Файл: Решение а Запишем ряд с общим членом.docx

Сделать презентацию

Скачать файл (0,14Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 58

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимости:а) б) Решение:а) Запишем ряд с общим членом: Применением интегральный признака Коши. Функция - не отрицательна при и монотонно убывает, тогда - т.е. интеграл расходится. Тогда по интегральному признаку Коши расходится и ряд .б) Запишем ряд с общим членом: .Исследуем данный ряд с помощью признака Даламбера. Здесь , . Применяем признак Даламбера:Получили . По признаку Даламбера ряд сходится.Ответ: а) расходится; б) сходится.3. Найти область сходимости рядов: Решение:По признаку Даламбера ряд сходится, если , где - общий член ряда.ТогдаИз последнего следует, что Таким образом интеграл сходимости: . *** При , получаем числовой знакоположительный ряд который расходится, так как по интегральному признаку Коши расходится и интеграл: .*** При , получаем числовой знакочередующийся ряд

который сходится условно, так как ряд из модулей расходится: . А ряд сходится по признаку Лебница, общий член ряда по абсолютному значению стремится к нулю, причем монотонно: .Таким образом, область сходимости первоначального ряда будет: .Ответ: - область сходимости ряда. 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням : .Решение:Ряд Тейлора по степеням : Вычисляем ;и т.д.Получаем разложениеОтвет:5. Вычислить с точностью до 0,0001.Решение:Воспользуемся известным разложением в ряд Тейлора функции , .Тогда Полученный числовой ряд есть ряд знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Следовательно, чтобы вычислить требуемое значение с точностью , достаточно взять всего три члена ряда, при этом ошибка будет меньше 4-го члена: .Таким образом, с требуемой точностьюОтвет:

.

6. Взяв три члена разложения в степенной ряд подынтегральной функции, вычислить

.

Оценить погрешность полученного результата.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение косинуса взяв три члена ряда, разделив каждое слагаемое на получим разложение подынтегральной функции:

.

Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т.е.

. Для оценки погрешности используем признак Лейбница:

.

Ответ: , .
7. Решить дифференциальное уравнение

.

Определить три ненулевых члена разложения в ряд решения.

Решение:

Ищем решение этой задачи Коши в виде ряда Маклорена:

По условию , далее поочередно вычисляем:

;

;

и т.д.

Таким образом получаем разложение в степенной ряд:

Ответ:
8. Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение:

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке

по формуле

, где ,

У нас , тогда

Таким образом, имеем следующее разложение функции:

Ответ: .
377. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривой

, с осью и прямой .

Решение:

Координаты центра тяжести однородной плоской фигуры найдем по формулам:

.

Изобразим область интегрирования:

При изменении значения от 0 до 4, значения меняются от 0 до . Вычислим двойные интегралы перейдя к повторным:

;

;

.

Находим координаты центра тяжести:

- координаты центра тяжести.

Ответ: .