Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

МЕХАНИКА
• СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО. ЧАСТЬ 1
ДОМРИН
АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ
МЕХМАТ МГУ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН
СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ
СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ
НА VK.COM/TEACHINMSU.
ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ
ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ,
ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ,
НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ
VK.COM/TEACHINMSU.
МЕХАНИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА

БЛАГОДАРИМ ЗА ПОДГОТОВКУ КОНСПЕКТА
ВЫПУСКНИКА ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ
ФИЛИППОВА ВЛАДИСЛАВА ИГОРЕВИЧА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Содержание
Лекция 1 6
Формы записи комплексных чисел
6
Геометрический смысл линейной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Дифференцируемость функций комплексного переменного . . . . . . . . .
7
Определение и свойства голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Лекция 2 11
Конформность в точке. Связь с C-дифференцируемостью . . . . . . . . . .
11
Конформное отображение одного открытого множества на другое . . . . .
12
Бесконечно удалённая точка. Расширенная комплексная плоскость
14
Дробно-линейные отображения (ДЛО) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Определение ДЛО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Лекция 3 17
Дробно-линейные отображения (ДЛО) (продолжение) . . . . . . . . . . . .
17
ДЛО как конформное отображение C на себя . . . . . . . . . . . . . .
17
Групповое свойство ДЛО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Круговое свойство ДЛО
18
Свойство сохранения симметрии при ДЛО . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Лекция 4 21
Дробно-линейные отображения (ДЛО) (продолжение) . . . . . . . . . . . .
21
Описание всех ДЛО единичного круга U := {z ∈ C | |z| < 1} на себя .
21
Свойство трёх точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Описание всех ДЛО верхней полуплоскости Π := {z ∈ C | Im z > 0}
на себя
23
Интеграл вдоль пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Определение интеграла вдоль пути и примеры
23
Свойства интеграла вдоль пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Лекция 5 27
Существование первообразной в круге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Лемма Гурса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Определение ограниченной области с кусочно-гладкой границей . . . . . .
29
Интегральная теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Лекция 6 35
Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Напоминание о равномерной сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Теорема о разложении голоморфной функции в степенной ряд . . . . . . .
37
Неравенства Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Лекция 7 41
Формула Коши-Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 3
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Голоморфность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций . . . . . . . . .
43
Формула для коэффициентов ряда Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Интегральная формула Коши для производных . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Теорема Морера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Эквивалентность трёх определений голоморфной функции . . . . . . . . .
45
Лекция 8 47
Нули голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Принцип изолированности нулей
47
Определение области. Теорема об открыто-замкнутом подмножестве
48
Теорема единственности
48
Примеры разложений в степенной ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Лекция 9 52
Разложение голоморфных функций в ряд Лорана
52
Сходимость рядов по целым степеням z − a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Неравенства Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Классификация изолированных особых точек однозначного характера
55
Описание устранимой особой точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Описание полюса
57
Лекция 10 59
Теорема Сохоцкого
59
a = ∞ как изолированная особая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Целые функции с полюсом на ∞
60
Описание всех конформных отображений C и C на себя . . . . . . . . . . .
61
Мероморфные функции на C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Определение вычета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Вычет в терминах ряда Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Формулы для вычисления вычета в полюсе 1-го порядка . . . . . . . .
63
Лекция 11 65
Вычеты (продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Формула для вычисления вычета в полюсе любого порядка . . . . . .
65
Лемма о логарифмическом вычете
67
Теорема о логарифмическом вычете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Непрерывная ветвь аргумента вдоль пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Лекция 12 70
Определения и свойства чисел ∆ arg
γ
f и ∆ arg
∂D
f . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Принцип сохранения области
72 4
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Критерий локальной однолистности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Окончательная форма теоремы об обратной функции . . . . . . . . . . . .
74
Лекция 13 75
Принцип максимума модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Лемма Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Описание всех конформных отображений единичного круга U := {z ∈ C |
|z| < 1} на себя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Единственность конформного отображения области на круг
77
Задача на экстремум, решением которой является конформное отображе- ние области на круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Теорема Вейерштрасса «о рядах» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Лекция 14 81
Теорема Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Принцип компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Определение первообразной вдоль пути
83
Лекция 15 85
Формула Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути
85
Определение гомотопных путей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Теорема Коши о гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Определение односвязной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Существование первообразной в односвязной области . . . . . . . . . . . .
88
Лемма о корнях и логарифмах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Теорема Римана о конформном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . .
88 5
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 1
Формы записи комплексных чисел
Комплексное число – это точка на плоскости, обозначаемая z = x + iy, где x, y
– её декартовы координаты, называемые вещественной и мнимой частями числа z:
x = Re z ∈ R, y = Im z ∈ R.
Комплексные числа можно складывать покомпонентно.
Умножаются комплексные числа по следующему правилу: (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
) =
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
Удобнее перемножать в тригонометрической форме, используя полярные ко- ординаты (модуль r и аргумент φ). Тогда z = x + iy = r(cos φ + i sin φ), где r =
=
px
2
+ y
2
=: |z|, φ – угол от оси Ox до отрезка [O, z], φ =: arg z (определено с точностью до +2πn, n ∈ Z). При умножении |z
1
z
2
| = |z
1
| · |z
2
| и arg(z
1
z
2
) = arg z
1
+
+ arg z
2
O
O
Рис. 1.1: Комплексное число
Можно ввести сокращённое обозначение для комплексного числа z = r(cos φ +
+ i sin φ) =: re iφ
(по сути, это определение экспоненты с чисто мнимым показате- лем степени). Тогда комплексные числа будут перемножаться следующим образом:
z
1
z
2
= r
1
e iφ
1
· r
2
e iφ
2
= r
1
r
2
e i(φ
1
+φ
2
)
Приведём пример. (1 + i)
2020
=

√
2e i
π
4

2020
= 2 1010
e i
π
4
·2020
= 2 1010
e i2π·
2020 8
=
= 2 1010
e i2π·
4 8 = 2 1010
e iπ
= −2 1010
Геометрический смысл линейной функции
Рассмотрим отображение w = f (z) = az + b, где a ∈ C\{0}, b ∈ C.
f = (сдвиг на вектор b) ◦ (растяжение в |a| раз относительно начала координат) ◦
◦ (поворот на угол arg a относительно начала координат).
6
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Дифференцируемость функций комплексного переменного
Пусть D ⊂ C – открытое множество (то есть ∀a ∈ D ∃ε > 0 : B(a, ε) := {r ∈ C |
|r − a| < ε} ⊂ D).
Определение 1. Функция f : D → C называется C-дифференцируемой в точке a ∈ D, если ∃ lim z→a f (z) − f (a)
z − a
=: f
′
(a) (то есть ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |z − a| < δ ⇒
⇒
f (z) − f (a)
z − a
− f
′
(a)
< ε).
Эквивалентно (полагая h := z − a ∈ C): ∃K, L ∈ R : f (a + h) = f (a) + (K + iL)h +
+ o(|h|) при h → 0. Тогда f
′
(a) = K + iL.
Определение 2. Функция f : D → C называется R-дифференцируемой в точке a ∈ D, если ∃A, B, C, E ∈ R : f (a + h) = f (a) +
A C
B E
h
1
h
2

+ o(|h|) при h → 0,
где h = h
1
+ ih
2
Здесь мы отождествляем C ∋ z = x + iy ↔
x y

∈ R
2
Замечание 1. Функции u(x, y) := Re f (x + iy) и v(x, y) := Im f (x + iy) в случае
R-дифференцируемости функции f в точке a имеют частные производные u x
(a),
u y
(a), v x
(a), v y
(a), причём
A C
B E

=
u x
(a) u y
(a)
v x
(a)
v y
(a)

– это есть линейное отобра- жение d a
f : R
2
= T
a
D → T
f (a)
C = R
2
(дифференциал отображения f , или матрица
Якоби).
Теорема 1. (Условия Коши-Римана) Функция f : D → C является C- дифференцируемой в точке a ∈ D тогда и только тогда, когда f является R- дифференцируемой в точке a и выполнены условия Коши-Римана:
(
u x
(a) = v y
(a)
u y
(a) = −v x
(a)
(1.1)
Эквивалентно: матрица d a
f имеет вид
A −B
B
A

для некоторых A, B ∈ R.
Доказательство:
Докажем ⇒. Введём обозначения: A := Re f
′
(a), B := Im f
′
(a), h := h
1
+ h
2
. Тогда f (a + h) − f (a) = f
′
(a)h + o(|h|) = (A + iB)(h
1
+ ih
2
) + o(|h|) = (Ah
1
− Bh
2
) + i(Bh
1
+
+ Ah
2
) =
Ah
1
− Bh
2
Bh
1
+ Ah
2

+ o(|h|) =
A −B
B
A
h
1
h
2

+ o(|h|) при h → 0, то есть f является R-дифференцируемой в точке a и выполнены условия Коши-Римана.
Докажем ⇐. По условию f (a + h) − f (a) =
A −B
B
A
h
1
h
2

+ o(|h|). Запишем правую часть как (A + iB)(h
1
+ ih
2
) + o(|h|). Получаем C-дифференцируемость с f
′
(a) := A + iB.
7
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Приведём примеры.
1) f (z) = z
2
является C-дифференцируемой в любой точке a ∈ C, и f
′
(a) = 2a.
При этом u + iv = f = (x + iy)
2
= x
2
+ 2ixy − y
2
, значит,
(
u = x
2
− y
2
v = 2xy
, тогда d
z f =
u x
u y
v x
v y

=
2x −2y
2y
2x

. Таким образом, f является R-дифференцируемой и выполнены условия Коши-Римана.
2) f (z) = z := x − iy для z = x + iy. Здесь
(
u = x v = −y
, тогда
u x
u y
v x
v y

=
1 0
0 −1

Таким образом, есть R-дифференцируемость в любой точке a ∈ C, но не выполнены условия Коши-Римана ⇒ f не является C-дифференцируемой ни в одной точке a ∈ C.
Упражнение 1. Проверьте непосредственно, что f (z) = z не является C- дифференцируемой, то есть ∄ lim h→0
h h
Упражнение 2. Проверьте, что f (z) :=



z
5
|z|
4
, z ∈ C\{0}
0, z = 0
имеет частные про- изводные u x
, u y
, v x
, v y
в точке z = 0 и выполнены условия Коши-Римана в точке z = 0, но нет R-дифференцируемости при z = 0, и следовательно, C- дифференцируемости тоже нет.
Определение и свойства голоморфных функций
Определение 3. Функция f : D → C называется голоморфной в точке a, если она C-дифференцируема в некоторой окрестности |r − a| < ε точки a, и голоморф- ной на открытом множестве D (запись: f ∈ O(D)), если f голоморфна (или,
эквивалентно, C-дифференцируема) в каждой точке a ∈ D.
Приведём пример. f (z) = |z|
2
= x
2
+ y
2
, значит,
(
u = x
2
+ y
2
v = 0
, тогда
u x
u y
v x
v y

=
=
2x 2y
0 0

. Таким образом, f (z) является C-дифференцируемой при z = 0 и толь- ко там ⇒ не является голоморфной нигде на C.
Свойства голоморфных функций:
1) f, g ∈ O(D) ⇒ f + g, f − g, λf, f g ∈ O(D), где λ ∈ C, и выполнены обыч- ные правила дифференцирования: (f + g)
′
= f
′
+ g
′
, (f − g)
′
= f
′
− g
′
, (λf )
′
= λf
′
,
(f g)
′
= f
′
g +f g
′
. А также f
g
∈ O(D\{z ∈ D | g(z) = 0}) и
f g

′
=
f
′
g − f g
′
g
2
. Доказа- тельства такое же, как и в курсе математического анализа (потому что определение производной аналогично).
2) Это свойство сформулируем в виде теоремы (доказательство аналогично тому,
что было в курсе математического анализа).
8
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Теорема 2. (Теорема о сложной функции) Если D, G – открытые множе- ства, f ∈ O(D), g ∈ O(G) и f (D) ⊂ G, то g ◦ f ∈ O(D) и (g ◦ f )
′
(z) =
= g
′
(f (z))f
′
(z) ∀z ∈ D.
3) Это свойство тоже сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. (Теорема об обратной функции) Пусть D
1
, D
2
– открытые мно- жества и f ∈ O(D
1
) является гомеоморфизмом D
1
на D
2
(то есть f биективно и непрерывно и обратное отображение g = f
−1
тоже непрерывно), причём f
′
(z) ̸= 0
ни при каком z ∈ D
1
. Тогда g ∈ O(D
2
) и g
′
(w) =
1
f
′
(g(w))
∀w ∈ D
2
Доказательство:
Пусть w
0
∈ D
2
и w → w
0
. Пусть z
0
:= g(w
0
), z := g(w). Тогда g(w) − g(w
0
)
w − w
0
=
=
z − z
0
f (z) − f (z
0
)
→
1
f
′
(z
0
)
при w → w
0
и (в силу непрерывности), следовательно,
z → z
0 1
f
′
(z
0
)
∈ C, так как f
′
(z
0
) ̸= 0.
Замечание 2. На самом деле условия непрерывности f
−1
и f
′
(z) ̸= 0 излишни
(они автоматически вытекают из биективности f ). Докажем это позже.
Приведём примеры голоморфных функций.
1) Полиномы от z: f (z) = z и, вообще, f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n
, где a
0
, a
1
, . . . , a n
∈ C. Тогда f ∈ O(C).
2) Рациональные функции: f (z) =
P (z)
Q(z)
∈ O(C\(нули Q)), где P (z) и Q(z) –
полиномы, причём Q(z) ̸≡ 0.
3) Экспоненциальная функция: w = e z
:= e x
(cos y + i sin y) ∈ C, где z = x + iy ∈ C.
Утверждение 1. Функция f (z) = e z
принадлежит O(C) и f
′
(z) = e z
∀z ∈ C.
Доказательство:
По определению
(
u = e x
cos y v = e x
sin y
. Тогда u, v – дифференцируемые функции от x, y ∈ R, то есть f является R-дифференцируемой всюду на C и d z
f =
u x
u y
v x
v y

=
=
e x
cos y −e x
sin y e
x sin y e
x cos y

. Таким образом, выполнены условия Коши-Римана ⇒
⇒ f ∈ O(C).
Учтём, что если d a
f =
A −B
B
A

, то f
′
(a) = A + iB (см. док-во условий Коши-
Римана (1)). Тогда для экспоненциальной функции получаем: f
′
(z) = e x
cos y +
+ ie x
sin y = e z
= f (z) ∀z ∈ C.
Свойства экспоненты:
1) e z
1
+z
2
= e z
1
·e z
2
∀z
1
, z
2
∈ C. Либо непосредственно проверяется через cos(y

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
2) e z
̸= 0 ни при каких z ∈ C, так как |e z
| = e x
> 0 ∀z ∈ C.
3) ∀w ∈ C\{0} e z
= w ⇔ z = ln |w| + i arg w + 2πin, где n ∈ Z.
Доказательство:
w = e z
= e x+iy
= e x
(cos y +i sin y) ⇔
(
|w| = e x
arg w = y mod 2π
⇔
(
x = ln |w|
y = arg w mod 2π
Рис. 1.2: Экспоненциальное отображение и обратное к нему
Утверждение 2. Функция g(w) := ln |w| + i arg w принадлежит O(D
2
) и g
′
(w) =
=
1
w
∀w ∈ D
2
Доказательство:
Вытекает из теоремы (3) об обратной функции.
Для запоминания: e g(w)
= w ⇒ g
′
(w)e g(w)
= 1 ⇒ g
′
(w) =
1
e g(w)
=
1
w
10
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 2
Конформность в точке. Связь с C-дифференцируемостью
Определение 4. Функция f : D → C (где D ⊂ C – открытое множество) назы- вается конформной (или конформным отображением) в точке a ∈ D, если:
1) f является R-дифференцируемой в точке a и дифференциал (матрица Яко- би) d a
f =
u x
(a) u y
(a)
v x
(a)
v y
(a)

невырожден как линейное отображение R
2
→ R
2
(det матрицы ̸= 0);
2) ∀ гладких (C
1
) отображений γ
j
: [−ε, ε] → D (j = 1, 2) с γ
j
(0) = a и γ
′
j
̸= 0
при j = 1, 2 имеем: (угол от γ
1
до γ
2
в точке a) = (углу от f ◦ γ
1
до f ◦ γ
2
в точке f (a)).
Пояснение: угол от γ
1
до γ
2
в точке a – это по определению угол от γ
′
1
(0) до γ
′
2
(0),
то есть угол, на который надо повернуть вектор γ
′
1
(0) до совпадения с вектором
γ
′
2
(0).
Утверждение 3. Отображение f : D → C является конформным в точке a ∈ D
тогда и только тогда, когда f является C-дифференцируемой в точке a и f
′
(a) ̸=
̸= 0.
Доказательство:
∀C
1
-отображения γ : [−ε, ε] → D с γ(0) = a по теореме о сложной функ- ции (2) (или по определению d a
f ) имеем: (f ◦ γ)
′
(0)
=
d a
f ·
γ
′
1
(0)
γ
′
2
(0)

=
=
u x
(a) u y
(a)
v x
(a)
v y
(a)
γ
′
1
(0)
γ
′
2
(0)

. Здесь γ
′
1
(0) := Re γ
′
(0), γ
′
2
(0) := Im γ
′
(0), то есть γ(t) =
= γ
1
(t) + iγ
2
(t) (отождествляем C и R
2
).
Поэтому достаточно доказать, что невырожденное линейное отображение X :
R
2
→ R
2
удовлетворяет тому, что (угол от v
1
до v
2
) = (углу от Xv
1
до Xv
2
) ∀v
1
, v
2
∈
∈ R
2
\{0}, тогда и только тогда, когда X =
A −B
B
A

для некоторых A, B ∈ R
таких, что A
2
+ B
2
̸= 0. Затем останется только применить это к X = d a
f . Условие
A
2
+ B
2
̸= 0 эквивалентно тому, что |f
′
(a)|
2
= A
2
+ B
2
̸= 0, то есть f
′
(a) ̸= 0.
Докажем ⇒. ∀ ортонормированного базиса e
1
, e
2
векторы Xe
1
, Xe
2
(ненулевые в силу невырожденности X) образуют ортогональный базис. Из того, что (угол от e
1
до e
1
+ e
2
) =
π
4
= (углу от Xe
1
до Xe
1
+ Xe
2
), вытекает, что прямоугольник со сторонами Xe
1
, Xe
2
является квадратом, то есть |Xe
1
| = |Xe
2
|. Введём обозначение:
Xe
1
:=
A
B

. Тогда Xe
2
получается из Xe
1
поворотом на +
π
2
, то есть Xe
2
=
−B
A

Следовательно, матрица оператора X есть
A −B
B
A

, A
2
+ B
2
= det X ̸= 0 в силу невырожденности.
Докажем ⇐. Матрица X =
A −B
B
A

есть матрица оператора умножения на комплексное число A + iB ̸= 0 (по условию A
2
+ B
2
̸= 0), то есть X – композиция
11
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА