Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
поворота на угол arg(A + iB) и растяжения в |A + iB| =
√
A
2
+ B
2
раз. Каждое из преобразований сохраняет углы между векторами ⇒ их композиция тоже.
Замечание 3. Мы получили геометрический смысл модуля и аргумента ком- плексного производной f
′
(a) ̸= 0.
|f
′
(a)| =
|d a
f (ξ)|
|ξ|
∀ξ ∈ R
2
\{0} – коэффициент растяжения длин касательных векторов.
arg f
′
(a) = arg d a
f (ξ)−arg ξ ∀ξ ∈ R
2
\{0} – угол поворота касательных векторов.
Конформное отображение одного открытого множества на другое
Определение 5. Пусть D
1
, D
2
⊂ C – открытые множества. Отображение f : D
1
→ D
2
называется конформным отображением D
1
на D
2
, если f – гомеомор- физм D
1
на D
2
и f конформно в каждой точке a ∈ D (в силу (3) эквивалентно:
f ∈ O(D
1
) гомеоморфно отображает D
1
на D
2
и f
′
̸= 0 в каждой точке a ∈ D
1
).
По теореме (3) об обратной функции f
−1
есть конформное отображение D
2
на
D
1
Приведём примеры.
1) w = f (z) = e z
отображает C на C\{0} сюръективно (но не инъективно: e
2πi
=
= e
0
), причём конформно в каждой точке a ∈ C (так как f
′
(a) = e a
̸= 0), но не является конформным отображением C на C\{0} (так как нет биективности). Но
∀α, β ∈ R, удовлетворяющих условию 0 < β − α ≤ 2π, функция w = e z
конформно отображает S
αβ
:= {z ∈ C | α < Im z < β} на V
αβ
:= {w ∈ C | α < arg w < β}
(биективность вытекает из условия 0 < β − α ≤ 2π).
Рис. 2.1: Пример конформного отображения w = e z
S
αβ
на V
αβ
2) Если D
1
, D
2
, D
3
⊂ C – открытые множества и f : D
1
→ D
2
, g : D
2
→ D
3
– конформные отображения, то g ◦ f : D
1
→ D
3
– тоже конформное отображе- ние (это ясно из определений). В частности, пусть t > 0, а α, β ∈ R таковы, что
12
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
(
0 < β − α ≤ 2π
0 < (β − α)t ≤ 2π
. Тогда функция w = z t
:= e t(ln |z|+i arg z)
, где α < arg z < β кон- формно отображает V
αβ
на V
tα,tβ
Рис. 2.2: Пример конформного отображения w = z t
V
αβ
на V
tα,tβ
Более конкретный случай: t = 2, α = 0, β = π. Получаем конформное отображе- ние верхней полуплоскости на плоскость без луча.
13
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 2.3: Пример конформного отображения w = z
2
V
0,π
на V
0,2π
3) Функция w =
z − i z + i конформно отображает полуплоскость Π := {z ∈ C | Im z >
> 0} на единичный круг U := {w ∈ C | |w| < 1}.
Рис. 2.4: Пример конформного отображения w =
z − i z + i
Π на U
Биективность: z ∈ Π ⇔ z ближе к i, чем к −i ⇔ |z − i| < |z + i| ⇔ |w| < 1 ⇔
⇔ w ∈ U .
Конформность в любой точке z ∈ Π: если f (z)
=
z − i z + i
, то f
′
(z)
=
=
(z + i) − (z − i)
(z + i)
2
=
2i
(z + i)
2
̸= 0 ∀z ∈ Π.
Бесконечно удалённая точка. Расширенная комплексная плоскость
Определение 6. C : C ⊔ {∞} – расширенная комплексная плоскость. Открытая окрестность ∞ в C – это по определению любое подмножество вида D ⊔ {∞}, где
D ⊂ C – открытое множество и D ⊃ {z ∈ C | |z| > R} для некоторого R > 0.
Структура топологического пространства C ⊔ {∞} визуально изображается сфе- рой в трёхмерном пространстве, называемой сферой Римана.
Стереографическая проекция F : S
2
\{N } → C является гомеоморфизмом C =
= R
2
и сферы без точки. По непрерывности F продолжается до гомеоморфизма
C = C ⊔ {∞} на S
2 14
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 2.5: Сфера Римана
Введём на
C
определения функции,
являющейся непрерывной,
R- дифференцируемой, C-дифференцируемой, голоморфной, конформной в точке.
Для этого надо будет дать определения для четырёх случаев отображения,
иллюстрируемых на схеме ниже.
Рис. 2.6: Четыре случая отображения
Случай (I) не требует дополнительных определений, кроме уже данных нами ранее. Поэтому надо ввести определения только для случаев (II), (III), (IV).
Определение 7. II) Функция f : D ⊔ {∞} → C называется непрерывной, R- дифференцируемой, C-дифференцируемой, голоморфной, конформной в точке ∞,
если функция g(ζ) := f
1
ζ

является таковой в точке ζ = 0.
III) Функция f : (окрестность z
0
) → C с f (z
0
) = ∞ называется непрерывной, R- дифференцируемой, C-дифференцируемой, голоморфной, конформной в точке z
0
,
если функция h(z) :=
1
f (z)
является таковой в точке z = z
0
IV) Функция f : D ⊔ {∞} → C с f (∞) = ∞ называется непрерывной, R- дифференцируемой, C-дифференцируемой, голоморфной, конформной в точке z =
15
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
= ∞, если функция φ(ζ) :=
1
f
1
ζ
является таковой в точке ζ = 0.
Дробно-линейные отображения (ДЛО)
Определение ДЛО
Определение 8. ДЛО – это по определению функции вида w = f (z) =
az + b cz + d
,
(2.1)
где a, b, c, d ∈ C и ad − bc ̸= 0. При этом по определению полагаем: если c = 0, то f (∞) := ∞; если c ̸= 0, то f

−
d c

:= ∞, f (∞) :=
a c
16
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 3
Дробно-линейные отображения (ДЛО) (продолжение)
ДЛО как конформное отображение C на себя
Введём обозначения,
которые будем далее использовать:
O(a) := {все функции f, голоморфные в точке a},
a ∈ C;
∀
подмножества
M ⊂ C O(M) := {f (z) : ∃ открытое U ⊂ M с f ∈ O(U )}.
Утверждение 4. Каждое ДЛО есть конформное отображение C на себя.
Доказательство:
1) Проверим гомеоморфность. непрерывность следует из определения ДЛО (8),
биективность следует из выражения z через w.
2) Проверим конформность.
2.1) Если c = 0, то ad ̸= 0 и f (z) =
a d
z +
b d
– линейное отображение. Тогда f ∈ O(C) и f
′
(z) =
a d
̸= 0 всюду на C ⇒ f конформна во всех точках z ∈ C.
При z = ∞ надо рассмотреть ˜
f (z) =
1
f
1
z
=
1
a d
1
z
+
b d
=
dz a + bz
. Тогда ˜
f ∈ O(0)
и f
′
(z) =
d(a + bz) − dzb
(a + bz)
2
=
da
(a + bz)
2
̸= 0 при z = 0. Таким образом, ˜
f конформна при z = 0, а f – при z = ∞ (по определению).
2.2) Если c ̸= 0, то f ∈ O

C\

−
d c

и f
′
(z) =
ad − bc
(cz + d)
2
̸= 0 ∀z ∈ C\

−
d c

, то есть f конформна ∀z ∈ C\

−
d c

При z = ∞ надо рассмотреть ˜
f (z) = f
1
z

=
a + bz c + dz
. Тогда ˜
f
′
(z) =
bc − ad
(c + dz)
2
̸= 0
при z = 0 ⇒ f конформно в точке z = ∞.
При z = −
d c
надо рассмотреть ˜
f (z) =
1
f (z)
=
cz + d az + b
. Тогда ˜
f
′
(z) =
bc − ad
(az + b)
2
̸= 0
при z = −
d c
⇒ f конформно в точке z = −
d c
Групповое свойство ДЛО
Утверждение 5. (Групповое свойство ДЛО) Множество всех ДЛО – груп- па относительно композиции, причём композиция ДЛО отвечает умножению матриц, то есть отображение GL(2, C) ∋
a b c d

→ f (z) =
az + b cz + d является гомоморфизмом групп.
Доказательство:
Непосредственная проверка (в том числе f
−1
(z) =
b − dz cz − a
)
17
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Замечание 4. Группа всех ДЛО изоморфна PSL(2, C) :=
SL(2, C)
{±I}
Круговое свойство ДЛО
Определение 9. Множество M ⊂ C называется обобщённой окружностью, если либо M = {z ∈ C | |z − a| < R} – настоящая окружность (a ∈ C, R > 0), либо
M = L ∪ {∞}, где L ⊂ C – прямая.
Каждая обобщённая окружность соответствует обычной окружности на сфере
Римана.
Утверждение 6. ∀ обобщённой окружности M ∃A, C ∈ R, B ∈ C : M ∩ C =
= {z ∈ C | Azz + Bz + Bz + C = 0}.
Обратно: любое уравнение Azz + Bz + Bz + C = 0, где A, C ∈ R, B ∈ C, задаёт либо C, либо ∅, либо одну точку, либо обобщённую окружность.
Доказательство:
Уравнение прямой: B
1
x + B
2
y + C = 0, где B
1
, B
2
, C ∈ R, одновременно не равные
0.
Уравнение окружности: (x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
, то есть A(x
2
+ y
2
) + B
1
x + B
2
y +
+ C = 0, где A = 1, а B
1
, B
2
, C ∈ R.
Таким образом, уравнение A(x
2
+ y
2
) + B
1
x + B
2
y + C = 0 при A = 0 задаёт прямую, а при A = 1 – окружность.
Так как B
1
x + B
2
y = Re((B
1
− iB
2
)(x + iy)), то B
1
x + B
2
y = Bz + Bz при B :=
:=
1 2
(B
1
− iB
2
).
Таким образом, M ∩ C = {z ∈ C | Azz + Bz + Bz + C = 0}.
Доказательство в обратную сторону теми же рассуждениями в обратном порядке.
Утверждение 7. (Круговое свойство ДЛО) Если M ⊂ C – обобщённая окруж- ность, а f : C → C – ДЛО, то f (M) – тоже обобщённая окружность.
Доказательство:
Любое ДЛО f (z) =
az + b cz + d можно записать (при c ̸= 0) в виде f (z) = k +
l z + m для некоторых k, l, m ∈ C, то есть f = A
1
◦ B ◦ A
2
, где A
1
(ξ) = k + lξ и A
2
(z) = z +
+ m – линейные отображения, а B(η) =
1
η
. Значит, достаточно доказать круговое свойство для линейных отображений и для f (z) =
1
z
Для линейных f (то есть композиции сдвига, поворота и растяжения) выполнение кругового свойства очевидно.
Для f (z) =
1
z выполнение кругового свойства вытекает из утверждения (6).
Действительно, если M ∩ C = {Azz + Bz + Bz + C = 0}, то f (M ) ∩ C =
=

A
1
w
1
w
+ B
1
w
+ B
1
w
+ C = 0

= {Cww + Bw + Bw + A = 0}. Тогда по утвержде- нию (6) f (M ) – это обобщённая окружность, либо C, либо ∅, либо точка. Случаи,
18
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
когда f (M ) – это C, либо ∅, либо точка невозможны в силу биективности f : C → C.
Таким образом, f (M ) – обобщённая окружность.
Приведём пример.
Рис. 3.1: Пример кругового свойства ДЛО
Свойство сохранения симметрии при ДЛО
Определение 10. Точки z
1
, z
2
∈ C называются симметричными относительно обобщённой окружности M = L ∪ {∞}, где L ∈ C – прямая, если L – серединный перпендикуляр к [z
1
, z
2
] (все точки z ∈ M , включая ∞, по определению симмет- ричны сами себе).
Точки z
1
, z
2
∈ C\{a} называются симметричными относительно окружности
M = {|z − a| = R}, если:
1) z
1
, z
2
лежат на одном луче с вершиной a;
2) |z
1
− a| · |z
2
− a| = R
2
При этом по определению точки a и ∞ симметричны друг другу.
Утверждение 8. Точки z
1
, z
2
∈ C симметричны относительно обобщённой окружности {Azz + Bz + Bz + C = 0} тогда и только тогда, когда Az
1
z
2
+ Bz
1
+
+ Bz
2
+ C = 0 (то есть в исходном уравнении заменили z на z
1
и z на z
2
).
Доказательство:
1) Если M = {|z − a| = R}, то есть уравнение M имеет вид (z − a)(z − a) =
= R
2
⇔ zz − az − az + aa − R
2
= 0 – уравнение окружности при A = 1, B = −a,
C = aa − R
2
Из определения симметричности точек (10) следует:
1) arg(z
1
− a) = arg(z
2
− a);
2) |z
1
− a| =
R
2
|z
2
− a|
Тогда числа z
1
−a и
R
2
z
2
− a имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются знаком. Значит, z
1
− a =
R
2
z
2
− a
⇔ (z
1
− a)(z
2
− a) = R
2
⇔ z
1
z
2
− az
1
− az
2
+ aa −
− R
2
= 0. Таким образом, z
1
и z
2
связаны так, как написано в утверждении.
19
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
2) Случай, когда M = L ∪ {∞}, где L = {Bz + Bz + C = 0} – прямая, оставим как упражнение (указание: заменой w = Bz+
C
2
свести к случаю мнимой оси {z+z = 0},
а для неё утверждение проверяется непосредственно).
Утверждение 9. Если f : C → C – ДЛО и точки z
1
, z
2
∈ C симметричны отно- сительно обобщённой окружности M ⊂ C, то точки f (z
1
), f (z
2
) симметричны относительно обобщённой окружности f (M ).
Доказательство:
В силу разложения f = A
1
◦ B ◦ A
2
, полученного при доказательстве утверждения
(7), достаточно доказать для случаев, когда f (z) = az + b линейно и когда f (z) =
1
z
Для случая, когда f (z) = az + b линейно, доказываемое утверждение ясно из геометрического смысла.

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 4
Дробно-линейные отображения (ДЛО) (продолжение)
Описание всех ДЛО единичного круга U := {z ∈ C | |z| < 1} на себя
Утверждение 10. ДЛО w = f (z) удовлетворяет f (U ) = U (эквивалентно: f конформно отображает U на себя) ⇔
f (z) = e iθ
z − a
1 − az для некоторых θ ∈ R,
a ∈ U .
Доказательство:
Докажем ⇒. Пусть a := f
−1
(0) ̸= 0. Тогда точка a
∗
:=
1
a
(симметрична a отно- сительно окружности ∂U ) по свойству сохранения симметрии должная перейти в точку, симметричную точке w = 0 относительно f (∂U ) = ∂U (равенство верно в силу гомеоморфности f : C → C и равенства f (U ) = U ). Таким образом, f (a
∗
) =
= ∞. Тогда ∃k ∈ C : f (z) = k z − a z − a
∗
= k z − a z −
1
a
= ka z − a az − 1
. При этом для z = 1
имеем: f (1) = k a
1 − a a − 1
⇒ |f (1)| = |ka|
|1 − a|
|a − 1|
. Учитывая, что |f (1)| = 1, так как f (∂U ) ⊂ ∂U , и
|1 − a|
|a − 1|
= 1 как отношение модулей комплексно сопряжённых чисел,
получаем: |k a| = 1 ⇒ ∃θ ∈ R : ka = −e iθ
. Таким образом, f (z) = e iθ
z − a
1 − az для некоторых θ ∈ R, a ∈ U , причём a ̸= 0.
Если же a = 0, то f – линейное отображение, то есть композиция сдвига, поворота и растяжения. Тогда условие f (U ) = U означает, что коэффициент растяжения равен 1, вектор сдвига равен 0, а угол поворота любой ⇒ f (z) = e iθ
z = e iθ
z − a
1 − az для некоторого θ ∈ R при a = 0.
Докажем ⇐. 1−|f (z)|
2
=
|1 − az|
2
− |z − a|
2
|1 − az|
2
. Воспользуемся формулой |A − B|
2
=
= |A|
2
− 2 Re(AB) + |B|
2
= |A|
2
− 2 Re(AB) + |B|
2
, получим: 1 − |f (z)|
2
=
=
1 − 2 Re(az) + |a|
2
|z|
2
− |z|
2
+ 2 Re(az) − |a|
2
|1 − az|
2
=
(1 − |a|
2
)(1 − |z|
2
)
|1 − az|
2
. Так как a ∈ U ,
то
1 − |a|
2
|1 − az|
2
> 0, значит, вещественные числа 1 − |f (z)|
2
и 1 − |z|
2
имеют один и тот же знак (или оба равны 0) ∀z ∈ C\
1
a

. Таким образом, f (z) ∈ U ⇔ z ∈ U , то есть f (U ) = U .
Упражнение 3. Пусть D ⊂ C – открытое множество, допускающее кон- формное отображение на U (например, D – любой круг, полуплоскость, поло- са, . . .). Доказать, что ∀a, b ∈ D ∃ бесконечно много конформных отображений f : D → D : f (a) = b.
21
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА