регрессии за теоретическое значение принимается величи- на, получаемая по формуле (9.6), т.е. ищется такая прямая линия, сумма квадратов отклонений измеренных значений у
і
от которой была бы минимальной min
1 2
)
(
Q
x
y
y
Q
n
i
i




 




. (9.8)
Как известно, минимум функции можно найти, приравняв к нулю ее первую производную. Запишем выражение (9.8) в виде


min
2 1
0
Q
x
a
a
y
Q





, и найдем частные производные функции Q по a
0
и a
1
, приравняв их нулю. Составим систему нормальных уравнений











 
,
;
2 1
0 1
0
xy
x
a
x
a
y
x
a
n
a
(9.9) решая которую получаем значения коэффициентов регрессии
 
 
;
2 2
1 2
2 2
0

















x
x
n
y
x
yx
n
a
x
x
n
yx
x
x
y
a
(9.10)

53
Зависимость (9.6) является частным случаем более общей нелинейной зависи- мости
k
k
x
a
x
a
x
a
a
x
y






)
(
2 2
1 0
. (9.11)
Коэффициенты регрессии а
0
, а
1
, …а
k
в (9.11) определяются аналогично, по способу наименьших квадратов.
В общем случае тесноту связи оценивают по отношению к общей дисперсии
2
y

, т.е. рассматривают отношение
2 2
2
)
(
y
y
Т
x
y
M










, (9.12) где
)
(x
y

– теоретическая функция регрессии;
y

– условное генеральное среднее;
М [] – математическое ожидание;
2
y

- полная дисперсия;
2
Т

- теоретическое корреляционное отношение.
Критерием близости корреляционной зависимости между х и у линейной функциональной зависимости является коэффициент корреляции, который показы- вает степень линейности связи между х и у













 





2 2
2 2
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
n
x
x
n
y
x
y
x
n
r
, (9.13) где n – число измерений.
Коэффициент корреляции является частным случаем теоретического корреля- ционного отношения (9.12), когда связь между переменными х и у линейна. Значе- ние коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При r =1 переменные х и у связаны функциональной линейной связью.
6.4. Оценка адекватности теоретических предпосылок экспериментальным
данным
Проверка теоретических данных на адекватность, т.е. пригодность теоретиче- ской кривой экспериментальным данным, необходима на стадии анализа теоретико- экспериментальных исследований. Методы оценки адекватности основаны на ис- пользовании доверительных интервалов, позволяющих с заданной доверительной вероятностью определить значения оцениваемого параметра.
В практике оценки адекватности применяют различные статистические крите- рии, наиболее употребляемым является критерий Фишера. В этом случае для адек- ватности необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение критерия
Фишера (К
ф.э.
) и сравнить его с теоретическим (табличным) (К
ф.т.
), принимаемым при требуемой доверительной вероятности Р
д
(обычно Р
д
= 0,95). При этом, если
К
ф.э.
< К
ф.т.
, то модель адекватна, если К
ф.э.
> К
ф.т.
, то модель неадекватна.
Экспериментальный критерий вычисляют по формуле
ср
а
Э
Ф
Д
Д
К

, (9.18)