Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 13.3: Схема отображений для доказательства
Тогда по теореме (2) о сложной функции и по теореме (3) об обратной функции
F
′
(0) = Φ
′
(f (a)) · f
′
(a) ·
1
f
′
0
(a)
. При этом Φ
′
(ζ) =
1 − f (a)ζ − (ζ − f (a)) ·

−f (a)


1 − f (a)ζ

2
=
=
1 − |f (a)|
2

1 − f (a)ζ

2
, тогда Φ
′
(f (a)) =
1 − |f (a)|
2
(1 − |f (a)|
2
)
2
=
1 1 − |f (a)|
2
. Таким образом,
F
′
(0) =
1 1 − |f (a)|
2
·
f
′
(a)
f
′
0
(a)
По лемме Шварца (3) |F
′
(0)| ≤ 1, то есть |f
′
(a)| ≤ |f
′
0
(a)| · (1 − |f (a)|
2
) ∀f ∈ F .
Отсюда вытекает, что sup f ∈F
|f
′
(a)| ≤ |f
′
0
(a)|, причём равенство |f
′
(a)| = |f
′
0
(a)| воз- можно, только если f (a) = 0 и |F
′
(0)| = 1, а тогда по пункту (4) леммы Шварца (3)
при этом должно выполнить равенство F (w) = e iθ
w для некоторого θ ∈ R. Отсюда
Φ(ζ) ≡ ζ и F (w) = e iθ
w, тогда f = Φ
−1
◦ F ◦ f
0
= e iθ
f
0
Таким образом, экстремальная задача заключается в следующем: надо максими- зировать |f
′
(a)| по всем f ∈ O(D) : f (D) ⊂ U . Как мы доказали, если конформное отображение области на круг существует, то решение этой экстремальной задачи и есть это самое конформное отображение с точностью до умножения на e iθ
Теорема Вейерштрасса «о рядах»
Теорема 22. (Теорема Вейерштрасса «о рядах») Если D ⊂ C – открытое множество, f n
∈ O(D) и f n
→ f равномерно на компактах в D (то есть ∀ ком-
79
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
пакта K ⊂ D
max z∈K
|f (z) − f n
(z)| → 0 при n → ∞). Тогда f ∈ O(D) и ∀k ∈ N
имеем: f
(k)
n
→ f
(k)
равномерно на компактах в D.
Доказательство:
Ясно, что f : D → C непрерывна, так как ∀ открытого круга U с U ⊂ D имеем f
n
⇒ f на U , то есть f непрерывна на U . При этом в силу равномерной сходимости
∀ открытого треугольника T с T ⊂ U имеем:
Z
∂T
f dz = lim n→∞
Z
∂T
f n
dz = 0 (по лемме
Гурса (1) или по интегральной теореме Коши (5)). Следовательно, f ∈ O(U ) по теореме Морера (10). В силу произвольности U отсюда вытекает, что f ∈ O(D).
Пусть U , V – круги с общим центром, U ⊂ V ⊂ V ⊂ D. Пусть r – радиус U , R
– радиус V . Тогда по интегральной формуле Коши для производных (7.4) ∀z ∈ U
и ∀k ∈ N имеем: f
(k)
n
(z) − f
(k)
(z) =
k!
2πi
Z
∂V
f n
(ζ) − f (ζ)
(ζ − z)
k+1
dζ. Тогда f
(k)
n
(z) − f
(k)
(z)
=
=
k!
2πi
Z
∂V
f n
(ζ) − f (ζ)
(ζ − z)
k+1
dζ
≤
k!
2π
· max
ζ∈∂V
|f n
(ζ) − f (ζ)|
|ζ − z|
k+1
· 2πR. Так как при ζ ∈ ∂V и z ∈ U выполнено неравенство |ζ − z| ≥ R − r, то f
(k)
n
(z) − f
(k)
(z)
≤
k!R
(R − r)
k+1
·
·max
ζ∈∂V
|f n
(ζ)−f (ζ)| → 0 при n → ∞, так как f n
⇒ f на ∂V . Следовательно, f
(k)
n
⇒ f
(k)
на U . Любой компакт K ⊂ D покрывается конечным числом таких кругов U ⇒
⇒ f
(k)
n
⇒ f
(k)
на K.
80
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 14
Теорема Гурвица
Теорема 23. (Теорема Гурвица) Пусть D ⊂ C – область, последовательность f
n
∈ O(D) сходится к f ∈ O(D) равномерно на компактах в D, причём f ̸≡ 0,
но ∃a ∈ D :
f (a) = 0. Тогда в любой окрестности точки a все функции f n
,
начиная с некоторой, имеют хотя бы один нуль, то есть ∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n >
> N (ε) N (f n
(z), |z − a| < ε) ≥ 1.
Доказательство:
По утверждению (29) о принципе изолированности нулей ∃ε
′
∈ (0, ε) : f (z) ̸= 0
при 0 < |z − a| ≤ ε
′
. Положим µ :=
min
|z−a|=ε
′
|f (z)|, тогда µ > 0. Пусть N таково, что
∀n > N |f n
(z) − f (z)| < µ при |z − a| = ε
′
. Тогда N (f n
(z), |z − a| < ε
′
) = N (f n
− f +
+ f, |z − a| < ε
′
). Так как при |z − a| = ε
′
имеем |f n
− f | < µ и |f | ≥ µ, то по теореме
Руше (19) получим: N (f n
(z), |z − a| < ε
′
) = N (f (z), |z − a| < ε
′
) ≥ 1 по условию.
Сформулируем следствие.
Утверждение 53. Если D ⊂ C – область, f n
∈ O(D) однолистны и f n
→ f равномерно на компактах в D, то либо f ≡ const, либо f ∈ O(D) однолистна.
Доказательство:
Имеем f ∈ O(D) по теореме Вейерштрасса (22).
Если z
1
̸= z
2
∈ D и f (z
1
) = f (z
2
) = w
0
, то по теореме Гурвица (23) либо f (z) ≡ w
0
,
либо все f n
(z) − w
0
при n ≥ n
0
имеют нули в произвольных окрестностях окрест- ностях U
1
и U
2
точек z
1
и z
2
соответственно. В силу произвольности окрестностей
U
1
и U
2
выберем их непересекающимися. Тогда это противоречит однолистности f n
Принцип компактности
Утверждение 54. (Принцип компактности) Пусть D ⊂ C – открытое мно- жество, f k
∈ O(D) и ∃M > 0 : |f k
(z)| ≤ M ∀z ∈ D и ∀k ∈ N. Тогда ∃ подпоследо- вательность {f k
l
}, которая сходится равномерно на компактах в D.
Доказательство:
1) Пусть сначала D = {|z − a| < R} – произвольный круг. Обозначим c n
(f ) :=
:=
f
(n)
(a)
n!
. Тогда по теореме (22) о разложении в ряд Тейлора f k
(z)
=
=
∞
X
k=0
c n
(f k
)(z − a)
n
∀z ∈ D и ∀k ∈ N, причём по неравенствам Коши (6.4) |c n
(f k
)| ≤
≤
M
r n
∀k ∈ N ∀n = 0, 1, 2, . . . при 0 < r < R.
Последовательность c
0
(f k
) ∈ C ограничена ⇒ ∃ подпоследовательность k
(0)
l
: l 7→
7→ c
0

f k
(0)
l

сходится.
81
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Из подпоследовательности k
(0)
l выберем подпоследовательность k
(1)
l
:
l 7→
7→ c
1

f k
(1)
l

сходится (она ∃, так как последовательность c
1
(f k
) ограничена по нера- венствам Коши).
Из подпоследовательности k
(1)
l выберем подпоследовательность k
(2)
l
:
l 7→
7→ c
2

f k
(2)
l

сходится (она ∃, так как последовательность c
2
(f k
) ограничена по нера- венствам Коши).
И так далее.
Положим k l
:= k
(l)
l
∀l ∈ N («диагональная подпоследовательность»). Тогда
∀n = 0, 1, 2, . . . последовательность c n
(f k
l
) сходится. Переобозначим последователь- ность {k l
} опять через {k} и будем тем самым считать, что f k
∈ O(D) – такая последовательность, что c n
(f k
) сходится при k → ∞ ∀n = 0, 1, 2, . . ..
Покажем, что последовательность f k
с таким свойством сходится равномерно на {|z − a| ≤ r}
∀r ∈ (0, R). Выберем r
1
∈ (r, R) и запишем: |f k
(z) − f l
(z)| =
=
∞
X
n=0
(c n
(f k
) − c n
(f l
))(z − a)
n
≤
N
X
n=0
|c n
(f k
) − c n
(f l
)| · |z − a|
n
+
∞
X
n=N +1 2M
r n
1
r n
(исполь- зовали неравенства Коши с r
1
и неравенство |z − a| ≤ r).
∀ε > 0 ∃N :
∞
X
n=N +1 2M
r n
1
r n
<
ε
2
(так как M = const и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
∞
X
n=0
r r
1

n сходится).
Зафиксируем
N
и выберем
K(ε)
так,
чтобы выполнялись неравенства
|c n
(f k
) − c n
(f l
)| <
ε
2r n
(N + 1)
∀k, l ≥ K(ε)
∀n = 0, 1, . . . , N (это возможно по критерию Коши для сходящихся числовых последовательностей c
0
(f k
), c
1
(f k
), . . .,
c
N
(f k
)).
Таким образом, |f k
(z)−f l
(z)| <
ε
2
+
ε
2
= ε ∀k, l ≥ K(ε) при |z−a| ≤ r. Следователь- но, пр критерию Коши последовательность f k
сходится равномерно на {|z − a| ≤ r}.
Этим принцип компактности доказан для D = {|z − a| < R}.
2) Пусть D ⊂ C – открытое множество, K ⊂ D – компакт. Каждая точка a ∈ K
имеет окрестность U
a
= {|z − a| < r a
} : {|z − a| < 2r a
} ⊂ D. Пусть U
a
1
, . . ., U
a m
– конечное подпокрытие компакта K. Повторяя m раз выбор подпоследовательно- сти из пункта (1) этого доказательства, получим подпоследовательность, которая сходится равномерно на всех U
a j
и, следовательно, на K ⊂ U
a
1
∪ . . . ∪ U
a m
3) Пусть D
⊂ C – произвольное открытое множество. Положим K
n
:=
:=

z ∈ D | |z| ≤ n, dist(z, ∂D) ≥
1
n

. Тогда K
n
– компакты при n ≥ n
0
и D =
=
∞
[
n=n
0
K
n
Пользуясь пунктом (2) этого доказательства, выберем из {k} подпоследователь- ность n
k
(1)
l o
: f k
(1)
l сходится равномерно на K
1
. Из неё – подпоследовательность n
k
(2)
l o
: f k
(2)
l сходится равномерно на K
2
. И так далее.
82
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Положим k l
:= k
(l)
l
∀l ∈ N. Тогда подпоследовательность {f k
l
} сходится равно- мерно на K
n
∀n ∈ N. Поскольку любой компакт K ⊂ D содержится в K
n для некоторого n, то подпоследовательность {f k
l
} сходится равномерно на любом ком- пакте K ⊂ D, то есть является искомой.
Упражнение 28. Пусть S := {−1 < Im z < 1}, f ∈ O(S) и |f (z)| ≤ 1 ∀z ∈ S.
Пусть ∃y
0
∈ (−1, 1) :
lim x→+∞
f (x + iy
0
) = A. Доказать, что ∀y ∈ (−1, 1)
∃ lim x→+∞
f (x + iy) = A.
Указание: применить принцип компактности для f n
(z) = f (z + n).
Определение первообразной вдоль пути
Определение 25. Пусть D ⊂ C – открытое множество, f ∈ O(D), γ : [a, b] →
→ D – непрерывное отображение. Функция Φ : [a, b] → C называется первообраз- ной функции f вдоль пути γ, если ∀τ ∈ [a, b] ∃ окрестность u
τ
точки τ в [a, b],
круговая окрестность U
τ
:= {|z − γ(τ )| < R(τ )} ⊂ D точки γ(τ ) в C и функция
F
τ
∈ O(U
τ
) такие, что:
1) F
′
τ
(z) = f (z) ∀z ∈ U
τ
;
2) Φ(t) = F
τ
(γ(t)) ∀t ∈ u
τ
Утверждение 55. ∀ открытого множества D ⊂ C, ∀ функции f ∈ O(D) и
∀ непрерывного отображения γ : [a, b] → D функция Φ из определения (25) пер- вообразной вдоль пути существует и единствена с точностью до прибавления константы.
Доказательство:
Докажем существование. ∀t ∈ [a, b] ∃ круг V
t
⊂ D с центром γ(t) и окрестность v
t
⊂ [a, b] такая, что γ(v t
) ⊂ V
t
. Также ∃δ > 0 такое, что любой интервал I ⊂ [a, b]
длины < δ содержится в некотором интервале v t
(δ – число Лебега покрытия {v t
}
отрезка [a, b], его существование легко доказать от противного, это было сделано в пункте (1) доказательства теоремы (17)). Рассмотрим разбиение a = t
0
< t
1
<
< . . . < t n
= b на отрезки длины < δ. Тогда γ([t j−1
, t j
]) ⊂ V
j
, где j = 1, . . . , n, для некоторых кругов V
j
⊂ D.
Рис. 14.1: Разбиение для доказательства существования первообразной вдоль пути
83
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
По теореме (4) о существовании первообразной в круге имеем:
∃F
1
∈ O(V
1
) : F
′
1
= f на V
1
и F
1
(γ(t
0
)) = 0;
∃F
2
∈ O(V
2
) : F
′
2
= f на V
2
и F
2
(γ(t
1
)) = F
1
(γ(t
1
));
И так далее по индукции.
Тогда Φ(t) := F
j
(γ(t)) для t ∈ [t j−1
, t j
], где j = 1, . . . , n является первообразной функции f вдоль пути γ (а именно: ∀τ ∈ [a, b], то есть τ ∈ [t j−1
, t j
] для некоторого j, пусть U
τ
– любая круговая окрестность точки γ(τ ), лежащая в круге V
j
, а u
τ
–
любая окрестность точки τ такая, что γ(τ ) ⊂ U
τ
, и пусть F
τ
:= F
j
, тогда все условия выполнены).
Докажем единственность с точностью до прибавления константы. Если Φ
1
, Φ
2
:
[a, b] → C – две первообразные f вдоль γ, то соответствующие F
1
τ
∈ O(U
1
τ
) и
F
2
τ
∈ O(U
2
τ
) отличаются на круге U
1
τ
∩ U
2
τ
с центром γ(τ ) на константу C = C(τ )
(единственность первообразной в круге с точностью до прибавления константы).
Следовательно, Φ
1
− Φ
2
= C на окрестности u
1
τ
∩ u
2
τ
точки τ . Значит, любая точка
τ ∈ [a, b] имеет окрестность ˜
u
τ
:= u
1
τ
∩ u
2
τ
, в которой Φ
1
− Φ
2
= const. Если δ > 0
– число Лебега покрытия {˜
u
τ
| τ ∈ [a, b]} отрезка [a, b], то двигаясь по индукции конечным числом шагов длины < δ, получим, что Φ
1
− Φ
2
= const на [a, b].
84
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 15
Формула Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути
Утверждение 56. (Формула Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути) Пусть D ⊂ C – открытое множество, f ∈ O(D), γ : [a, b] → D – кусочно- гладкое отображение, Φ : [a, b] → C – первообразная f вдоль γ. Тогда
Z
γ
f dz = Φ(b) − Φ(a).
(15.1)
Доказательство:
1) Пусть D – круг. Тогда по теореме (4) о существовании первообразной в круге
∃F ∈ O(D) : F
′
= f в D. Кроме этого, по утверждению (55) в силу единственности первообразной вдоль пути с точность до прибавления константы имеем: Φ(t) =
= F (γ(t)) + C для некоторой константы C ∈ C. Следовательно, пользуясь обычной формулой Ньютона-Лейбница (4.2), получаем:
Z
γ
f dz =
Z
γ
F
′
(z) dz = F (γ(b)) −
− F (γ(a)) = Φ(b) − Φ(a).
2) В общем случае ∃ разбиение a = t
0
< t
1
< . . . < t n
= b такое, что γ([t j−1
, t j
]) ⊂
⊂ U
j при j = 1, . . . , n для некоторых кругов U
j
⊂ D (это было показано в утвержде- ния (55)). Запишем результат пункта (1) этого доказательства для каждого отрезка
[t j−1
, t j
] и сложим, получим
Z
γ
f dz = Φ(b) − Φ(a).
Определение 26. Пусть D ⊂ C – открытое множество, f ∈ O(D) и γ : [a, b] →
→ D – любое непрерывное отображение. Тогда
Z
γ
f dz := Φ(b) − Φ(a),
(15.2)
где Φ : [a, b] → C – любая первообразная f вдоль γ.
Согласно утверждению (56) о формуле Ньютона-Лейбница для первообраз- ной вдоль пути это определение совпадает со старым определением
Z
γ
f dz :=
:=
b
Z
a f (γ(t))γ
′
(t) dt для кусочно-гладких путей γ.

Определение гомотопных путей
Определение 27. Пусть D ⊂ C – открытое множество. Непрерывные отоб- ражения (пути) γ
0
, γ
1
: [a, b] → D с общим началом p = γ
0
(a) = γ
1
(a) и общим концом q = γ
0
(b) = γ
1
(b) называются гомотопными в D, если ∃ непрерывное отоб- ражение Γ : [0, 1] × [a, b] → D такое, что Γ(0, t) = γ
0
(t) и Γ(1, t) = γ
1
(t) ∀t ∈ [a, b],
а также Γ(s, a) = p и Γ(s, b) = q ∀s ∈ [0, 1].
85
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 15.1: Гомотопные пути γ
0
и γ
1
Теорема Коши о гомотопии
Теорема 24. (Теорема Коши о гомотопии) Пусть D ⊂ C – открытое множе- ство, непрерывные отображения (пути) γ
0
, γ
1
: [a, b] → D с общим началом p =
= γ
0
(a) = γ
1
(a) и общим концом q = γ
0
(b) = γ
1
(b) гомотопны в D. Тогда ∀f ∈ O(D)
выполнено равенство
Z
γ
0
f dz =
Z
γ
1
f dz.
(15.3)
Доказательство:
Положим γ
s
(t) := Γ(s, t) и J (s) :=
Z
γ
s f dz
∀s ∈ [0, 1]. Покажем, что ∀s
0
∈
∈ [0, 1]
∃δ > 0 :
J (s) ≡ const на [s
0
− δ, s
0
+ δ] ∩ [0, 1] (если это верно, то с помощью числа Лебега покрытия (s
0
− δ, s
0
+ δ), где s
0
∈ [0, 1], легко вывести, что
J ≡ const на [0, 1], что и требуется доказать).
Фиксируем s
0
∈ [0, 1] и выберем разбиение a = t
0
< t
1
< . . . < t n
=
= b :
γ
s
0
([t j−1
, t j
]) ⊂ U
j для некоторого круга U
j
⊂ D, где j = 1, . . . , n. Пусть
F
j
∈ O(U
j
) – такие первообразные f в U
j
, что Φ
s
0
(t) := F
j
(γ
s
0
(t)) при t ∈ [t j−1
, t j
],
где j = 1, . . . , n, является первообразной f вдоль пути γ
s
0
. В силу равномерной непрерывности Γ на [0, 1] × [a, b]
∃δ > 0 :
Γ(s, t) ∈
n
S
j=1
U
j
∀s ∈ [s
0
− δ, s
0
+
+ δ] ∀t ∈ [a, b]. Тогда функция Φ
s
(t) := F
j
(γ
s
(t)) при t ∈ [t j−1
, t j
], где j = 1, . . . , n,
является первообразной f вдоль пути γ
s
∀s ∈ [s
0
− δ, s
0
+ δ].
По утверждению (56) о формуле Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути
Z
γ
s f dz = Φ
s
(b) − Φ
s
(a). Так как Φ
s
(a) = F
1
(a) и Φ
s
(b) = F
n
(q), то
Z
γ
s f dz =
= F
n
(q) − F
1
(p) не зависит от s ∈ [s
0
− δ, s
0
+ δ].
Таким образом, локальное постоянство интеграла
Z
γ
s f dz доказано, а из этого, как
86
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА