Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
было сказано выше, вытекает глобальное постоянство ∀s ∈ [0, 1]. Значит,
Z
γ
0
f dz =
=
Z
γ
1
f dz.
Определение односвязной области
Определение 28. Область (то есть открытое линейно связное множество)
D ⊂ C называется односвязной, если любые два непрерывных пути γ
0
, γ
1
: [a, b] →
→ D с общими началом и концом гомотопны в D.
Приведём примеры.
1) Любое выпуклое открытое множество D ⊂ C – односвязная область (например,
круг, полуплоскость, полоса, полуполоса).
Доказательство:
Γ(s, t) := (1 − s)γ
0
(t) + sγ
1
(t) ∀(s, t) ∈ [0, 1] × [a, b] лежит в D в силу выпуклости
D и осуществляет гомотопию.
2) D =

z ∈ C | 0 < arg z <
3π
2

– односвязная невыпуклая область.
Упражнение 29. Доказать, что этот пример верен.
3) C\{0} – неодносвязная область.
Доказательство:
Для путей γ
0
(t) = e it
, где 0 ≤ t ≤ π, и γ
1
(t) = e
−it
, где 0 ≤ t ≤ π, с общими началом и концом имеем:
Z
γ
0
dz z
= πi ̸= −πi =
Z
γ
1
dz z
. Следовательно, по теореме
Коши о гомотопии (24) γ
0
и γ
1
негомотопны в C\{0}.
Рис. 15.2: Пример негомотопных путей в C\{0}
87
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Существование первообразной в односвязной области
Теорема 25. Пусть D ⊂ C – односвязная область, тогда ∀f ∈ O(D) ∃F ∈
∈ O(D) : F
′
= f в D.
Доказательство:
Фиксируем z
0
и положим F (z) :=
Z
γ
z f (ζ) dζ, где γ
z
: [a, b] → D – любой непре- рывный путь с γ
z
(a) = z
0
и γ
z
(b) = z. Это определение не зависит от выбора γ
z по определению односвязной области (28) и теореме Коши о гомотопии (24). При этом для любого круга B(z
1
, r) ⊂ D имеем: F (z) = F (z
1
) +
Z
[z
1
,z]
f (ζ) dζ
∀z ∈ B(z
1
, r),
откуда F
′
= f в B(z
1
, r) по теореме (4) о существовании первообразной в круге. В
силу произвольности круга B(z
1
, r) функция F обладает свойством F
′
= f во всей области D.
Лемма о корнях и логарифмах
Лемма 4. Пусть D ⊂ C – односвязная область и f ∈ O(D) нигде в D не обраща- ется в 0. Тогда ∃g ∈ O(D) : f = e g
в D и ∃h ∈ O(D) : f = h
2
в D.
Доказательство:
По условию f
′
f
∈ O(D). Следовательно, по теореме (25) о существовании перво- образной в односвязной области ∃φ ∈ O(D) : φ
′
=
f
′
f в D. Тогда (f e
−φ
)
′
= f
′
e
−φ
−
− f φ
′
e
−φ
= (f
′
− f φ
′
)e
−φ
≡ 0 в области D. Следовательно, по утверждению (56)
о формуле Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути имеем: f e
−φ
≡ C =
= const в области D (важна линейная связность). Ясно, что C ∈ C\{0} (так как f не имеет нулей). Запишем C = e
B
для некоторого B ∈ C. Тогда f e
−φ
= e
B
, то есть f = e
φ+B
, значит, g(z) := φ(z) + B – искомая функция.
Функция h(z) := e g(z)
2
– тоже искомая.
Теорема Римана о конформном отображении
Теорема 26. (Теорема Римана о конформном отображении) Для любой од- носвязной области D ⊂ C, отличной от всей плоскости C, ∃ конформное отобра- жение области D на единичный круг U = {w ∈ C | |w| < 1}.
Замечание 24. Всю плоскость C нельзя конформно отобразить на U по теореме
Лиувилля (7).
Доказательство:
Фиксируем z
0
∈ D и рассмотрим семейство функций A := {все однолистные функции f ∈ O(D) :
f (D) ⊂ U и f (z
0
) = 0}. Мы покажем, что: 1) A непусто;
88
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
2) sup f ∈A
|f
′
(z
0
)| конечен и достигается на некоторой функции Ψ ∈ A; 3) Ψ конформно отображает D на U .
1) По условию D ̸= C, то есть ∃a ∈ C\D. При этом ∃b ̸= a : b ∈ C\D, иначе
D = C\{a}, а эта область неодносвязна. По лемме (4) о корнях и логарифмах ∃h ∈
∈ O(D) : (h(z))
2
=
z − a z − b
. Функции h
1
:= h и h
2
:= −h голоморфны в D, однолистны
(так как из h
1
(z
1
) = h
1
(z
2
) путём возведения в квадрат получаем, что z
1
− a z
1
− b
=
=
z
2
− a z
2
− b
, следовательно, z
1
= z
2
), и их образы h
1
(D) и h
2
(D) не пересекаются (так как из h
1
(z
1
) = h
2
(z
2
) путём возведения в квадрат опять получаем, что z
1
− a z
1
− b
=
=
z
2
− a z
2
− b
, следовательно, z
1
= z
2
, а тогда h(z
1
) = −h(z
1
), то есть h(z
1
) = 0, что невозможно для z
1
∈ D).
По утверждению (46) о принципе сохранения области ∀ζ
0
∈ h
2
(D)
∃R > 0 :
B(ζ
0
, R) ⊂ h
2
(D). Тогда функция g(z) :=
R
h(z) − ζ
0
однолистна (как композиция однолистных отображений) и g(D) ⊂ U . Тогда функция f (z) =
g(z) − g(z
0
)
1 − g(z
0
)g(z)
∈ A,
так как f (z
0
) = 0.
Рис. 15.3: Построение отображения f ∈ A
2) По определению sup ∃ последовательность f k
∈ A : |f
′
k
(z
0
)| → S := sup f ∈A
|f
′
(z
0
)|.
По утверждению (54) о принципе компактности ∃ подпоследовательность f k
l
, рав-
89
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
номерно сходящаяся на компактах в D. Переобозначая, считаем, что сама последо- вательность f k
сходится равномерно на компактах в D. Пусть Ψ := lim k→∞
f k
. Тогда:
· по теореме Вейерштрасса «о рядах» (22) Ψ ∈ O(D) и f
′
k
(z
0
) → Ψ
′
(z
0
) при k → ∞;
· в частности, |f
′
k
(z
0
)| → |Ψ
′
(z
0
)| при k → ∞, значит, S = |Ψ
′
(z
0
)| – конечное число;
· ясно, что S > 0 (так как S ≥ |f
′
0
(z
0
)|, где f
0
∈ A – функция, построенная в пункте
(1) этого доказательства, а у неё f
′
0
(z
0
) ̸= 0 по критерию локальной обратимости),
поэтому Ψ
′
(z
0
) ̸= 0, откуда, в частности, Ψ ̸≡ const;
· тогда по теореме Гурвица (23) Ψ однолистна;
· при этом Ψ(D) ⊂ U (так как из |f k
(z)| < 1 при k → ∞ получается |Ψ(z)| ≤
≤ 1), но из существования точки z
1
∈ D такой, что |Ψ(z
1
)| = 1 по утверждению
(49) о принципе максимума модуля вытекало бы, что Ψ ≡ const, а это не так,
следовательно, Ψ(D) ⊂ U ;
· Ψ(z
0
) = lim k→∞
f k
(z
0
) = lim k→∞
0 = 0.
Таким образом, из трёх последних замечаний следует, что Ψ ∈ A.
3) По окончательной форме теоремы об обратной функции (21) Ψ как однолист- ная функция конформно отображает D на Ψ(D). Осталось доказать, что Ψ(D) =
= U . Для этого покажем, что если f ∈ A не принимает значения b ∈ U , то
∃f
1
∈ A : |f
′
1
(z
0
)| > |f
′
(z
0
)|. Применяя это к Ψ, получим Ψ(D) = U .
Ясно, что b ̸= 0 (так как 0 = f (z
0
) принимается). Тогда по лемме (4) о корнях и логарифмах ∃h ∈ O(D) : (h(z))
2
= (φ
b
◦ f )(z), где φ
b
(ζ) :=
ζ − b
1 − bζ
– ДЛО U на себя.
Заметим, что φ
′
c
(0) = 1 − |c|
2
и φ
′
c
(c) =
1 1 − |c|
2
∀c ∈ U .
Обозначим h(z
0
) =: c и положим f
1
(z) := (φ
c
◦ h)(z). Тогда f
1
однолистна (h одно- листна, так как h
2
однолистна), f
1
(D) ⊂ U по построению и f
1
(z
0
) = 0 по построе- нию. Значит, f
1
∈ A. При этом f
′
1
(z
0
) = φ
′
c
(h(z
0
)) · h
′
(z
0
) =
1 1 − |c|
2
·
φ
′
b
(f (z
0
)) · f
′
(z
0
)
2h(z
0
)
(h
′
(z
0
) выразили, дифференцируя равенство (h(z))
2
= (φ
b
◦ f )(z)). Так как f (z
0
) =
= 0 и |c|
2
= |h(z
0
)|
2
= |φ
b
(0)| = |b|, то f
′
1
(z
0
) =
1 1 − |b|
·
φ
′
b
(0) · f
′
(z
0
)
2h(z
0
)
=
1 1 − |b|
·
·
(1 − |b|
2
)f
′
(z
0
)
2c
. Берём левую и правую части равенства по модулю и учитываем,
что |c| =
p|b|, получаем: |f
′
1
(z
0
)| =
1 1 − |b|
·
(1 − |b|
2
)f
′
(z
0
)
2c
=
(1 − |b|
2
)|f
′
(z
0
)|
(1 − |b|)
p|b|
=
=
1 + |b|
2
p|b|
· |f
′
(z
0
)| > |f
′
(z
0
)|, так как
1 + |b|
2
p|b|
=
1 2
1
p|b|
+
p|b|
!
> 1 при 0 < |b| < 1.
Упражнение 30. Доказать, что область D ⊂ C допускает конформное отобра- жение на U тогда и только тогда, когда D односвязна и D ̸= C.
90
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА