Файл: 42. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел. Их основные свойства.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 63

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
42. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел. Их основные свойства.НОД — это наибольший общий делитель.НОК — это наименьшее общее кратное.Определения:

  1. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

  2. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка

  3. Свойства наибольшего общего делителя:

  4. НОД(a, b) = НОД(b, a)

  5. НОД(a, b) = НОД(-a, b)

  6. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)

  7. НОД(a, 0) = |a|

  8. НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z

  9. НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)
Свойства наименьшего общего кратного:

  1. НОК(a, b) = НОК(b, a)

  2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)

  3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)

  4. НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)
43. Признак делимости на составное число.Признаки делимости на составные числаПризнаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.Правила делимости чисел:• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.Признак делимости на 6.Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3)..Признаки делимости на 12.1 признак: число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4.2 признак: число делится на 12, когда разность удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 12.Признак делимости на 14.Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.Признак делимости на 15.
Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5.Признак делимости на 18Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.44. Алгоритмы нахождения НОК (a, b) и НОД (a, b).Способы нахождения НОД двух чисел:1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

  1. Выписываем все делители числа а;

  2. Выписываем все делители числа b;

  3. Выбираем среди них общие делители;

  4. Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).
2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

  1. Найти делители меньшего из данных чисел.

  2. Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.

  3. Записать найденное число – НОД.
3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

  1. Находим разложение чисел на простые множители.

  2. Подчеркиваем общие числа.

  3. Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.

  4. Записываем ответ.
4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел вычитанием.

  1. Из большего числа вычитается меньшее.

  2. Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.

  3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.

  4. Переход к пункту 1.
Способы нахождения НОК двух чисел:1 способ: Метод перебора
1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

  1. Разложить данные числа на простые множители.

  2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел.

  3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа.

  4. Полученное произведение записать в ответ.
45. Задача расширения понятия числа. Краткие исторические сведения о возникновении понятия дроби и отрицательного числа.Определение. Множество В называется расширением некоторого множества А, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:1) Множество А есть собственное подмножество множества В, т.е. АÌВ.2) Все отношения и операции, определенные в множестве А, обязательно выполняются в множестве В, при этом их смысл для элементов множества А совпадает с тем, который они имели в множестве А до расширения.3) В множестве В выполнима какая-то новая алгебраическая операция, которая в множестве А была не выполнима или не всегда выполнима (это и есть внутренняя причина расширения множества).4) Множество В является минимальным расширением множества А, т.е. не должно существовать промежуточного множества С, такого что А Ì С Ì В, обладающего вышеуказанными свойствами.Большинство применений математики связано с измерением величин, но для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, нужно расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности. Измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел – получили рациональные числа, а в 5 в до н. э. Пифагором было установлено, что существуют отрезки, длину которых нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы появились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в 19 веке. Взаимосвязи между различными множествами чисел можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера.
46. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись числа в десятичной системе.Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения над ними действий.Позиционная система счисления – если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.Непозиционная система счисления – каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = an·10n+an-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0, где коэффициенты an, an-1, …, а1, а0, принимают значения 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 и аn≠0.Сумму an·10n+an-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0 в краткой форме принято записывать так: .Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:х=an·10n+an-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0 (1),где аn, а n
-1, ... ,а1,а0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, и такая запись единственна.

Смотрите также файлы