Файл: Лабораторная работа 5 01. 09. 2022 первое высшее техническое учебное заведение россии.pdf

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022
ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра общей и технической физики
МЕХАНИКА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2022

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 2
РАБОТА 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему
Штейнера.
Теоретические основы лабораторной работы
Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении.
Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.
Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле
J
r dm
r dV




2 2

, где
r
- расстояние от элемента объема
dV с массой dm до оси вращения,

- плотность вещества.
Рис. 1. Общий вид экспериментальной установки
Таким образом, момент инерции тел различной формы можно найти как результат интегрирования по соответствующему объёму тела.
Частные случаи.
1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения
2
mR
J

(5.1)
2. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к плоскости основания цилиндра и проходящей через его центр масс (ось цилиндра)
2 2
mR
J

(5.2) здесь R, m - радиус и масса цилиндра.
Так как момент инерции не зависит от высоты цилиндра, эта же формула справедлива для момента инерции однородного диска относительно оси перпендикулярной к плоскости диска.

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 3
3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R
1
и внешним радиусом R
2
относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.
)
(
2 1
2 2
2 1
R
R
m
J


(5.3)
4. Момент инерции шара массой m и радиуса R относительно оси проходящей через его центр масс
2 5
2
mR
J

(5.4)
5. Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси проходящей через его середину перпендикулярно стержню.
12 2
ml
J

(5.5)
Эти формулы справедливы для момента инерции относительно оси симметрии.
Момент инерции относительно произвольной оси, параллельной оси симметрии, можно найти с помощью теоремы Штейнера.
Момент инерции относительно произвольной оси О
1
О
1
равен сумме момента инерции I
0
,
относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и
произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.
2 0
md
J
J


(5.6)
Рисунок 2.
Например, с помощью теоремы Штейнера, зная момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр масс, можно получить формулу для вычисления момента инерции стержня относительно оси проходящей через его конец.
3 4
12 2
l
2 2
2 2
0
ml
ml
ml
m
J
J











(5.7)
В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу.
В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.
Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. В результате деформации пружины при её закручивании на угол

возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент (момент силы)
М

. Модуль момента пропорционален углу закручивания пружины
M = D

(5.8)
В этой формуле коэффициентом пропорциональности D является модуль кручения пружины.
O
O
O
1
O
1
l
d=l/2

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 4
С другой стороны из определения момента силы следует, что это вектор, модуль которого определяется по формуле
М = Fl
(5.9)
Крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние.
В результате возникают крутильные колебания.
В соответствии с теорией период крутильных колебаний определяется по формуле
D
J
T


2
(5.10)
Отсюда момент инерции тела
2 2
4


D
T
J
(5.11)
Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела, насаженного на ось пружины.
Методика лабораторной работы позволяет измерять моменты инерции стержня без грузов, стержня с грузами, сплошного цилиндра, полого цилиндра, диска и шара.
Порядок выполнения работы
При выполнении работы следует строго соблюдать правила техники безопасности и охраны труда, установленные в лаборатории. Работа выполняется в соответствии с нижеизложенным порядком выполнения и в объёме, предусмотренном индивидуальным заданием.
Записать в таблицу технические данные приборов:
№ п.п.
Название прибора
Пределы измерений
Число делений
Цена деления
Класс точности
Абсолютная приборная погрешность
1 2
1. Определение модуля кручения пружины
1. Возьмите стержень с грузами и насадите его на ось пружины. Грузы сдвиньте к центру.
2. Поверните стержень на 90° (

/2 радиан).
3. Прикрепите к стержню (у края грузов) динамометр и измерьте величину силы F, необходимую для удержания стержня в этом положении (динамометр держите перпендикулярно стержню и оси вращения).
4. Проделайте эти измерения для углов

, равных 180°, 270°, 360°.
5. Полученные данные занесите в таблицу 1.
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений.
Физическая величина

F
l
M
Единицы измерения
Номер опыта
1

/2 2

3 3

/2 4
2


Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 5
2. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом
Для измерения периода используется устройство, называемое световым барьером. Оно состоит из источника и приемника света. На ось пружины насажена непрозрачная полоска, размещаемая между источником и приемником света. При колебаниях эта пластинка периодически перекрывает луч света. Световой барьер может работать в нескольких режимах, которые устанавливаются с помощью переключателя. Он может измерять число колебаний, полпериода или целый период колебаний. Удобнее использовать режим измерения периода колебаний.
Порядок измерения периода
1. Установите переключатель в положение режим измерения периода, при котором на индикаторе высвечиваются четыре точки.
2. Насадите на ось пружины исследуемое тело.
3. Расположите всю систему так, чтобы непрозрачная полоска перекрывала луч света от источника.
4. Обнулите счётчик времени, закрутите пружину на 180
о и отпустите исследуемое тело.
5. Перепишите значение периода с индикатора.
6. Нажмите кнопку на световом барьере (обнулите показания индикатора).
7. Повторите измерения периода 5 – 10 раз.
8. Определите среднее значение периода.
3. Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей
через центр симметрии.
1. Выберите (по указанию преподавателя) определенное тело и насадите его на ось пружины.
2. Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (см. пункт 2).
3. Измерьте радиус тела (характерный размер) и определите его массу, взвесив тело на весах.
4. Проведите аналогичные измерения для других тел (по указанию преподавателя).
4. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс
тела и осью вращения.
1. Расположите грузы на стержне симметрично относительно оси вращения как можно ближе к оси.
2. Измерьте расстояние r от оси вращения до центров масс грузов.
3. Насадите стержень с грузами на ось пружины.
4. Измерьте период колебаний системы описанным выше способом (см. пункт 2).
5. Последовательно смещайте грузы от оси пружины на 2 см и измеряйте период.
6. Составьте таблицу 2.
Таблица 2
Результаты измерений и вычислений.
Физическая величина
r
r
2
T
J
Единицы измерения
Номер опыта м м
2
с кг
∙м
2 1
2 3
4 5
…

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 6
5. Проверка теоремы Штейнера.
1. Насадите на ось пружины стержень без грузов. Ось пружины должна совпадать с центром стержня.
2. Измерьте период колебаний описанным выше способом (см. пункт 2).
3. Сместите стержень относительно центра на некоторое расстояние d.
4. Измерьте период колебаний стержня со смещённой осью.
5. Измерьте массу стержня, его длину и расстояние d.
Обработка результатов измерений
Рисунок 3. График зависимости момента силы от угла поворота.
I. Определение модуля кручения пружины.
1. Вычислите модуль момента силы М по формуле (5.9).
2. Полученные данные занесите в таблицу 1.
3. По полученным данным постройте график зависимости М от

На графике (рис 3) тангенс угла

наклона прямой будет численно равен модулю кручения пружины D, согласноформуле (5.8).
4. Вычислите экспериментальное значение момента инерции. по формуле (5.10), используя полученные значения D и T.
5. По одной из формул (5.1–5.5) вычислите теоретическое значение момента инерции для данного тела.
6. Сравните теоретические и экспериментальные результаты.
7. По данным таблицы 2 нанесите на график зависимости J = f (r
2
) экспериментальные точки.
8. Запишите аппроксимирующую функцию для момента инерции стержня с грузами в виде
2
ст
2mr
J
J


здесь m –масса одного груза.
В переменных J = f (r
2
) это уравнение прямой, не проходящей через начало координат.
M


r
2
J

J
ст

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 7
Рисунок 4. График зависимости момента инерции от квадрата радиуса.
9. По методу наименьших квадратов проведите прямую согласно функциональной зависимости.
Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат равен моменту инерции стержня J
ст
.
10. Сравните это значение с теоретическим значением J (формула 5.5).Результат сравнительной оценки представьте в процентах.
11. Вычислите по формуле (5.11) момент инерции стержня без грузов J
o относительно оси, проходящей через его центр масс, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте 5.
12. Вычислите по формуле (5.11) момент инерции стержня без грузов J относительно оси, смещённой на расстояние d, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте 5.
13. Вычислите по формуле (5.6) теоретическое значение момент инерции стержня J,
используя результаты измерения расстояния d, массы и длины стержня из пункта 5.
14. Выполните сравнительную оценку теоретического и экспериментального значения момента инерции стержня.
Контрольные вопросы
1. Что такое момент инерции тела? Поясните его физический смысл.
2. Сформулируйте теорему Штейнера.
3. Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции стержня, диска, шара, цилиндра?
4. Можно ли при помощи предложенного метода определить момент инерции тела неправильной формы?
5. Каков характер зависимости момента инерции от расстояния, на котором находится тело от оси вращения?
6. Как экспериментально определяется момент инерции тела в данной лабораторной работе?
7. Какие законы сохранения применяются для вывода расчетных формул?
8. Какие колебания называются крутильными? Что такое крутящий момент?
9. Почему момент инерции сплошного цилиндра меньше момента инерции полого цилиндра такой же массы и такого же радиуса?
10. В результате смещения грузов к краям стержня момент инерции маятника увеличился в
2 раза. Как изменился период колебаний?

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 8

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 9
ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ ОТЧЁТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
Отчёт оформляется в печатном виде на листах формата А4 в соответствии с указанными ниже требованиями.
Помимо стандартного титульного листа в содержании отчёта должны быть раскрыты пункты, перечисленные ниже.
1. Цель работы.
2. Краткое теоретическое содержание.
1) Явление, изучаемое в работе.
2) Определения основных физических понятий, объектов, процессов и величин.
3) Законы и соотношения, описывающие изучаемые процессы, на основании которых, получены расчётные формулы.
4) Пояснения к физическим величинам и их единицы измерений.
3. Схема установки.
4. Расчётные формулы.
5. Формулы для расчёта погрешностей косвенных измерений.
6. Таблицы с результатами измерений и вычислений. (Таблицы должны иметь
номер и название. Единицы измерения физических величин должны быть указаны в
отдельной строке таблицы под строкой с обозначениями физических величин.)
7. Пример вычисления (для одного опыта).
1) Исходные данные.
2) Вычисления.
3) Окончательный результат.
8. Графический материал.
1) Записать аналитическое выражение функциональной зависимости, которая представлена на графике.
2) На осях координат указать масштаб, физические величины и единицы измерения.
3) На координатной плоскости должны быть нанесены экспериментальные точки.
4) По результатам эксперимента, представленным на координатной плоскости, провести плавную линию, аппроксимирующую функциональную теоретическую зависимость в соответствии с методом наименьших квадратов.
9. Анализ полученного результата. Выводы.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
1. Графики строятся с использованием компьютера.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х), значения функции - на оси ординат (ось у).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. На осях координат указать масштаб (при очень больших или очень малых величинах, показательную часть в записи величины указать рядом с единицами измерений на оси).
6. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).
7. Провести через экспериментальные точки плавную линию, в соответствии с выбранной аппроксимирующей (приближающей) функцией, описывающей зависимость между величинами, полученными в результате экспериментальных измерений. (Определение параметров приближающей функции выполняется одним из наиболее распространённых математических методов - методом наименьших квадратов. В компьютерной программе Еxcel реализация метода осуществляется при использовании режима линии тренда и выбранного вид аппроксимирующей функции.)

Лаборатория механики
Лабораторная работа №5 01.09.2022 10
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ЗАЩИТЕ ОТЧЕТА
К защите допускаются студенты, подготовившие отчет в соответствии с требованиями к его содержанию в установленные сроки. После проверки преподавателем содержания отчёта, при наличии ошибок и недочетов, работа возвращается студенту на доработку. При правильном выполнении лабораторной работы, соблюдении всех требований к содержанию и оформлению отчёта, студент допускается к защите.
Для успешной защиты отчета необходимо изучить теоретический материал по теме работы, а так же освоить математический аппарат, необходимый для вывода расчётных формул работы.
При подготовке к защите, помимо данного методического пособия, необходимо использовать учебники и другие учебные пособия, рекомендованные к учебному процессу кафедрой ОТФ.
Во время защиты студент должен уметь ответить на вопросы преподавателя в полном объёме теоретического и методического содержания данной лабораторной работы, уметь самостоятельно вывести необходимые расчётные формулы, выполнить анализ полученных зависимостей и прокомментировать полученные результаты.
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Учебники и учебные пособия
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. СПб., М.: Лань, 2009.
2. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. М.: Высшая школа, 2009.
3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. СПб., М.: Лань, 2009.
4. Савельев И.В. Курс физики. Т. 2, 3. СПб.: М.: Лань, 2008.
5. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2009.
6. Яворский Б.М. Основы физики т.1,2. / Б.М. Яворский, А.А. Пинский. М.: Наука, 2009.
Сборники задач
7. Рогачев Н.М. Решение задач по курсу общей физики. СПб., М.: Лань, 2008.
8. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. СПб., М.: Лань, 2007.
9. Трофимова Т.И. Курс физики: задачи и решения. М.: Академия, 2009.
10. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями. М.: Высш. школа, 2009.
11. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: Лань, 2009.
12. Чертов А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. М.: Физматлит, 2009.
Дополнительная литература
13. Калашников Н.П. Физика. Интернет-тестирование базовых знаний / Н.П. Калашников,
Н.М. Кожевников.СПб., М.: Лань, 2009. Сайт Росаккредагенства www.fepo.ru
14. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977.
15. Сивухин Д.В. Общий курс физики, тт. 1-5, М.: Наука, 2009.
16. Трофимова Т.И. Краткий курс физики. М.: Высшая школа, 2010.
17. Фриш С.Э. Курс общей физики / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева А.В. СПб., М.: Лань, 2008.