42. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел. Их основные свойства.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Определения:

1. 
   Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
   
2. 
   Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка
   
3. 
   Свойства наибольшего общего делителя:
   
4. 
   НОД(a, b) = НОД(b, a)
   
5. 
   НОД(a, b) = НОД(-a, b)
   
6. 
   НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
   
7. 
   НОД(a, 0) = |a|
   
8. 
   НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
   
9. 
   НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)
   

Свойства наименьшего общего кратного:

10. 
    НОК(a, b) = НОК(b, a)
    
11. 
    НОД(a, b) = НОД(-a, b)
    
12. 
    НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
    
13. 
    НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)
    

43. Признак делимости на составное число.

Признаки делимости на составные числа

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Правила делимости чисел:

• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3)..

Признаки делимости на 12.

1 признак: число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4.

2 признак: число делится на 12, когда разность удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 12.

Признак делимости на 14.

Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

Признак делимости на 15.

---

Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

44. Алгоритмы нахождения НОК (a, b) и НОД (a, b).

Способы нахождения НОД двух чисел:

1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

14. 
    Выписываем все делители числа а;
    
15. 
    Выписываем все делители числа b;
    
16. 
    Выбираем среди них общие делители;
    
17. 
    Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).
    

2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

18. 
    Найти делители меньшего из данных чисел.
    
19. 
    Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
    
20. 
    Записать найденное число – НОД.
    

3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

21. 
    Находим разложение чисел на простые множители.
    
22. 
    Подчеркиваем общие числа.
    
23. 
    Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
    
24. 
    Записываем ответ.
    

4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел вычитанием.

25. 
    Из большего числа вычитается меньшее.
    
26. 
    Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
    
27. 
    Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
    
28. 
    Переход к пункту 1.
    

Способы нахождения НОК двух чисел:

1 способ: Метод перебора

---

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

29. 
    Разложить данные числа на простые множители.
    
30. 
    Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел.
    
31. 
    Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа.
    
32. 
    Полученное произведение записать в ответ.
    

45. Задача расширения понятия числа. Краткие исторические сведения о возникновении понятия дроби и отрицательного числа.

Определение. Множество В называется расширением некоторого множества А, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:

1) Множество А есть собственное подмножество множества В, т.е. АÌВ.

2) Все отношения и операции, определенные в множестве А, обязательно выполняются в множестве В, при этом их смысл для элементов множества А совпадает с тем, который они имели в множестве А до расширения.

3) В множестве В выполнима какая-то новая алгебраическая операция, которая в множестве А была не выполнима или не всегда выполнима (это и есть внутренняя причина расширения множества).

4) Множество В является минимальным расширением множества А, т.е. не должно существовать промежуточного множества С, такого что А Ì С Ì В, обладающего вышеуказанными свойствами.

Большинство применений математики связано с измерением величин, но для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, нужно расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности. Измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел – получили рациональные числа, а в 5 в до н. э. Пифагором было установлено, что существуют отрезки, длину которых нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы появились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в 19 веке. Взаимосвязи между различными множествами чисел можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера.

---

46. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись числа в десятичной системе.

Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения над ними действий.

Позиционная система счисления – если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.

Непозиционная система счисления – каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = a_n·10ⁿ+a_n-1·10^n-1+ ... + а₁·10 + а₀, где коэффициенты a_n, a_n-1, …, а₁, а₀, принимают значения 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 и а_n≠0.

Сумму a_n·10ⁿ+a_n-1·10^n-1+ ... + а₁·10 + а₀ в краткой форме принято записывать так: .

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х=a_n·10ⁿ+a_n-1·10^n-1+ ... + а₁·10 + а₀ (1),

где а_n, а _n

---

_-1, ... ,а₁,а₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, и такая запись единственна.

---

Смотрите также файлы

• Конспект урока математики по теме Геометрические фигуры форма, цвет.docx

• Тест Сорокина Е.doc

• Бла жалпы орта білім беретін мектебіні мектепалды даярлы тобыны мектепке.docx

• 1. Выполнить деление комплексных чисел Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.docx

• дістемелік нсаулар Алты жасар балаларды ойын жне жаттыулар арылы оыту 2008 жыл.doc